< PreviousBAB I ~ Program Linear9Diperoleh y = 1 dan akhirnya untuk x + y = 4 → x + 1 = 4 atau x = 3.Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah (3,1).Gambar 1.8Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear di atas adalah daerahOABC. Kemudian, nilai fungsi F dan fungsi G pada titik-titik ujung dari daerahpenyelesaian OABC, tampak pada tabel berikut.Dari tabel ini, diperoleh bahwa:Nilai maksimum dari F adalah 8, untuk x = 4 dan y = 0.Nilai minimum dari F adalah 0, untuk x = 0 dan y = 0.Nilai maksimum dari G adalah 10, untuk x = 0 dan y = 2.Nilai minimum dari G adalah 0, untuk x = 0 dan y = 0.W1.Tunjukkan pada diagram Cartesius himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan:2 ≤ x ≤ 6 dan 1 ≤ y ≤ 5dengan x, y ∈ B (himpunan semua bilangan bulat), kemudian tentukan:a.nilai x + y dari masing-masing titik tersebut,b.nilai minimum x + y dari himpunan penyelesaian tersebut dan di titik manakah halitu terjadi,c.nilai maksimum x + y dari himpunan penyelesaian tersebut dan di titik manakah halitu terjadi,d.di titik-titik manakah x + y = 8?2.Jika F = 3x + y dan G = 2x + 5y serta x, y adalah bilangan-bilangan bulat, tentukan nilaimaksimum dan nilai minimum dari F dan G pada masing-masing sistem pertidaksamaanlinear berikut.a.2x + y ≤ 4, x + 6y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 TitikOABC x043 0 y001 2F = 2x + y087 2G = x + 5y04810Latihan 1.2YXO(0,0) A(4,0) (6,0)(0,4)B(3,1)x + 3y = 6C(0,2)x + y = 4Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa10b.x + 2y ≤ 10, 5x + 2y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 0c.3x + 5y ≤ 15, x + 3y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0d.2x + y ≤ 30, x + 2y ≤ 48, x ≥ 0, y ≥ 0e.2x + 3y ≤ 36, x + y ≤ 16, x ≥ 0, y ≥ 03.Tunjukkan pada diagram Cartesius himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan2x + y ≤ 8, x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0, dengan x, y ∈ B (himpunan bilangan bulat). Kemudian,tentukan nilai maksimum dari 3x + 4y dengan pembatasan-pembatasan ini. Dipenuhiuntuk nilai x dan y berapa nilai maksimum 3x + 4y?4.Diketahui segi empat OABC dengan titik-titik sudut O(0,0), A(4,0), B(3,4), dan C(0,5).a.Carilah sistem pertidaksamaan linear yang himpunan penyelesaiannya adalahdaerah segi empat OABC.b.Tentukan nilai-nilai dari 3x + 2y di titik-titik O, A, B, dan C.c.Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y di titik-titik O, A, B, dan C.d.Tentukan nilai minimum dari 3x + 2y di titik-titik O, A, B, dan C.1.3Model Matematika Persoalan Program LinearDi dalam kehidupan sehari-hari, salah satu keputusan manajerial yang sangatpenting adalah pemanfaatan sumber-sumber yang sangat terbatas. Sumber-sumberyang dimaksud di sini dapat berupa bahan baku, peralatan dan mesin, ruang atautempat, waktu, dana, dan orang. Semua ini dapat dipergunakan untuk menghasilkanproduk tertentu.Metode analisis yang paling baik untuk menyelesaikan permasalahan alokasisumber-sumber yang terbatas adalah metode program linear. Pokok pikiran yang utamadi dalam metode program linear adalah merumuskan masalah dengan jelas dalammodel matematika dengan menggunakan sejumlah informasi yang ada. Setelahmerumuskan model matematikanya, langkah berikutnya adalah menyelesaikan modelmatematika tersebut untuk mendapatkan jawaban terhadap masalah yang dihadapi.Dengan kata lain, yang dimaksud dengan program linear adalah cabang darimatematika terapan yang model matematikanya berupa persamaan-persamaan ataupertidaksamaan-pertidaksamaan linear. Sedangkan yang dimaksud dengan persoalanprogram linear adalah suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masingnilai variabel yang memaksimumkan atau meminimumkan suatu nilai fungsi tujuan,dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada yang dinyatakan dalambentuk persamaan-persamaan atau pertidaksamaan-pertidaksamaan linear.Dengan pengertian di atas, berarti suatu persoalan dikatakan merupakanpersoalan program linear jika memenuhi ketentuan-ketentuan berikut ini.1.Memuat fungsi tujuan yang harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi lineardari variabel-variabelnya. Sebagai contoh, f(x,y) = ax + by. Fungsi tujuan ini harusmencerminkan tujuan persoalan yang akan dicapai.2.Sumber-sumber yang tersedia dalam jumlah yang terbatas (biaya terbatas, bahanmentah terbatas, waktu terbatas, tenaga terbatas, dan lain-lain). Pembatasan-pembatasan tersebut harus dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan linear ataupertidaksamaan linear.3.Harus terdapat alternatif penyelesaian atau himpunan penyelesaian yang mungkin,yaitu penyelesaian yang membuat fungsi tujuan menjadi maksimum atauminimum.Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas terhadap keterangan-keterangandi atas, berikut ini diberikan suatu contoh.BAB I ~ Program Linear11Contoh 1.3.1Perusahaan roti Adi Prabowo menghasilkan dua jenis produk, yaitu produk T dan S.Masing-masing produk tersebut memerlukan dua macam bahan baku, A dan B. Hargajual setiap satuan T adalah Rp1.500,00 dan S adalah Rp1.000,00. Bahan baku A yangtersedia adalah 6.000 satuan dan B adalah 10.000 satuan. Untuk memproduksi satusatuan S diperlukan bahan baku A sebanyak satu satuan dan bahan baku B dua satuan,sedangkan untuk memproduksi satu satuan T diperlukan bahan baku A sebanyak satusatuan dan bahan baku B juga satu satuan. Masalahnya adalah bagaimana menentukanalokasi bahan baku A dan B yang terbatas untuk menghasilkan produk S dan T yangmengakibatkan perusahaan mendapatkan keuntungan semaksimum mungkin.Untuk mendapatkan gambaran situasi produksi dan masalah yang dihadapi,lebih baik semua informasi tersebut disajikan dalam suatu tabel seperti tampak dalamtabel berikut.Langkah berikutnya, menyajikan masalah di atas dalam bentuk modelmatematika yang rumusannya sederhana dan mudah mencari jawabannya. Untukkeperluan ini, dimisalkan bahwa banyaknya produk jenis S adalah x dan banyaknyaproduk jenis T adalah y, sehingga jumlah hasil penjualan adalah f(x,y) = 1.500x + 1.000y.Tujuan perusahaan adalah mengusahakan f(x,y) sebesar-besarnya yang berarti didapatkeuntungan yang sebesar-besarnya.Karena untuk memproduksi satu satuan S diperlukan satu satuan bahan A dan2 satuan bahan B, maka untuk sejumlah x produk S diperlukan x satuan bahan A dan 2xsatuan bahan B. Dengan cara yang sama untuk menghasilkan y satuan produk jenis Tdiperlukan y satuan bahan A dan y satuan bahan B. Dengan demikian, banyaknyabahan A yang diperlukan untuk memproduksi x satuan tipe S dan y satuan tipe Tadalah (x + y) satuan. Banyaknya bahan B yang diperlukan untuk memproduksi xsatuan tipe S dan y satuan tipe T adalah (2x + y) satuan.Karena bahan A dan B masing-masing hanya tersedia 6.000 satuan dan 10.000satuan, maka harus berlaku pertidaksamaan:x + y ≤ 6.000 dan 2x + y ≤ 10.000Di samping itu, karena x dan y masing-masing menyatakan banyaknya produkjenis S dan jenis T, maka x dan y harus bilangan nonnegatif atau harus berlakupertidaksamaan:x ≥ 0 dan y ≥ 0Jika semua informasi di atas dikumpulkan, maka diperoleh model matematikayang menggambarkan masalah produksi yang sedang dihadapi perusahaan roti AdiPrabowo, yaitu:Tentukan nilai x dan y yang memaksimumkan fungsi:f(x,y) = 1.500x + 1.000ydengan batasan-batasan:x + y ≤ 6.0002x + y ≤ 10.000x ≥ 0, y ≥ 0WProdukJenis ProduksiBahan BakuBahanS Tyang TersediaA1 5 6.000B2 0 10.000 Harga Jual 1.500 1.000Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa12Contoh 1.3.2Sebuah perusahaan ingin mengirimkan hasil produksinya dengan menggunakan kotak-kotak. Untuk itu diperlukan 24 kotak ukuran sedang dan 36 kotak ukuran besar.Perusahaan ingin menyewa truk besar yang dapat memuat 6 kotak ukuran sedang dan4 kotak ukuran besar. Di samping itu, perusahaan juga ingin menyewa truk kecil yangdapat memuat 5 kotak ukuran sedang dan 2 kotak ukuran besar. Ongkos sewa sekalijalan untuk truk besar adalah Rp750.000,00 dan untuk truk kecil adalah Rp500.000,00.Persoalan dari perusahaan adalah berapa banyaknya truk besar dan truk kecil yangharus disewa, sehingga ongkos sewa minimal dan semua produk dapat didistribusikanpada pelanggannya.Sekarang akan ditentukan model matematika dari persoalan di atas. Pertama,dimisalkan bahwa banyaknya truk besar yang disewa adalah x dan banyaknya trukkecil yang disewa adalah y, sehingga besarnya ongkos sewa untuk dua truk tersebutadalah f(x,y) = 750.000x + 500.000y. Tujuan perusahaan adalah mengusahakan f(x,y)minimal yang berarti pengeluaran untuk ongkos sewa adalah minimal.Karena setiap satu truk besar dapat mengangkut 6 kotak ukuran sedang dan4 kotak ukuran besar, maka x truk besar dapat mengangkut 6x kotak ukuran sedangdan 4x kotak ukuran besar. Selanjutnya, karena setiap satu truk kecil dapat mengangkut5 kotak ukuran sedang dan 2 kotak ukuran besar, maka y truk kecil dapat mengangkut5y kotak ukuran sedang dan 2y kotak ukuran besar.Banyaknya kotak sedang adalah 24 dan banyaknya kotak besar adalah 36.Akibatnya harus berlaku pertidaksamaan linear berikut.4x + 2y ≥ 36 dan 6x + 5y ≥ 24Di samping itu, karena x dan y masing-masing menyatakan banyaknya truk besar danbanyaknya truk kecil, maka x dan y harus bilangan nonnegatif atau harus berlakupertidaksamaan:x ≥ 0 dan y ≥ 0Jadi, model matematika dari persoalan program linear di atas adalah:Tentukan nilai x dan y yang meminimalkan fungsi tujuan:f(x,y) = 750.000x + 500.000ydengan batasan-batasan:4x + 2y ≥ 366x + 5y ≥ 24 x ≥ 0, y ≥ 0Dari dua contoh di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa contoh yang pertamamerupakan persoalan memaksimumkan fungsi tujuan dan contoh kedua merupakanpersoalan meminimumkan fungsi tujuan. Oleh karena itu, contoh pertama disebutpersoalan program linear maksimisasi dan contoh kedua disebut persoalan programlinear minimisasi.Bentuk umum model matematika persoalan program linear maksimisasi dapatdinyatakan sebagai berikut.Maksimumkan fungsi tujuan:f(x,y) = ax + bydengan syarat-syarat:c1 x + d1 y ≤ e1 c2 x + d2 y ≤ e2x ≥ 0, y ≥ 0BAB I ~ Program Linear13Keterangan:Berikut ini hanya merupakan salah satu contoh keterangan untuk masalahmemaksimumkan suatu fungsi tujuan di atas, beberapa kasus mempunyai keteranganyang berbeda.1.Terdapat 2 jenis barang yang akan diproduksi, masing-masing banyaknya x dan y.2.a dan b masing-masing menyatakan harga per satuan barang x dan y.3.ci dan di masing-masing menyatakan banyaknya bahan mentah ke-i yang digunakanuntuk memproduksi barang jenis pertama dan kedua sebanyak x dan y.4.ei menyatakan banyaknya bahan mentah ke-i.Bentuk umum model matematika persoalan program linear minimisasi dapatdinyatakan sebagai berikut.Minimumkan fungsi tujuan:f(x,y) = ax + bydengan syarat-syarat:c1 x + d1 y ≥ e1c2 x + d2 y ≥ e2x ≥ 0, y ≥ 0Keterangan:Berikut ini hanya merupakan salah satu contoh keterangan untuk masalahmeminimumkan suatu fungsi tujuan di atas, beberapa kasus mempunyai keteranganyang berbeda.1.Terdapat 2 jenis barang yang akan diproduksi, masing-masing banyaknya x dan y.2.a dan b masing-masing menyatakan besarnya ongkos per satuan barang x dan y.3.ci dan di masing-masing menyatakan banyaknya tenaga ke-i yang digunakan untukmemproduksi barang jenis pertama dan kedua sebanyak x dan y.4.ei menyatakan jumlah biaya ke-i yang dikeluarkan.1.Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis barang, yaitu jenis P dan Q. Untukmemproduksi dua jenis barang tersebut diperlukan tiga bahan mentah, yaitu bahanmentah A, B, dan C. Satu satuan barang P memerlukan bahan mentah A, B, dan C masing-masing 3, 2, dan 4 satuan. Sedangkan satu satuan barang Q memerlukan bahan mentahA, B, dan C masing-masing 2, 5, dan 6 satuan. Banyaknya bahan mentah A, B, dan Cmasing-masing tersedia 120 satuan, 150 satuan, dan 240 satuan. Jika harga jual persatuan masing-masing produk P dan Q adalah Rp10.000,00 dan Rp8.000,00, tentukanbanyaknya produksi barang P dan Q agar diperoleh hasil penjualan yang sebesar-besarnya dengan banyaknya bahan mentah yang dipergunakan tidak melebihipersediaan yang tersedia. Buatlah model matematika untuk persoalan programlinear ini.Latihan 1.3Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa142.Sebuah perusahaan makanan kecil ingin memproduksi 2 jenis makanan kecil, yaitu jenisA dan B. Untuk membuat 2 jenis makanan kecil tersebut diperlukan bahan mentah berupatepung, telur, gula, dan mentega yang masing-masing tersedia 40 kg, 20 kg, 30 kg, dan 25kg. Untuk setiap 1 satuan makanan kecil jenis A memerlukan 2 kg tepung, 3 kg telur, 2 kggula, dan 3 kg mentega. Sedangkan untuk setiap 1 satuan makanan kecil jenis Bmemerlukan 5 kg tepung, 2 kg telur, 3 kg gula, dan 2 kg mentega. Keuntungan setiap satusatuan makanan kecil jenis A adalah Rp10.000,00 dan untuk makanan jenis B adalahRp7.500,00. Berapa banyaknya produksi masing-masing makanan kecil tersebut agardiperoleh keuntungan yang maksimal? Buatlah model matematikanya.3.Seorang peternak ayam ingin mempertahankan kondisi ayamnya tetap sehat. Agar tetapsehat, setiap ayam harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 36, 24, dan40 satuan unsur nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya. Untuk keperluan tersebut,terdapat dua jenis makanan yaitu jenis P dan Q. Satu kg jenis makanan P mengandungnutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 3, 1, dan 2 satuan. Sedangkan satu kgjenis makanan Q mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar2, 1, dan 2 satuan. Harga satu kg makanan jenis P dan Q masing-masing adalahRp8.000,00 dan Rp6.000,00. Peternak tersebut harus memutuskan membeli satu jenismakanan saja atau dua jenis makanan tersebut, kemudian mencampurnya agar peternaktersebut mengeluarkan uang sedikit mungkin, tetapi ayamnya tetap sehat. Buatlah modelmatematika dari persoalan ini.4.Seseorang mempunyai tanah seluas 420 m2 di daerah perkotaan. Berhubung di daerahtersebut telah dipenuhi pertokoan, orang tersebut tidak lagi mendirikan toko padatanahnya dan dia melihat bahwa di daerah tersebut tidak ada lagi lahan untuk parkirmobil. Oleh sebab itu, dia ingin membuat tempat parkir untuk mobil sedan dan bus.Luas rata-rata untuk sebuah mobil sedan adalah 6 m2, sedangkan untuk sebuah busadalah 20 m2. Tempat parkir tersebut tidak dapat memuat lebih dari 70 mobil. Tarifparkir untuk sebuah mobil sedan adalah Rp5.000,00 dan bus Rp10.000,00. Berapakahmasing-masing mobil tersebut dapat parkir, agar diperoleh penghasilan yang maksimal?Buatlah model matematika untuk persoalan ini.5.Suatu kapal laut mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 500 orang. Setiap penumpangkelas eksekutif boleh membawa barang paling banyak 60 kg, sedang untuk kelas ekonomiboleh membawa barang sebanyak 40 kg. Kapal tersebut hanya dapat membawa barangtidak lebih dari 18. 000 kg. Bila tiket untuk setiap penumpang kelas eksekutif Rp400.000,00dan kelas ekonomi Rp200.000,00, berapa banyaknya penumpang masing-masing kelasagar diperoleh pendapatan sebanyak-banyaknya? Buatlah model matematika untukpersoalan ini.1.4Penyelesaian Persoalan Program LinearTelah disebutkan di dalam subbab sebelumnya bahwa terdapat dua macampersoalan program linear, yaitu persoalan maksimisasi dan persoalan minimisasi. Carasederhana untuk menyelesaikan persoalan program linear adalah:1.Mengubah persoalan program linear tersebut ke dalam model matematika denganmenentukan fungsi tujuan yang berupa fungsi linear dan syarat-syarat batasannyayang berupa sistem pertidaksamaan linear atau persamaan linear.2.Menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linearnya.3.Mencari nilai maksimum atau nilai minimum dari fungsi tujuan yang diberikanpada daerah penyelesaian.4.Menjawab persoalannya, yaitu mengembalikan penyelesaian model matematikake penyelesaian persoalan program linearnya.BAB I ~ Program Linear15Catatan:Jika suatu persoalan program linear telah dinyatakan dalam bentuk modelmatematika, maka kita hanya tinggal mengerjakan langkah 2 dan langkah 3 dariempat langkah di atas.Berikut ini diberikan dua contoh penyelesaian persoalan program linear, contohpertama merupakan persoalan program linear maksimisasi, sedangkan contoh keduamerupakan persoalan program linear minimisasi.Contoh 1.4.1Seorang penjahit ingin membuat 2 jenis pakaian yaitu jenis A dan jenis B, masing-masing memerlukan dua bahan kain yaitu bahan I dan bahan II. Untuk pakaian jenis Amemerlukan kain bahan I sebanyak 2 m dan kain bahan II 0,25 m. Untuk pakaian jenisB memerlukan kain bahan I sebanyak 1 m dan kain bahan II sebanyak 0,5 m. Penjahittersebut ingin membuat pakaian sedemikian hingga jumlah kedua pakaian tersebutsebanyak-banyaknya. Kain bahan I tersedia 30 m dan kain bahan II tersedia 12 m.Berapa buah pakaian jenis A dan jenis B dapat dibuat sehingga diperoleh jumlah keduapakaian tersebut maksimal, apabila bahan-bahan lain untuk membuat kedua pakaiantersebut cukup?Penyelesaian:Langkah 1Membuat model matematika dari persoalan program linear di atas.Misalkan: banyaknya pakaian jenis A yang dibuat adalah x buah danbanyaknya pakaian jenis B yang dibuat adalah y buah.Persoalan program linear di atas adalah memaksimumkan fungsi tujuan:f(x,y) = x + ydengan syarat-syarat:2x + y ≤ 30(i)0,25x + 0,5y ≤ 12 (ii) x ≥ 0 y ≥ 0 (iii)x, y ∈ C (himpunan semua bilangan cacah)Langkah 2Menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear(i)(iii)Yang pertama dicari titik potong garis 2x + y = 30 dan garis 0,25x + 0,5y = 12terhadap sumbu-sumbu koordinat.Perhatikan bahwa kita dapat menulis persamaan garis 0,25x + 05y = 12dengan persamaan x + 2y = 48 karena persamaan tersebut mempunyaipenyelesaian yang sama dan menghasilkan garis yang sama. Kemudian,dicari titik potong dari kedua garis tersebut. Bahan I IIA 2 0,25B 1 0,5Bahan yang tersedia 30 12Pakaian2x + y = 30 x 0 15 y 30 0(x,y) (0,30) (15,0)0,25x + 0,5y = 12 x 0 48 y 24 0(x,y) (0,24) (48,0)Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa162x + y = 30 ⇒ 2x + y = 30 x + 2y = 48 ⇒ 2x + 4y = 96 _ 3y = 66 atau y = 22 x = 48 44 = 4Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah (4,22).Himpunan penyelesaian atau daerah penyelesaian dari sistempertidaksamaan (i) (iii) dapat digambarkan sebagai berikut.Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear (i) (iv) adalahdaerah yang dibatasi oleh segi empat OABC.Langkah 3Menentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan pada daerah penyelesaian.Untuk ini kita selidiki nilai (x + y) di titik-titik sudut dari segiempat OABC.Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan f(x,y) = x + y adalah 26 terjadi di titikB(4,22) atau di x = 4 dan y = 22.Langkah 4Menentukan penyelesaian persoalan program linearnya.Karena x dari model matematika menyatakan banyaknya pakaian jenis Ayang dibuat dan y menyatakan banyaknya pakaian jenis B yang dibuat,maka dapat disimpulkan bahwa untuk mendapatkan jumlah kedua jenispakaian tersebut maksimal perlu dibuat pakaian jenis A sebanyak 4 danpakaian jenis B sebanyak 22, dengan total pakaian yang dibuat adalah 26.WContoh 1.4.2Seorang petani menginginkan tanamannya tidak terserang hama. Agar keinginan terse-but terlaksana tanaman tersebut harus diberi pupuk yang mengandung unsur kimiajenis U, V, dan W masing-masing paling sedikit 27, 21, dan 30 satuan unsur kimia tersebut.Dua jenis pupuk P dan Q diberikan pada tanaman tersebut. Satu kg pupuk jenis Pmengandung unsur kimia jenis U, V, dan W masing-masing sebesar 3, 1, dan 1 satuan.Sedangkan satu kg pupuk jenis Q mengandung unsur kimia jenis U, V, dan W masing-masing sebesar 1, 1, dan 2 satuan. Perlu juga diketahui bahwa harga satu kg pupukjenis P dan Q masing-masing adalah Rp8.000,00 dan Rp6.000,00. Petani tersebut harusmemilih satu jenis pupuk saja atau kedua-duanya, kemudian mencampurkannya agarpetani tersebut mengeluarkan uang seminimal mungkin. Selesaikan persoalan petanitersebut.YX O(0,0) (48,0)(0,30)A(15,0)x + 2y = 48C(0,24)B(4,22)2x + y = 30 TitikO(0,0)A(15,0)B(4,22) C(0,24) x 0 15 4 0 y 0 0 22 24 x + y 0 15 26 24BAB I ~ Program Linear17Penyelesaian:Informasi dari persoalan program linear di atas dapat disajikan dalam bentuk tabelsebagai berikut.Langkah 1Membuat model matematika dari persoalan program linear di atas.Misalkan: banyaknya pupuk jenis P yang dibeli adalah x kg banyaknya pupuk jenis Q yang dibeli adalah y kgPersoalan program linear di atas adalah mencari x dan y yang memini-malkan fungsi tujuan:f(x,y) = 8.000x + 6.000ydengan syarat-syarat: 3x + y ≥ 27 (i) x + y ≥ 21 (ii) x + 2y ≥ 30 (iii) x ≥ 0 (iv) y ≥ 0 (v)Langkah 2Menentukan himpunan atau daerah penyelesaian dari sistempertidaksamaan linear (i) (v).Yang pertama dicari adalah titik potong garis-garis 3x + y = 27, x + y = 21,dan garis x + 2y = 30 terhadap sumbu-sumbu koordinat.Titik potong garis 3x + y = 27 dan garis x + y = 21 ditentukan sebagai berikut.3x + y = 27 x + y = 21 _ 2x = 6 x = 3 y = 18Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah B(3,18).Titik potong garis x + y = 21 dan garis x + 2y = 30 ditentukan sebagai berikut. x + y = 21x + 2y = 30 _ y = 9 y = 9 x = 12Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah C(12,9).3x + y = 27 x 0 9 y 27 0 (x,y) (0,27) (9,0)x + y = 21 x 0 21 y 21 0 (x,y) (0,21) (21,0)x + 2y = 30 x 0 30 y 15 0 (x,y) (0,15) (30,0)Unsur Kimia Jenis UJenis VJenis W P 3 1 18.000 Q 1 1 26.000Total min. 27 21 30Jenis Pupuk HargaMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa18Daerah penyelesaian (DP) dari sistem pertidaksamaan linear (i) (iv) dapatdigambarkan sebagai berikut.Langkah 3Menentukan nilai minimum dari fungsi tujuan pada daerah penyelesaian.Untuk ini kita selidiki nilai (8.000x + 6.000y) di titik-titik sudut A, B, C,dan D.Jadi, nilai minimum fungsi tujuan f(x,y) = 8.000x + 6.000y adalah 132.000terjadi di titik B(3,18) atau di x = 3 dan y = 18, dengan biaya minimal adalahRp132.000,00.Langkah 4Menentukan penyelesaian persoalan program linearnya.Agar dikeluarkan biaya sedikit mungkin, maka petani tersebut harusmembeli pupuk jenis A sebanyak 3 kg dan pupuk jenis B sebanyak 18 kg.WBerikut diberikan contoh penyelesaian persoalan program linear yang telahdiketahui model matematikanya.Contoh 1.4.3Selesaikan persoalan program linear maksimisasi berikut.Tentukan nilai x dan y yang memaksimumkan fungsi tujuan:f(x,y) = 3x + 2ydengan syarat-syarat:x + 2y ≤ 8 (i)x + y ≤ 6 (ii) x ≥ 0, y ≥ 0 (iii)Penyelesaian:Sebelumnya ditentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan (i) (iii).Untuk ini dicari titik potong garis x + 2y = 8 dan garis 2x + y = 12 terhadap sumbu-sumbu koordinat.YX0 (9,0) (21,0)(0,21)(0,15)3x + y = 27x + y = 21x + 2y = 30A(0,27)B(3,18)C(12,9)D(30,0) TitikA(0,27)B(3,18)C(12,9)D(30,0) x 0 3 12 30 y 27 18 9 08.000x + 6.000y162.000132.000150.000240.000Next >