< PreviousBab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar123F.Kesetimbangan BendaF2BAF1Gambar 6.8 Resultan gayasama dengan nol jika gayasama besar, berlawanan arahdan garis kerjanya sama.1.Kesetimbangan PartikelPenyebab gerak sumbu benda adalah gaya, dimanasemakin besar gaya, maka semakin besar pula percepatanyang dialami. Partikel adalah benda yang ukurannya dapatdiabaikan sehingga dapat digambarkan sebagai suatu titikmateri. Akibatnya, jika gaya bekerja pada partikel titiktangkap gaya berada tepat pada partikel-partikel tersebut.Oleh karena itu, partikel hanya mengalami gerak translasidan tidak mengalami gerak rotasi.Suatu partikel dikatakan dalam keadaan setimbang apabilaresultan gaya yang bekerja pada partikel sama dengan nol.¦F=0................................................................ (6.15)Apabila partikel pada bidang xy, maka syaratkesetimbangan adalah resultan gaya pada komponensumbu x dan sumbu y sama dengan nol.xF¦=0¦yF=0.............................................................. (6.16)Berdasarkan Hukum I Newton, jika resultan gaya yangbekerja pada benda sama dengan nol, maka percepatanbenda menjadi nol. Artinya, bahwa partikel dalam keadaandiam atau bergerak dengan kecepatan tetap. Apabilapartikel dalam keadaan diam disebut mengalamikesetimbangan statis, sedangkan jika bergerak dengankecepatan tetap disebut kesetimbangan dinamis.2.Kesetimbangan Benda TegarBenda tegar adalah benda yang apabila dipengaruhigaya-gaya tidak mengalami perubahan bentuk. Meskipunbenda berotasi namun bentuknya tetap sehingga jarakantara partikel-partikelnya tetap.a.Momen KopelKopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar,sama besar, dan arahnya berlawanan. Pengaruh kopelterhadap sebuah benda adalah memungkinkan bendaberotasi. Besarnya kopel dinyatakan dengan momen kopelyang merupakan hasil kali antara gaya dengan jarak antarakedua gaya tersebut.Gambar 6.9 Resultan gayasama dengan nol sehinggabenda diam.F1F3F2124Fisika XI untuk SMA/MAb.Menentukan Titik Tangkap Gaya ResultanPada bidang datar xy terdapat beberapa gaya F1, F2,dan F3 saling sejajar dan bertitik tangkap di (x1,y1),(x2,y2), (x3,y3) seperti Gambar 6.11.Resultan ketiga gaya tersebut adalah R yang bertitiktangkap di (x,y). Jika komponen gaya yang searah sumbux adalah F1x, F2x, dan F3x, sedangkan komponen gaya padaarah sumbu y adalah F1y, F2y, dan F3y dengan jarak x1, x2,dan x3 terhadap sumbu y, maka berlaku:¦Wy=W1y + W2y +W3yRyxR=F1y.x1 + F2y.x2 + F3y.x3xR=y33y22y11y...RxFxFxF=3y2y1y33y22y11y...FFFxFxFxFxR=ynny.RxF¦.................................................. (6.18)Dengan cara yang sama diperoleh:yR=¦¦xnnx.RyF= 3x2x1x33x22x11x...FFFyFyFyF................................ (6.19)Gambar 6.10 Momen gayapositif dan negatif.FFdFF+FFSecara matematis dituliskan:M = F.d........................................................... (6.17)dengan:M=momen kopel (Nm)F=gaya (N)d=jarak antara gaya (m)Momen kopel merupakan besaran vektor. Momenkopel bertanda positif jika arah putarannya searah denganputaran jarum jam dan negatif jika berlawanan denganarah putaran jarum jam. Perhatikan Gambar 6.10 disamping.Gambar 6.11 Sejumlah gayabekerja pada bidang xy.x1x2xx3y3yy2yxF1F2RF3y1Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar125Contoh Soal1.Jika massa benda 2 kg dan sistem dalam keadaan setimbang, tentukan besartegangan tali T1 dan T2! (g = 10 m/s2)Penyelesaian:Diketahui:m=2 kgg=10 m/s2D1=30oD2=60oDitanya:T1=... ?T2=... ?Jawab:T1x=T1 cosD1=T1 cos 30o = 213T1T1y=T1 sin 30o = 21T1T2x=T2 cos 60o = 21T2T2y=T2 sin 60o = 213T2w=m.g = (2 kg)(10 m/s2) = 20 NPada sumbu x¦Fx=0T2x – T1x=021T2 – 213T1= 021T2=213T1 T2=3T1 ... (i)Pada sumbu y¦yF=0T1y + T2y – w=0T1y + T2y=w21T1 + 321T2=20 ... (ii)30o60oT1T2mc.Syarat Kesetimbangan BendaPada umumnya benda yang sedang bergerakmengalami gerak translasi dan rotasi. Suatu benda dikatakansetimbang apabila benda memiliki kesetimbangan translasidan kesetimbangan rotasi. Dengan demikian, syaratkesetimbangan benda adalah resultan gaya dan momen gayaterhadap suatu titik sembarang sama dengan nol. Secaramatematis dapat dituliskan:¦xF = 0, ¦yF = 0, dan ¦W = 0....................... (6.20)T1T1xT2yyT2xT2xT1yw = m . gD1D2126Fisika XI untuk SMA/MADari persamaan (i), T2 = 3 T1 maka:21T1 + 213.3T1=2021T1 + 23T1=202T1=20T1=10 NKarenaT2 = 3T1, maka: T2 =103 N2.Jika AB = BD = 2 m dan DC = 1 m.Tentukan momen gaya di titik A dan C!Penyelesaian:Diketahui:F1=40 NAB= BD = 2 mF2=50 NCD= 1 mF3=30 NAD= 4 mDitanya:WA= … ?WC= … ?Jawab:WA=WA + WB + WD=F3 . 0 + F2 (AB) + F1 (AD)=(50 u 2) + (40 u 4)=260 NmWC=-WA + WB + WD=-F3.AC – F2.BC + F1.CD=-(30 u 3) – (50 u 1) + (40 u 1)=-100 NmF3 = 30 NF2 = 50 NF1 = 40 NABDC1.Berdasarkan gambar di samping,tentukan besar dan titik tangkap gayaresultan dari kedua gaya yang sejajar F1dan F2!2.Batang AB dengan panjang 10 m dan massa 5 kg disandarkan pada dindingvertikal, A pada dinding dan B pada lantai. Jika A terletak 8 m di atas lantaidan dinding licin, tentukan koefisien gesek lantai dengan ujung B agar batangsetimbang! (g = 10 m/s2).Uji Kemampuan 6.60123x-1F2 = 12 NF1 = 8 NyBab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar1273.Titik BeratSetiap benda terdiri atas titik-titik materi atau partikelyang masing-masing memiliki berat. Resultan dari seluruhberat partikel disebut gaya berat benda. Titik tangkap gayaberat merupakan titik berat benda.Menentukan Titik Berat BendaUntuk benda-benda homogen yang memiliki bentukteratur, sehingga memiliki garis atau bidang simetris, makatitik berat benda terletak pada garis atau bidang simetritersebut. Sementara itu, untuk benda-benda yang tidakteratur, titik beratnya dapat ditentukan dengan cara berikutini.Pada Gambar 6.13(a), benda digantung dengan tali dititik A dengan l1sebagai perpanjangannya. Kemudian bendadigantung pada bagian lain titik B dengan l1 dan l2berpotongan di suatu titik. Itulah yang merupakan titikberat benda (z).Gambar 6.13 Menentukan titikberat bidang yang tidak teratur.(b)z(a)Gambar 6.12 Titik berat benda pada benda homogen yang bentuknya teratur.zzzzzAABSecara kuantitatif letak titik berat benda dapat ditentukanmelalui perhitungan sebagai berikut ini.Misalnya, sebuah benda tegar dengan bentuk tidak teraturberada pada bidang xy seperti Gambar 6.14.Jika berat masing-masing partikel penyusun bendaadalah w1, w2, w3 … wn dengan koordinat (x1, y1), (x2, y2),(x3, y3), … (xn, yn), dan koordinat titik berat benda (x0, y0),maka momen gaya berat benda terhadap sumbu y adalah:x0.w=w1.x1 + w2.x2 + w3.x3 + … + wn.xnx0=wxwxwxwxwnn332211.......x0=n321nn332211..........wwwwxwxwxwxwJika percepatan gravitasi yang dialami oleh setiappartikel dianggap sama, maka:x0=gmgmgmgmxgmxgmxgmxgm.......).(...).().().(n321nn332211Gambar 6.14 Gaya beratpartikel.y1y2y0y3x1x2x0x3w1w2ww3l2l1128Fisika XI untuk SMA/MAx0=n321nn332211..........mmmmxmxmxmxmx0=¦¦nnn.mxm...................................................... (6.21)Dengan cara yang sama koordinat titik berat bendapada sumbu y dapat dinyatakan:y0=n321nn332211..........mmmmymymymymy0=¦¦nnn.mym...................................................... (6.22)Untuk benda-benda homogen, berat atau massabenda dapat dinyatakan dalam volume, luas, danpanjangnya.a)Benda homogen berbentuk ruangx0= ¦¦nnn.mxm, karena m = U.VMaka:x0=UU¦¦nnn...VxVx0=n321nn332211..........VVVVxVxVxVxVy0=¦¦nnn.VyVy0=n321nn332211..........VVVVyVyVyVyVTitik berat benda sebenarnyatidak sama dengan pusatmassa karena nilai gtergantung letak benda dalammedan gravitasi. Akan tetapi,karena benda kecil, makakoordinat titik pusat massasama dengan koordinat titikberat benda.Tabel 6.3 Titik berat benda homogen berupa selimut ruangGambarNamaKeterangan1.No.Letak Titik Beratselimut setengah boladengan jari-jari Ry0 = 21RR = jari-jariselimut limas dengantinggi ty0 = 31tt = tinggi limas3.selimut kerucutdengan tinggi ty0 = 31tt = tinggi kerucuty0ztMzMy0R2.zty0MBab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar129Tabel 6.4 Titik berat benda pejal homogen berbentuk ruangGambarNamaKeterangan1.No.Letak Titik Beratsetengah bola denganjari-jari Ry0 = 83RR = jari-jarilimas dengan tinggi ty0 = 41tt = tinggi limas3.kerucut dengantinggi ty0 = 41tt = tinggi kerucutyozt4.silinder pejal dengantinggi tY0 = 21tt = tinggi silindertyozty04.kulit silinder tanpatutup dengan tinggi ty0 = 21tt = tinggi silinderzMzMyoR2.ztyoMMMb)Benda homogen berbentuk bidangKarena besarnya volume: V = A.t, maka:x0=¦¦nnn.AxAx0=112233nn123n..........AxAxAxAxAAAAy0=¦¦nnn.AyAy0=n321nn332211..........AAAAyAyAyAyA130Fisika XI untuk SMA/MATabel 6.6 Titik berat benda homogen berbentuk garisGambarNamaKeterangan1.No.Letak Titik Beratgaris lurusy0 = 21ABz di tengah-tengah AB2.busur lingkarany0 = RABABAB = tali busurAB AB = busur AB R = jari-jari3.busur setengahlingkarany0 = SR2 R = jari-jarizMy0ABrABzy0y0zMc)Benda homogen berbentuk garisx0=¦¦llnnn.xx0= n321nn332211..........llllllllxxxxy0= ¦¦nnn.llyy0= n321nn332211..........llllllllyyyyTabel 6.5 Titik berat benda homogen berbentuk bidangGambarNamaKeterangan1.No.Letak Titik Beratjuring lingkarandengan jari-jari Ry0 = R32.ABABAB = tali busurAB AB = busur ABR = jari-jari2.setengah lingkarandengan jari-jari Ry0 = S34R R = jari-jari3.segitiga dengantinggi ty0 = 21tt = tinggi segitigaCAByoztzMyozyozMyoABRBab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar131Contoh Soal1.Suatu bidang datar homogen bentuk dan ukuran-nya seperti pada gambar. Tentukan koordinat titikberat bidang tersebut!Penyelesaian:Bidang dibagi menjadi 2 bagian berbentuk empatpersegi panjang I dan II dengan titik berat z1dan z2.Titik berat benda di titik perpotongan diagonal-diagonalnya.z1= (x1, y1) = (1, 5)z2= (x2, y2) = (4, 1)A1= 2 u 10 = 20A2= 4 u 2 = 8x0= ¦¦nnn.AxA=212211..AAxAxA=820(8)(4) (20)(1)=2852=76126210yx26x210yIIIz1z22.Gambar di samping menunjukkan sebuah silinderberjari-jari R dan tinggi 2R. Bagian atas dilubangiberbentuk setengah bola. Tentukan koordinat titikberat silinder tersebut!Penyelesaian:Benda I (silinder)V1=2SR3y1=RBenda II (setengah bola)V1=-32SR 3y2=2R – y=2R – 83R=813RyR2RRRy0=¦¦nnn.AyA=212211..AAyAyA= (20)(5)+(8)(1)20+8=367Jadi, titik berat bidang adalah z (761, 637).132Fisika XI untuk SMA/MAy0=212211..VVyVyVy0=)32-(2)813)(32-().2(3333RRRRRRSSSS = 334432224262RRRRSSSS = 1611RKoordinat titik berat silinder berlubang adalah (0, 1611R)Tujuan:Menentukan titik berat benda tidak teratur.Alat dan bahan:Karton, gunting, benang, paku, styrofoam, kertas.Cara Kerja:1.Potonglah karton dengan bentuk tidak teratur.2.Buatlah beberapa lubang pada pinggir potongan karton, dan berilah nama,misalnya A, B, C, dan seterusnya.3.Gantungkan potongan karton pada papan styrofoam dengan memasukkanpaku pada lubang A.4.Gantungkan benang yang telah diberi paku (beban), pada paku lubang A.5.Jika benang sudah setimbang (tenang, diam, tidak bergerak), buatlah garisyang berimpit dengan benang tersebut.6.Ulangi langkah 3 - 5 untuk lubang B, C, D, dan seterusnya.7.Dari garis-garis yang kalian buat akan ditemukan satu titik yang merupakanperpotongan dari garis-garis tersebut. Berilah nama titik z (titik berat).Diskusi:1.Apakah yang dimaksud titik berat?2.Bagaimanakah jumlah momen gaya terhadap titik z dan resultan gayanyaketika benda dalam keadaan setimbang?3.Setelah ketemu titik beratnya, letakkan potongan karton pada kertas dantentukan koordinat titik z tersebut!KegiatanpakupakupapanstyrofoambenangBAEDCNext >