< PreviousBab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor3Jika komponen vektor A ditulis dalam vektor satuan, maka:Ax=Axi = (AcosD)iAy=Ayj = (AsinD)jsehingga:A=Ax + AyA=Axi + AyjA=(AcosD)i + (AsinD)j..................................... (1.1)Besarnya vektor A adalah:A=2y2xAA............................................... (1.2)2.Vektor PosisiPosisi atau kedudukan suatu titik materi dinyatakanoleh vektor posisi, yaitu vektor yang dibuat dari titik acuanke arah titik materi tersebut. Perhatikan Gambar 1.4,sebuah titik materi terletak di A (x1, y1), maka vektor posisititik tersebut dituliskan dengan:r= xi + yj................................................................ (1.3)Besarnya vektor posisi adalah:r=22yx......................................................... (1.4)Arah vektor r (D) dapat ditentukan dengan persamaan:tanD = xy............................................................... (1.5)Jika terjadi perpindahan tempat, maka vektor posisi jugaberubah. Perpindahan adalah perubahan posisi suatubenda pada waktu tertentu. Perhatikan Gambar 1.5,sebuah titik materi mula-mula berada di A (x1, y1) denganvektor posisi rA, kemudian bergerak dengan lintasansembarang sampai di B (x2, y2), dengan vektor posisi rB.Besarnya perpindahan titik materi tersebut (r') adalah:r'=rB – rA............................................................. (1.6)Persamaan (1.6) dapat dinyatakan dalam vektor satuan:r'= (x2i + y2j) – (x1i + y1j)r'=x2i – x1i + y2j – y1jr'=(x2 – x1)i + (y2 – y1)jr'='xi + 'yj....................................................... (1.7)Besarnya perpindahan adalah:r'=22yx''.............................................. (1.8)dengan:r'=besarnya perpindahan;'x=x2 – x1'y=y2 – y1Arah perpindahannya adalah: tanD= xy''Gambar 1.3 Vektor A dalamvektor satuan i dan j.Gambar 1.4 Posisi titik materipada bidang XOY.yAAx = AxiAy = AyjxijDyA(x1, y1)xiyjxDOGambar 1.5 Perpindahantitik materi.yxx2x1B(x2, y2)rBrAy1y2A(x1, y1)Pada saat t = t1, maka vektorposisinya r1 dan pada saatt = t2, maka vektor posisinyar2 dan perpindahan partikeladalah r'= r2 r1.4Fisika XI untuk SMA/MASebuah materi bergerak pada bidang datar dengan lintasan sembarang dari titikA (3,5) ke titik B (5,1), tentukan:a.vektor perpindahan,b.besarnya perpindahan!Penyelesaian:Diketahui:rA=3i + 5jrB=5i + jDitanya:a.vektor r'= ... ?b.r = ... ?Jawab:Uji Kemampuan 1.1Sebuah materi memiliki vektor posisi yang dinyatakan dengan r = (2t2)i + (2t2+t)j.Tentukan vektor perpindahan materi tersebut jika t = 1 s dan t = 2 s! Tentukanpula besar perpindahannya!B.KecepatanKecepatan merupakan perpindahan (perubahan posisi)suatu benda terhadap satuan waktu. Kecepatan merupakanbesaran vektor karena memiliki arah.1.Kecepatan Rata-RataBerdasarkan Gambar 1.6 dapat diketahui bahwaperubahan posisi benda (titik materi) dari A ke B adalahr' = rB – rA, sedangkan selang waktu yang diperlukanadalah't = tB – tA. Hasil bagi antara perpindahan danselang waktu tersebut adalah kecepatan rata-rata yangdirumuskan:v=t''r = BABAttrr............................................. (1.9)dengan:v=kecepatan rata-rata (m/s)r'=perpindahan (m)t'=selang waktu (s)Contoh Soala.Vektor perpindahanr'=)(jiyx''=(x2 – x1)i +(y2 – y1)j=(5 – 3)i +(1 – 5)jr'=2i – 4jb.Besarnya perpindahanr'=22yx''=222(-4)=164=20= 52Gambar 1.6 Kecepatan rata-rata memiliki arah yang samadengan arah perpindahan.yBArBrAx'rBab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor5Persamaan (l.9) apabila dinyatakan dalam vektorsatuan, maka:v=tyx''' ji = jitytx''''v=vxi + vyj....................................................... (1.10)dengan:v=kecepatan rata-rataxv=tx'' = komponen kecepatan rata-rata pada sumbu xyv=ty'' = komponen kecepatan rata-rata pada sumbu yTanda garis di atas besaran v menyatakan harga rata-rata,arah kecepatan rata-rata v searah dengan perpindahan r'.Gambar 1.7 Kecepatanrata-rata roller coasterdihitung dari jarak lintasandibagi waktu yangdiperlukan.2.Kecepatan SesaatJika kalian mengendarai sepeda motor sepanjang jalanyang lurus sejauh 100 km dalam waktu 2 jam, besarkecepatan rata-ratanya adalah 50 km/jam. Walaupundemikian, tidak mungkin kalian mengendarai sepedamotor tersebut tepat 50 km/jam setiap saat. Untukmengetahui situasi ini, kita memerlukan konsep kecepatansesaat yang merupakan kecepatan pada suatu waktu.Kecepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata pada limitselang waktut'mendekati nol. Secara matematiskecepatan sesaat dituliskan:v=dtdttrr ''o'0lim.............................................. (1.11)ddtr adalah turunan pertama fungsi vektor posisi terhadapwaktu.Jika r = xi + yj dan r' = 'xi + 'yjMaka,v=''§·¨¸'o''©¹lim0yxtttijv=)(jiyxdtdv=jidtdydtdxv=vxi + vyj......................................................... (1.12)dengan:v = vektor kecepatan sesaat (m/s)vx= dtdx = komponen kecepatan sesaat pada sumbu x (m/s)vy= dtdy = komponen kecepatan sesaat pada sumbu y (m/s)Arah kecepatan sesaat merupakan arah garis singgunglintasan di titik tersebut.Notasi turunan dari fungsivektor diperkenalkan olehGottfried Wilhelm Leibniz(1646 - 1716) seorang ahlimatematika dari Jerman.Sumber: CD ClipArtGambar 1.8 Ketikamengendarai sepeda motormemerlukan konsep kecepatansesaat.Sumber: Jawa Pos, 18 Juni 20066Fisika XI untuk SMA/MAContoh Soal1.Sebuah partikel mula-mula berada pada posisi A (4 m, 5 m). Setelah 2 sekonpartikel berada pada posisi B (6 m, 3 m), tentukan:a.vektor perpindahan,b.besarnya perpindahan,c.vektor kecepatan rata-rata, dand.besarnya kecepatan rata-rata!Penyelesaian:Diketahui:rA=(4i +5j) mrB=(6i + 3j) mt'=2 sDitanyakan:a.vektor r'= ... ?b.r' = ... ?c.vektor v = ... ?d.v = ... ?Jawab:a.Vektor perpindahanr'=(xB – xA)i + (yB – yA)j = (6 – 4)i + (3 – 5)j = 2i – 2jb.Besarnya perpindahanr'=22yx'' = 222(-2) = 44 = 8 = 22 mc.Vektor kecepatan rata-ratav=jijiji - 2)2(- 22 ''''ttyxd.Besarnya kecepatan rata-ratav= 22¸¹·¨©§''¸¹·¨©§''tytx = §·§·¨¸¨¸©¹©¹222-222 = 2m/s2.Sebuah partikel bergerak lurus ke arah sumbu x dengan persamaanx = 5t 2 + 4t – 1, x dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan kecepatan sesaatpada waktu t = 2 sekon!Penyelesaian:Diketahui:Persamaan posisi partikel r = (5t 2 + 4t –1)iDitanya:v= ... ? (t = 2 s)Jawab:v=)(jiyxdtd=)145(2ttdtdi= i)410(tUntuk t = 2 sv=(10)(2) + 4 = 20 + 4 = 24 m/sBab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor73.Menentukan Posisi dari Fungsi KecepatanBerdasarkan persamaan (1.11) kecepatan dapat dicaridengan turunan dari fungsi posisinya. Sebaliknya, jikafungsi kecepatan diketahui, fungsi posisi dapat ditentukandengan mengintegralkan fungsi kecepatan tersebut.v= dtdrdr= v.dtApabila persamaan tersebut diintegralkan, maka:³rd=³dt.v³rrd0r=³ttdt0.vr – r0=³ttdt0.vr=r0+³ttdt0.v................................................ (1.13)dengan:r0=posisi awal (m)r=posisi pada waktu t (m)v=kecepatan yang merupakan fungsi waktu (m/s)Komponen posisi pada arah sumbu x dan sumbu y adalah:x=³ttdtvx00 .xy=³0y0tyv.dtt.................................................... (1.14)Rumus menentukan posisidari fungsi kecepatan:v = v(t) = vxi + vyjr = r0 + dtv³ = xi + yjr0 = x0i + y0jTujuan:Memeragakan metode yang digunakan para pelaut pertama untuk menentukankecepatan kapal.Alat dan bahan:Gunting, pensil, tali, penggaris, stopwatch.Cara Kerja:1.Potonglah tali sepanjang 3 m dan buatlah simpul di setiap ujungnya.2.Potonglah sepuluh buah tali yang berukuran 10 cm.3.Ikatlah satu potong tali pada setiap jarak 30 cm di sepanjang tali yangpanjang. Ikatlah potongan-potongan tali tersebut dengan kuat sehingga tidakmudah bergeser.Kegiatan4.Gulunglah tali yang panjang ke bagian tengah pensil.5.Peganglah pensil dengan kedua tanganmu.6.Mintalah kepada teman untuk memegang ujung tali yang tidak tergulungdan mulailah menghitung waktunya menggunakan stopwatch.10 cm30 cm^^3 m8Fisika XI untuk SMA/MAUji Kemampuan 1.2Sebuah partikel bergerak di bidang datar dengan persamaan x = 3t2 + 3 dany = 6t2 + 3t (x dan y dalam meter dan t dalam sekon). Tentukan:a.koordinat titik pada t = 2 s,b.vektor perpindahan pada t = 0 sampai t = 2 s,c.vektor kecepatan rata-rata pada t = 0 sampai t = 2 s, dand.besarnya kecepatan pada t = 2 s!7.Ketika temanmu berkata ‘mulai’ dengan perlahan mulailah berjalan mundur,biarkanlah gulungan tali terbuka, dan hitunglah simpul yang melewati ibujari dan jari tengahmu.8.Berhentilah ketika temanmu berkata ‘waktu sudah 2 menit’.9.Gulunglah kembali tali ke pensil, ulangi kembali langkah ke-5 sampai ke-8.Akan tetapi kali ini berjalanlah secepat mungkin.10.Bandingkan panjang tali yang tidak tergulung.Diskusi:Bagaimana hasilnya ketika kalian berjalan biasa dengan berjalan lebih cepat?Mengapa demikian?Pelaut akhirnya menggunakan kata knot atau simpul untuk mengukur kecepatan kapal laut. Satuknot adalah 1 nautikal mil per jam. Adapun 1 nautikal mil sama dengan 6.076 kaki (= 1.823 m).Contoh SoalSebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dengan persamaan kecepatan v = 2t – 2,v dalam m/s dan t dalam s. Pada saat t = 0, posisi benda x0 = 3 m, tentukan:a.persamaan posisi setiap waktu,b.jarak yang ditempuh benda setelah bergerak 5 sekon pertama!Penyelesaian:Diketahui:v=(2t – 2) m/st0=0 o x0 = 3 mDitanyakan:a.x= ... ?b.xt= ... ? (t = 5 s)Jawab:a.x=x0 + ³0.txtvdt= x0 + ³tdtt0)22( = x0 + >@ttt022= 3 + >@tt22= (t2 – 2t + 3) mb.untuk t = 5 sxt=(5)2 – (2)(5) + 3 = (25 – 10 + 3) m = 18 mBab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor9Percepatan adalah perubahan kecepatan per satuanwaktu. Seperti kecepatan, percepatan juga merupakanbesaran vektor.1.Percepatan Rata-RataPercepatan rata-rata adalah perubahan kecepatandibagi dengan waktu yang diperlukan untuk perubahantersebut. Perhatikan Gambar 1.9. Pada saat t1, sebuahpartikel berada di A dengan kecepatan sesaat v1 dan padasaat t2 partikel berada di B dengan kecepatan sesaat v2,percepatan rata-rata selama bergerak dari A ke B adalah:a=2121ttvv = t''v........................................ (1.15)dengan:a=percepatan rata-rata (m/s2)v'=perubahan kecepatan (m/s)t'=selang waktu (s)Persamaan (1.15) jika diciptakan dalam vektor satuan,maka:a=tvv'''jiyx=yxvvtt''''ija=xyaaij......................................................... (1.16)dengan:xa=t''xv = xx1221ttvvya=t''yv = 121y2yttvvC.PercepatanABv1v2t1yt2xGambar 1.9 Percepatanrata-rata suatu benda yangbergerak dari A ke B.2.Percepatan SesaatPercepatan sesaat didefinisikan sebagai limit kecepatanrata-rata untuk interval waktu mendekati nol.a=dtdttvv ''o'0lim.............................................. (1.17)Jika v = vxi + vyj, maka:a=xy()dvvdtij10Fisika XI untuk SMA/MAa=yxdvdvdtdtij................................................... (1.18)a=axi + ayjdengan:a=vektor percepatanax=xdvdtay=ydvdtDari persamaan (1.18) dapat dikatakan bahwa percepatanmerupakan turunan dari fungsi kecepatan terhadap waktu.Percepatan juga merupakan turunan kedua fungsi posisiterhadap waktu.Karena vx = dxdt dan vy =dydt, maka persamaan (1.18) dapatdituliskan:a=§·§·¨¸¨¸©¹©¹dydxdddtdtdtdtija=2222dydxdtdtij................................................ (1.19)Sehingga percepatan sesaat menjadi:a=dtdv = 22dtdrax=dvdtx = dxdt22ay=dvdty = ddt22y................................................... (1.20)Rumus percepatan sesaatv = v(t ) = vxi + vyja = dtdv = axi + ayjGambar 1.10 Percepatansesaat merupakan kemiringangrafik kecepatan terhadapwaktu.vt0ADContoh Soal1.Sebuah partikel bergerak dengan persamaan kecepatan v = (3+4t)i + (3t 2)j,v dalam m/s dan t dalam s, tentukan:a.besar percepatan rata-rata dari = 0 sampai t = 2 s,b.besar percepatan saat t = 1 s dan t = 2 s!Penyelesaian:a.Percepatan rata-ratat=0 s o v0 = (3 + (4)(0))i + 3(0)2j = 3it=2 s o v = v2 = (3 + (4)(2))i + 3(2)2j = ij11 + 12a=t''v = 'vv20t= 212)311(ji = 2128ji = ij4+6Besarnya percepatan rata-rata:a=2y2xaa = 2264 = 3616= 52 = 132 m/sBab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor11b.Percepatan sesaata=ijyxdvdvdtdta=ij2(34)(3)dtdtdtdta=i j4 (6 )tBesarnya percepatan:t=1 s oa1=4i + (6)(1)ja1=2264 =52 = 132 m/s2Besarnya percepatan:t= 2 s oa2=4i + (6)(2)j = 4i + 12ja2=22124 = 14416 = 104m/s22.Suatu partikel bergerak lurus dengan persamaan gerak r = t3 – 2t2 + 10t + 3,r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan:a.kecepatan saat t = 2 sekon,b.percepatan saat t = 2 sekon,c.percepatan rata-rata untuk t = 1 s dan t = 3 s!Penyelesaian:a.v=dtdr = 3t2 – 4t +10t=2 s o v = 3(2)2 – 4(2) + 10 = 12 – 8 + 10 = 14 m/sb.a=dtdv = 6t – 4t=2 s o a = (6)(2) – 4 = 8 m/s2c.t=1 s o v1 = (3)(1)2 – (4)(1) + 10 = 9 m/st=3 s o v3 = (3)(3)2 – (4)(3) + 10 = 25 m/sa=t''v = 1313ttvv = 25931 = 216 = 8 m/s23.Menentukan Kecepatan dari fungsiPercepatanBerdasarkan persamaan (1.17), maka:a = dtdv o dv = a.dtFungsi kecepatan dapat ditentukan dengan meng-integralkan fungsi percepatan tersebut.³vd=³a dtApabila saat t0 kecepatannya v0 dan pada saat tkecepatannya v, maka batas-batas integralnya adalah:³vvv0d= ³a 0ttdtv – v0= ³a 0ttdtRumus kecepatan dari fungsipercepatana = a(t ) = axi + ayjv = v0 + ³a dt = vxi + vyjv0 = v0xi +v0yj12Fisika XI untuk SMA/MAv = v0 + ³a 0ttdt...................................................... (1.21)dengan:v0=kecepatan awal, pada saat t0 (m/s)v=kecepatan pada saat t (m/s)a=percepatan yang merupakan fungsi waktu (m/s2)Apabila vektor kecepatan dan percepatan dinyatakandalam komponen-komponennya, maka:vx =v0x + ³ttdt0xavy =v0y + ³ttdt0ya.................................................... (1.22)1.Partikel bergerak lurus dengan persamaan percepatan a = 3i + (4t)j, a dalam m/s2dan t dalam s. Jika kecepatan awal partikel v0 = 2i + 3j, tentukan persamaankecepatan partikel tersebut!Penyelesaian:Diketahui:a=3i + (4t)jv0=2i + 3jDitanya:v=... ?Jawab:v=v0 + ³a 0tdt = (2i + 3j) + ³i)j0(3(4)ttdt= 2i + 3j + (3t)i + (2t 2)j = (2 + 3t)i + (3 + 2t 2)jJadi, persamaan kecepatannya v = (2 + 3t)i + (3 + 2t2)j2.Sebuah benda bergerak lurus dengan persamaan percepatan a = 2 + 4t,a dalam m/s2 dan t dalam sekon. Jika kecepatan awal dan posisi awal bendamasing-masing 2 m/s dan 5 m, tentukan:a.persamaaan kecepatan,b.posisi benda saat t = 3 s!Penyelesaian:Diketahui:a=2 + 4tv0=2 m/sr0=5 mDitanya:a.v=... ?b.r=... ?Jawab:a.v=v0 +³a 0tdt= 2 + ³tdtt0)42(=2 + 2t + 2t 2Jadi, persamaan kecepatannya adalah v = (2 + 2t + 2t 2) m/sContoh SoalNext >