< PreviousBab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar1131.Besar momen gaya suatu benda adalah 24 Nm dan gaya yang digunakanadalah 4 N. Jika gaya tersebut tegak lurus terhadap lengan, berapakah besarlengan momen gaya tersebut?2.Persegi panjang di samping berukuran AD =9 cm dan AB = 12 cm. Gaya yang bekerjapada F1, F2, F3, F4, dan F5 masing-masingsebesar 8 N, 12 N, 14 N, 16 N, dan 18 N.Hitunglah momen gaya total terhadap titik O!Uji Kemampuan 6.1Momen gaya total pada suatubenda yang disebabkan oleh dua buahgaya atau lebih yang bekerja terhadapsuatu proses dirumuskan:¦W= n321...WWWWArah momen gaya (W) tegak lurusterhadap r dan F. Jika r dan F terletakpada bidang yang tegak lurus sumbuputar, maka vektor W arahnya sepanjangsumbu putar menurut kaidah tanganGambar 6.2 Arah momen gaya memenuhi kaidahtangan kanan.Fkanan seperti ditunjukkan pada Gambar 6.2. Genggamanjari bertindak sebagai arah rotasi, dan ibu jari sebagaimomen gaya.Contoh SoalDua roda silinder dengan jari-jari r1 = 30 cm dan r2 = 50 cm disatukan dengansumbu yang melewati pusat keduanya, seperti pada gambar. Hitunglah momengaya total pada roda gabungan!Penyelesaian:Diketahui:r1=30 cm = 0,3 mr2=50 cm = 0,5 mF1=-50 N (berlawanan arah jarum jam)F2=+50 N (searah jarum jam)Ditanya:¦W=... ?Jawab:Komponen gaya F2 yang tegak lurus r2 adalah:F2 sin 60osehingga:¦W=12WW = r2.F2 sin 60o – r1F1 = 0,5 u 50 u (321) – (0,3 u 50) = 6,65 Nm260o30or2r1F1 = 50 NF2 = 50 NDCABOF1F4F3F2F5W114Fisika XI untuk SMA/MA.oNrabmaGadneBamaNubmuSkateLratuPaisrenInemoM.1negomohgnatabgnajnaptasupiulalem.2negomohgnatabgnajnapgnujuiulalemB.Momen InersiaMomen inersia menyatakan bagaimana massa bendayang berotasi didistribusikan di sekitar sumbu rotasinya.Apabila sistem yang berotasi adalah sebuah partikel yangbermassa m dan berada pada jarak r dari sumbu rotasi,maka momen inersia partikel tersebut merupakan hasilkali massa partikel dengan kuadrat jaraknya dari sumburotasi (Gambar 6.3). Secara matematis dirumuskan:I = m.r 2............................................................. (6.3)dengan:I=momen inersia (kgm2)m=massa benda (kg) r=jarak partikel dari sumbu putar (m)Jika terdapat sejumlah partikel yang melakukan gerakrotasi, maka momen inersia total merupakan jumlahmomen inersia setiap partikel.I=¦m.r 2 = m1.r12 + m2.r22 + … + mn.rn2.......... (6.4)Apabila benda yang berotasi terdiri atas susunanpartikel kontinu, seperti benda tegar, maka momen inersiadihitung dengan metode integral sebagai berikut:I=³r 2.dmBesarnya momen inersia tergantung pada bentukbenda, jarak sumbu putar ke pusat massa, dan posisi bendarelatif terhadap sumbu putar. Tabel 6.1 menunjukkanmomen inersia beberapa benda tegar.Gambar 6.3 Momen inersiasebuah partikel terhadapsumbu rotasi.rmTabel 6.1 Momen inersia berbagai benda tegar homogenlRR2.31lmI 2.121lmI lBab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar115.3sipitrednilisnagnedaggnorebiraj-irajRiulalemaynubmus.4labetrednilisnagnedaggnorebmaladiraj-irajR1rauliraj-irajnadR2iulalemaynubmus.5lajeprednilisiraj-irajnagnedRiulalemaynubmus.6lajeprednilisiraj-irajnagnedRtasupiulalem.7nagnedlajepalobiraj-irajRtasupiulalem.8lajepalobgnujuiulalem.9aggnorebalobiraj-irajnagnedRtasupiulalem.01sipitgnepmelgnajnapnagnedarabelnadbtasupiulalem.11sipitgnepmelgnajnapnagnedaiulalemaynubmusRR1R2RRRaRb2.RMI )(212221RRMI 2.21RMI 2.57RMI 22.121.41lMRMI 2.52RMI 2.32RMI 2.121aMI a)(12122baMI 116Fisika XI untuk SMA/MAContoh SoalEmpat buah partikel A, B, C, dan D masing-masing bermassa 200 gram, 350 gram,400 gram, dan 150 gram disusun seperti gambar berikut ini.Tentukan momen inersia sistem di atas terhadap pusat rotasi melalui ujung batang!Penyelesaian:Diketahui:mA= 200 gram= 0,2 kgOA= 20 cm= 0,2 mmB= 350 gram= 0,35 kgOB= 30 cm= 0,3 mmC= 400 gram= 0,4 kgOC= 45 cm= 0,45 mmD= 150 gram= 0,15 kgOD= 60 cm= 0,6 mDitanya:I= ... ?Jawab:I=(mA.OA2) + (mB.OB2) + (mC.OC2) + (mD.OD2)=(0,2(0,2)2) + (0,35(0,3)2) + (0,4(0,45)2) + (0,15(0,6)2)=(8u10-3) + (31,5u10-3) + (81u10-3) + (54u10-3)=174,5u10-3 kgm2 =0,17 kgm21.Empat buah partikel A, B, C, dan D dengan massasama yaitu 300 gram dengan jari-jari 40 cmdihubungkan melingkar seperti tampak padagambar di samping. Berapakah momen inersiasistem terhadap:a.pusat lingkaran (O),b.diameter BD!2.Dua beban dengan massa 2 kg dan 3 kg diletakkan dengan jarak 80 cm satusama lain pada sebuah batang yang ringan. Hitunglah momen inersia sistem,jika batang diputar horizontal dengan sumbu putar:a.b.a.di tengah kedua benda (lihat gambar),b.terletak 10 cm di sebelah kiri massa 2 kg!Uji Kemampuan 6.2ABDC80 cmm1 = 2 kgm2 = 3 kgODA20 cm10 cm15 cm15 cmBC10 cmm1 = 2 kgm2 = 3 kgOBab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar117C.Hubungan antara Momen Gaya denganPercepatan SudutGambar 6.4 menunjukkan sebuah partikel denganmassa m berotasi membentuk lingkaran dengan jari-jari rakibat pengaruh gaya tangensial F.Berdasarkan Hukum II Newton, maka:F = m.at............................................................ (6.5)Jika kedua sisi dikalikan r, maka:r.F = r (m.at)Karena momen gaya W = r.F dan percepatan tangensialat = r.D, maka:r.F=r.m.r.Dr.F=m.r 2.DW=m.r 2.DMengingat I = m.r 2, maka:W = I.D............................................................. (6.6)dengan:W=momen gaya (Nm)I=momen inersia (kgm2)D=percepatan sudut (rad/s2)Persamaan (6.6) merupakan rumusan Hukum II Newtonpada gerak rotasi.Gambar 6.4 Sebuah partikelberotasi akibat pengaruh gayatangensial.rF1mContoh SoalSebuah roda berbentuk cakram homogen dengan jari-jari 50 cm dan massa 200 kg.Jika momen gaya yang bekerja pada roda 250 Nm, hitunglah percepatan sudutroda tersebut!Penyelesaian:Diketahui:r=50 cm = 0,5 mm=200 kgW=250 NmDitanya:D= … ?Jawab:I=21m.r 2 = 21(200)(0,5)2W=I.D250=25DD=10 rad/s2118Fisika XI untuk SMA/MA1.Gaya sebesar 18 N bekerja pada tali yang dililitkanpada katrol yang berjari-jari 36 cm. Katrol berputardengan kecepatan sudut 25 rad/s selama 5 sekon. Jikaantara tali dan katrol ada momen inersia sebesar 2 kgm2,hitunglah momen gaya katrol!2.Beban dengan massa 18 kg (g = 10 m/s2) digantungkanpada katrol yang berjari-jari 24 cm. Jika momen gayasebesar 4 Nm dan momen inersia sebesar 2 kgm2,tentukan:a.percepatan sudut,b.kecepatan sudut pada t = 5 s!Uji Kemampuan 6.3FSetiap benda bergerak memiliki energi kinetik. Padasaat berotasi, benda memiliki energi gerak yang disebutenergi kinetik rotasi, yang besarnya:Ek=21m.v 2Kecepatan linier, v = r.Z, maka:Ek=21m(r.Z)2 = 21m.r 2.Z2Karena m.r 2 = I, maka energi kinetik rotasi adalah:Ek = 21I.Z2..................................................... (6.7)Untuk benda yang bergerak menggelinding di atasbidang seperti pada Gambar 6.5, benda mengalami duagerakan sekaligus yaitu gerak rotasi terhadap sumbu boladan gerak translasi terhadap bidang.Besarnya energi kinetik yang dimiliki bendamerupakan jumlah energi kinetik rotasi dengan energikinetik translasi, sehingga dirumuskan:Ek=EkR + EkTEk=21I.Z2 + 21m.v 2............................................ (6.8)D.Energi dan Usaha Gerak RotasiGambar 6.5 Besarnya energikinetik benda menggelindingmerupakan jumlah energi kinetikrotasi dan energi kinetiktranslasi.ZBab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar119Perhatikan Gambar 6.6. Usaha yang dilakukan padabenda yang berotasi dapat ditentukan berikut ini.Sebuah roda berotasi pada sumbu tetap dalam selangwaktu 't, sebuah titik pada roda tersebut menempuhsudut T dan lintasan sejauh s. Usaha yang dilakukan gayaF adalah:W=F.sKarena s = r.T dan W = r.F, maka:W=F.r.TW = W .T......................................................... (6.9)dengan:W=usaha ( J)W=momen gaya (Nm2)T=sudut yang ditempuhUsaha yang dilakukan oleh momen gaya sama denganperubahan energi kinetik rotasi:W = 'Ekrot = 21I.Z22 – I.Z12........................... (6.10)Contoh SoalsFrTGambar 6.6 Roda berotasipada sumbu tetap.Sebuah bola pejal dengan massa 10 kg dan jari-jari 20 cm berada pada bidangdatar licin. Bola menggelinding dengan kelajuan linier 5 m/s dan kecepatan sudut6 rad/s. Tentukan energi kinetik total!Penyelesaian:Diketahui:m=10 kg; r=20 cm; v = 5 m/s; Z = 6 rad/sDitanya:Ek= … ?Jawab:I=52m . r 2 = 52(10)(0,2) 2 = 0,16 kgm2Ek= EkT + EkR=21I.Z2 +21m.v 2= 21(10)(5)2 + 21(0,16)(6)2 = (125 + 2,88) J = 127,88 J1.Sebuah silinder pejal yang bermassa 3 kg dan berjari-jari 50 cm berotasidengan kecepatan sudut 180 rad/s. Jika kecepatan linier silinder 5 m/s,tentukan energi kinetik total!2.Sebuah bola berongga dengan jari-jari 80 cm berotasi dengan kecepatansudut 70 rad/s. Jika energi kinetik rotasi bola adalah 5 joule dan kecepatanlinier sebesar 7 m/s, tentukan:a.massa bola,b.energi kinetik total!Uji Kemampuan 6.4120Fisika XI untuk SMA/MAE.Momentum SudutPada bab sebelumnya kalian telah mempelajarimengenai momentum yang merupakan hasil kali antaramassa dengan kecepatan. Dalam gerak rotasi, besaran yanganalog dengan momentum linier adalah momentum sudut.Untuk benda yang berotasi di sekitar sumbu yang tetap,besarnya momentum sudut dinyatakan:L = I.Z......................................................... (6.11)dengan:L=momentum sudut (kgm2/s)I=momen inersia (kgm2)Z=kecepatan sudut (rad/s)Momentum sudut merupakan besaran vektor. Arahmomentum sudut dari suatu benda yang berotasi dapatditentukan dengan kaidah putaran sekrup atau denganaturan tangan kanan (Gambar 6.7). Jika keempat jarimenyatakan arah gerak rotasi, maka ibu jari menyatakanarah momentum sudut.Jika benda bermassa m bergerak rotasi pada jarak rdari sumbu rotasi dengan kecepatan linier v, makapersamaan (6.11) dapat dinyatakan sebagai berikut:L=I . ZKarena I = m.r 2 dan Z = rv, maka:L= m.r 2.rvL= m.r.v................................................................ (6.12)Hubungan momentum sudut dengan momen gayaPada bab sebelumnya kalian telah mempelajari bahwaimpuls merupakan perubahan momentum dari benda.F.dt = dpF=dtdp = dtvmd).(Karena v = r.Z, maka:F=dtrmd)..(ZJadi, kedua ruas dikalikan dengan r, diperoleh:r.F= dtrmd)..(2ZGambar 6.7 Arah momentumsudut.LLLBab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar121Mengingat r.F = W dan m.r 2 = I, maka:W= dtId).(Zdengan I.Z adalah momentum sudut, sehingga:W=dtdL.............................................................. (6.13)Berdasarkan persamaan (6.13) dapat dinyatakanbahwa momen gaya merupakan turunan dari fungsimomentum sudut terhadap waktu.Hukum Kekekalan Momentum Sudut:jika tidak ada momen gaya yang bekerja (¦W = 0), makamomentum sudut benda yang berotasi adalah tetap.Secara matematis dirumuskan:¦W= 0dtdL= 0, maka:L= konstanL1= L2I1.Z1= I2.Z2.................................................. (6.14)Momen gaya (W) = r.FMomen inersia (I ) = m.r 2Momentum sudut = I.Z2Enegi kinetik total (Ek)= 2221ù21mvITabel 6.2 Analogi besaran-besaran pada gerak translasi dan rotasiGerak TranslasiGerak RotasiHubunganperpindahan liniersperpindahan sudutTT = rskecepatan liniervkecepatan sudutZZ = rvpercepatan linierapercepatan sudutDD = ramassammomen inersiaI I = m.r 2gayaFF = m.amomen gayaWW = I.DW = r.Fmomentum linierpmomen sudutLL = r.p = r.m.venergi kinetikEk = 21m.v 2Ek = 21I.2ZusahaW = F.sW = W.TdayaP = F .vP = W.Z122Fisika XI untuk SMA/MASebuah silinder tipis berongga dengan diameter 120 cm dan massa 20 kg berotasimelalui pusat sumbunya seperti gambar berikut ini.Jika kecepatan sudutnya 20 rpm, hitunglah momentum sudutnya!Penyelesaian:Diketahui:d=120 cm oR = 60 cm = 0,6 mm=20 kgZ=20 rpmDitanya:L= ... ?Jawab:Z= 20 rpm = s 60rpm 20 = 31 rps= 32S rad/s = 120 rad/sI= m.R 2 = (20)(0,6)2 = 7,2 kgm2L= I.Z = (7,2)(120) = 864 kgm2/sContoh SoalRDua cakram dipasang pada suatu poros putar yang sama. Cakram A memilikimomen inersia 3 kgm2 dan kecepatan sudut 360 rad/s. Cakram B memiliki momeninersia 4 kgm2 dan kecepatan sudut 320 rad/s, dengan arah putaran sama dengancakram A. Hitunglah kecepatan sudutnya setelah digabung!Uji Kemampuan 6.5Pemain Skat BerputarSeperti halnya benda yang sedang bergerak, bendayang sedang berputar memiliki momentum. Benda yangberputar memiliki momentum sudut, momentum inibertambah besar dengan bertambahnya kecepatandan massa. Momentum sudut tersimpan, tidak berubahkecuali jika ada gaya yang bekerja terhadap bendayang bersangkutan. Salah satu efek dari konservasimomentum adalah perubahan bentuk benda yangberputar akan mengubah kecepatan putarnya. Alasaninilah pemain skat menarik kedua lengannya menempelpada tubuh untuk meningkatkan kecepatan putarnya,karena garis tengah tubuh berkurang.Percikan FisikaNext >