< PreviousDaftar IsiixLatihan Ulangan Umum Semester 1...................................................................................... 91BAB IIIBARISAN DAN DERET........................................................................................... 993.1Pengertian Barisan dan Deret.........................................................................1003.2Barisan Aritmetika............................................................................................1043.3Deret Aritmetika................................................................................................1073.4Barisan Geometri...............................................................................................1113.5Deret Geometri...................................................................................................1153.6Deret Geometri Konvergen..............................................................................1193.7Notasi Sigma......................................................................................................1223.8Pembuktian dengan Prinsip Induksi Matematika.......................................1273.9Aplikasi Deret Aritmetika dan Geometri......................................................129Rangkuman................................................................................................................139Uji Kompetensi...........................................................................................................142Aktivitas Proyek........................................................................................................145Latihan Ulangan Umum Semester 2......................................................................................147Daftar Pustaka............................................................................................................................153Glosarium....................................................................................................................................155Indeks..........................................................................................................................................157Lampiran......................................................................................................................................159Kunci Jawaban............................................................................................................................167Matematika SMA/MA Kelas XII - BahasaxBAB I ~ Program Linear1PROGRAM LINEARSetelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat:1.menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel,2.merancang model matematika dari masalah program linear,3.menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan menafsirkansolusinya.Gambar 1.1 Mesin dan SDM perusahaanJika Anda melakukan survei di perusahaan, maka akan Anda jumpai suatupersoalan yang mengharapkan keuntungan maksimum terhadap kendala-kendalabahan, mesin dan SDM yang terbatas. Di samping itu juga dijumpai persoalanmeminimumkan biaya operasional atau upah buruh terhadap beberapa persyaratan-persyaratan tertentu. Persoalan ini merupakan sebuah contoh dari persoalan programlinear yang akan dibahas pada bab ini.IBABSumber: www.ilpapnt.gov.myTujuan PembelajaranPengantarMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa2Program linear merupakan salah satu cabang dari matematika yang banyakdigunakan di bidang ekonomi. Dengan program linear dimungkinkan untuk menghitunglaba yang sebanyak-banyaknya dengan menekan biaya yang sekecil-kecilnya.Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat merumuskan masalahnyata ke dalam model matematika sistem pertidaksamaan linear, menyelesaikan, danmenafsirkan hasil yang diperoleh. Sebagai prasyarat untuk mempelajari bab ini, Andaharus sudah paham tentang persamaan garis yang melalui dua titik, penyelesaianpersamaan linear dan sistem persamaan linear.Untuk menunjang tujuan tersebut, di dalam bab ini berturut-turut akan dibahassistem pertidaksamaan dua variabel dan penyelesaiannya, model matematika sebagaimasalah program linear, fungsi tujuan dan kendala dari masalah program linear,menentukan nilai optimum fungsi tujuan, dan penyelesaian masalah program lineardengan garis selidik.1.1Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelSebelum kita membahas lebih lanjut tentang program linear, sebelumnya akandibahas lebih dahulu penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Secaraumum, sistem pertidaksamaan linear dua variabel dengan dua pertidaksamaandinyatakan dalam bentuk:ax + by + c ≤ 0 (atau ≥ 0 )dx + ey + f ≤ 0 (atau ≥ 0 )Selanjutnya yang dimaksud dengan penyelesaian sistem pertidaksamaan lineardi atas adalah pasangan (x,y) sedemikian sehingga kedua pertidaksamaan di atasdipenuhi, sedangkan yang dimaksud dengan daerah penyelesaian (DP) sistempertidaksamaan linear di atas adalah himpunan titik (x,y) pada sistem koordinat yangmemenuhi kedua pertidaksamaan tersebut. Sebelum kita membahas daerahpenyelesaian sistem pertidaksamaan linear di atas, perlu dipahami lebih dahulu daerahpenyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel. Untuk ini perhatikan contoh berikut.Contoh 1.1.1Tentukan daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan 3x + 5y ≤ 15.Penyelesaian:Langkah pertama, buatlah gambar garis 3x + 5y = 15. Untuk menggambar garis inisebelumnya ditentukan titik-titik potong garis tersebut dengan sumbu-sumbukoordinat, untuk ini dibuat tabel sebagai berikut.Kemudian baru menggambar garis di atas dengan menghubungkan titik-titikpotong dengan sumbu-sumbu koordinat yang telah diperoleh dalam tabel. Gambarnyasebagai berikut.3x + 5y = 15 x 0 5 y 3 0Titik(0,3)(5,0)BAB I ~ Program Linear3Gambar 1.2Langkah kedua, menentukan daerah penyelesaian dari 3x + 5y ≤ 15. Untuk ini perhatikanGambar 1.2 di atas.Garis tersebut membagi bidang datar XOY menjadi dua bagian. Titik-titik padagaris tersebut merupakan daerah penyelesaian persamaan linear 3x + 5y = 15. Titiktitik di atas garis mungkin daerah penyelesaian pertidaksamaan linear 3x + 5y < 15atau daerah penyelesaian pertidaksamaan linear 3x + 5y > 15. Untuk meyakinkan ini,diselidiki titik-titik pada daerah tersebut dihubungkan dengan pertidaksamaan yangdiberikan. Biasanya diselidiki satu titik saja yang tidak pada garis 3x + 5y = 15. Untukmemudahkan diambil titik (0,0). Untuk x = 0 dan y = 0, diperoleh 3(0) + 5(0) = 0 < 15.Ini berarti, titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan linear 3x + 5y < 15 adalahtitik-titik yang terletak di bawah garis 3x + 5y < 15, sehingga daerah penyelesaian daripertidaksamaan 3x + 5y < 15 adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut.Gambar 1.3WCatatan:Di dalam buku ini digunakan ketentuan bahwa daerah penyelesaiannya adalahdaerah yang diarsir, yang tidak diarsir adalah daerah yang bukan penyelesaian.Sekarang akan diberikan contoh dari daerah penyelesaian untuk sistempertidaksamaan linear.YXO(0,3)(0,5)3x + 5y = 15YX0(0,3)(0,5)3x + 5y = 15Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa4Contoh 1.1.2Tentukan daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan linear berikut.x + 2y ≤ 10, x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0Penyelesaian:Digambar lebih dahulu garis x + 2y = 10 dan garis x + y = 8 pada sistem koordinatCartesius. Salah satu cara untuk menggambar garis dalam sistem koordinat Cartesiusadalah dengan menentukan titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat.Gambar dua garis tersebut dalam sistem koordinat adalah:Gambar 1.4Daerah penyelesaian dari x + 2y ≤ 10 adalah daerah di bawah dan pada garisx + 2y = 10. Yang diarsir adalah daerah di bawah garis tersebut.Daerah penyelesaian dari x + y ≤ 8 adalah daerah di bawah dan pada garis x + y = 8.Yang diarsir adalah daerah di bawah garis tersebut.Daerah penyelesaian dari x ≥ 0 adalah daerah di sebelah kanan dan pada sumbu Y.Daerah yang diarsir adalah daerah di sebelah kanan sumbu Y.Daerah penyelesaian dari y ≥ 0 adalah daerah di sebelah atas dan pada sumbu X.Daerah yang diarsir adalah daerah di sebelah atas sumbu X.Perpotongan antara garis x + 2y = 10 dan garis x + y = 8 dicari sebagai berikut.x + 2y = 10 x + y = 8 _ y = 2Karena x + y = 8 dan y = 2, maka x = 8 2 = 6.Dengan demikian, titik potong kedua garis tersebut adalah titik (6,2).Jadi, daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear:x + 2y ≤ 10, x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0x + y = 8 x 0 8 y 8 0Titik (0,8) (8,0)x + 2y = 10 x 0 10 y 5 0Titik (0,5) (10,0)YX0(0,8)(0,5)x + y = 8x + 2y = 10(8,0)(10,0)BAB I ~ Program Linear5adalah daerah OABC, dengan O(0,0), A(8,0), B(6,2), dan C(0,5), seperti tampak padagambar di bawah ini.Gambar 1.5WContoh 1.1.3Tentukan daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan linear berikut.3x + 2y ≤ 12, 5x + 6y ≤ 30, x ≥ 0, y ≥ 0Penyelesaian:Titik-titik potong garis 3x + 2y = 12 dan garis 5x + 6y = 30 dengan sumbu-sumbu koordinatsebagai berikut.Titik potong kedua garis tersebut adalah:3x + 2y = 12 | × 3 | ⇒9x + 6y= 365x + 6y = 30 | × 1 | ⇒5x + 6y = 30 _4x= 6 x= 32Karena 3x +2y = 12 dan x = 32, maka 2y = 12 3 · 23 = 224-9= 152 atau y = 154.Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah titik 315,24⎛⎞⎜⎟⎝⎠.Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear:3x + 2y ≤ 12, 5x + 6y ≤ 30, x ≥ 0, y ≥ 0adalah daerah OABC dengan O(0,0), A(4,0), B315,24⎛⎞⎜⎟⎝⎠, dan C(0,5), seperti tampak padaGambar 1.6 berikut ini.5x + 6y = 30 x 0 6 y 5 0Titik (0,5) (6,0)3x + 2y = 12 x 0 4 y 6 0Titik (0,6) (4,0)YXO(0,0)(0,8)C(0,5)x + y = 8x + 2y = 10A(8,0)(10,0)B(6,2)Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa6Gambar 1.6W1.Tunjukkan pada diagram Cartesius himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaanberikut (x, y ∈ R) dengan mengarsir daerah yang tidak termuat di daerah penyelesaian.a.x ≥ 0c.x ≤ 0e.2 ≤ x ≤ 5g.4 ≤ 2x ≤ 8b.y ≥ 0d.y ≤ 0f.1 ≤ y ≤ 3h.6 ≤ 3y ≤ 152.Tunjukkan pada diagram Cartesius daerah penyelesaian dari masing-masingpertidaksamaan linear berikut (digambar pada sistem koordinat yang saling terpisah).a.x + y ≤ 5c.y ≥ 3e.2x + 3y ≤ 6g.0 ≤ y ≤ 7b.x y ≥ 4d.1 ≤ x ≤ 5f.5x 4y ≤ 20h.3x + 4y ≥ 243.Tunjukkan pada diagram Cartesius daerah penyelesaian dari masing-masing sistempertidaksamaan linear berikut.a.4x + 2y ≤ 8, x + 6y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0b.x + 2y ≤ 10, 5x + 2y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 0c.3x + y ≤ 15, x + 3y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0d.1 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 6, x + y ≤ 8e.0 ≤ x ≤ 8, 1 ≤ y ≤ 5, x + y ≤ 6, x + y ≥ 24.Tunjukkan pada diagram Cartesius himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan:1 ≤ x ≤ 6 dan 1 ≤ y ≤ 6dengan x, y ∈ B (himpunan semua bilangan bulat).1.2Nilai Optimum Fungsi pada Daerah PenyelesaianDi dalam subbab ini akan ditentukan nilai optimum (nilai maksimum atau nilaiminimum) suatu fungsi yang diberikan dalam suatu daerah penyelesaian sistempertidaksamaan linear.Sekarang perhatikan lagi sistem pertidaksamaan linear:x + 2y ≤ 10, x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0Latihan 1.1YXO(0,0) A(4,0)(6,0)(0,6)C(0,5)3x + 2y = 125x + 6y = 30315,24⎛⎞⎜⎟⎝⎠BBAB I ~ Program Linear7Sistem pertidaksamaan linear ini mempunyai daerah penyelesaian seperti tampak padagambar berikut.Gambar 1.7Jika pada daerah penyelesaian tersebut didefinisikan fungsi F yang dirumuskandengan:F = 3x + 4ymaka nilai fungsi F akan berubah-ubah bergantung pada pasangan nilai x dan y yangdisubstitusikan. Di dalam kasus ini, kita akan menentukan pasangan nilai x dan y didalam daerah penyelesaian sistem persamaan linear yang diberikan yang menyebabkanfungsi F maksimum atau minimum. Nilai minimum atau maksimum dari suatu fungsiyang diberikan terletak di ujung-ujung daerah penyelesaian, sehingga untukmenyelidiki nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi yang diberikan, cukupdiselidiki pada titik-titik ujung daerah penyelesaian.Sekarang kita perhatikan nilai fungsi F pada titik-titik O(0,0), A(8,0), B(6,2), danC(0,5), seperti tampak pada tabel berikut.Dari tabel di atas, tampak bahwa:1.Nilai F minimum adalah 0, bersesuaian dengan titik O(0,0). Ini berarti bahwa untukx = 0 dan y = 0, F mempunyai nilai minimum nol, ditulis Fmin = 0, untuk x = 0 dany = 0.2.Nilai F maksimum adalah 26, bersesuaian dengan titik B(6,2). Ini berarti bahwauntuk x = 6 dan y = 2, nilai fungsi F maksimum adalah 26, ditulis Fmaks = 26, untukx = 6 dan y =2.Contoh 1.2.1Tunjukkan pada diagram Cartesius himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan:1 ≤ x ≤ 3 dan 2 ≤ y ≤ 4dengan x, y ∈ B (himpunan semua bilangan bulat), kemudian tentukan:a.nilai x + y dari masing-masing titik tersebut,b.nilai minimum x + y dari himpunan penyelesaian tersebut dan di titik manakah halitu terjadi, Titik O A B C x 0 8 6 0 y 0 0 2 5 Nilai F 024 26 20YXO(0,0)A(8,0) (10,0)(0,8)C(0,5)x + 2y = 10B(6,2)x + y = 8Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa8c.nilai maksimum x + y dari himpunan penyelesaian tersebut dan di titik manakahhal itu terjadi,d.di titik-titik manakah x + y = 5?Penyelesaian:a.Untuk menentukan nilai x + y dibuat tabel sebagai berikut.b.Nilai minimum x + y pada himpunan penyelesaian tersebut adalah 3, terjadi di titik(1,2).c.Nilai maksimum x + y pada himpunan penyelesaian tersebut adalah 7, terjadi dititik (3,4).d.Nilai x + y = 5 terjadi di titik-titik (1,4), (2,3), dan (3,2).WContoh 1.2.2Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear berikut.x + 3y ≤ 6, x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0Kemudian, tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi F = 2x + y dan fungsiG = x + 5y pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut.Penyelesaian:Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tersebut diselesaikan sebagaiberikut.Titik potong kedua garis tersebut adalah:x + 3y = 6x + y = 4 2y = 2x + 3y = 6 x 0 6 y 2 0Titik (0,2)(6,0)x + y = 4 x 0 4 y 4 0Titik (0,4) (4,0)YX43210 1 2 3 4 TitikNilai x + y (1,2) 3 (1,3) 4 (1,4) 5 (2,2) 4 (2,3) 5 (2,4) 6 (3,2) 5 (3,3) 6 (3,4) 7Next >