< PreviousBab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor13b.r=r 0 + ³v 0tdt = 5 + ³tdttt02)2 2 2( = 5 + 2t + t 2 + 332tataur=332t + t2+ 2t + 5Pada saat t = 3 sekon, maka:r=23(33) + 32 + 2(3) + 5 = 18 + 9 + 6 + 5 = 38 mUji Kemampuan 1.31.Sebuah materi bergerak dengan kecepatan yang ditentukan oleh persamaanvx = 2t 2 + 4 dan vy = 3t2, v dalam m/s dan t dalam s. Tentukan:a.besar percepatan rata-rata dari t = 0 sampai t = 2 s,b.besar percepatan saat t = 1 s!2.Sebuah benda bergerak dengan percepatan yang ditentukan oleh persamaana = 3t + 6, a dalam m/s2 dan t dalam s. Jika kecepatan awal 3 m/s dan posisiawal 3 m, tentukan:a.besar kecepatan saat t = 2 s,b.posisi benda saat t = 1 s!D.Gerak LurusGerak lurus berubah beraturan merupakan gerak denganpercepatan konstan. Selama geraknya percepatan a tidakberubah baik besar maupun arahnya, karena itu komponen-komponen a juga tidak berubah, ax konstan dan ay konstan.Dengan demikian, kita memiliki suatu keadaan yang dapatdinyatakan sebagai jumlah dari dua komponen gerak padadua arah yang berbeda, masing-masing dengan percepatankonstan dan terjadi secara serempak.Persamaan untuk percepatan konstan dapat kalian lihatpada Tabel 1.1, diterapkan untuk komponen x dan y darivektor posisi r, vektor kecepatan v, dan vektor percepatan a.Gambar 1.11 Kereta apimelakukan gerak lurusberubah beraturan.Sumber: Encarta Encyclopedia, 2006Tabel 1.1 Persamaan-persamaan untuk percepatan konstanPersamaan gerak dalam arah xvx= v0x + axtx= x0 + 21(v0x + vx)tx= x0 + v0xt + 21axt2vx2= v0x2 + 2ax(x x0)Persamaan gerak dalam arah yvy= v0y + ayty= y0 + 21(v0y + vy)ty= y0 + v0yt + 21ayt2vy2= v0y2 + 2ay(y y0)14Fisika XI untuk SMA/MAContoh SoalSeorang tukang sayur berjalan sejauh 100 m ke Timur kemudian berbelok keSelatan sejauh 120 m, dan ke Barat Daya sejauh 80 m. Hitunglah besar dan arahperpindahannya!Penyelesaian:y100 mTimurxs1120 ms2s380 mSelatanRBarat dayaKomponen y:s1y= s1.sin1T = (100)(sin 0) = 0s2y= s2.sin2T = (120)(sin(-90o)) = -120s3y= s3.sinT3 = (80)(sin 135o) = 56,6sy= -120 + 56,6 = -63,4Komponen x:s1x= s1.cos1T = (100)(cos 0o) = 100s2x= s2.cos2T = (120)(cos (-90o)) = 0s3x= s3.cos3T = (80)(cos 135o) = -56,6sx= 100 + 0 – 56,6 = 43,4Besar perpindahan:s= 2y2xss = 22(43,4)(-63,4) = 76,83 mArah perpindahan:D= arc tanxyss = arc tan§·¨¸©¹63,4-43,4 = -55,6o (searah jarum jam dari Timur)Apabila gerak lurus yang terjadi merupakan perpaduanbeberapa gerak maka dinyatakan dalam vektor resultan.Perpindahannya berdasarkan analisis komponen-komponenvektornya pada sumbu x dan y.Vektor resultan s dapat dinyatakan ke dalam vektor s1 dans2 sebagai berikut:s= s1 + s2Kita dapat menuliskan besar komponen-komponenberikut:s1x= s1.cos1Ts1y= s1.sin1Ts2x= s2.cos2Ts2y= s2.sin2Tsehingga:sx= s1x + s2x = s1cos1T + s2cos2Tsy= s1y + s2y = s1sin1T + s2sin2TBesar vektor resultan dinyatakan:s= 2y2xss................................................... (1.23)syxs1DTTs2Gambar 1.12 Resultanvektor perpindahan.Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor15Sebuah bus dengan rute perjalanan melaluitiga kali persinggahan seperti ditunjukkangambar di samping.OA= 40 kmAB= 30 kmBC= 20 kmBerapakah besar dan arah perpindahannya?Uji Kemampuan 1.460os2Rs3s2ABC0yxPerhatikan Gambar 1.13. Bagaimana lintasan yangditempuh atlet tersebut? Atlet menempuh lintasan parabola(melengkung). Gerak parabola merupakan perpaduangerak lurus beraturan (GLB) pada arah horizontal dengangerak lurus berubah beraturan (GLBB) pada arah vertikal.Gerak parabola juga dikenal dengan gerak peluru. Lemparanbola, bola yang ditendang, peluru yang ditembakkan darisenapan, atlet yang melakukan lompat jauh atau lompattinggi, merupakan contoh gerak parabola. Pada pembahasanini kita mengabaikan gesekan udara, dan tidak akanmemperhitungkan dengan proses bagaimana bendadilemparkan, tetapi hanya memerhatikan geraknya setelahdilempar dan bergerak bebas di udara dengan pengaruhgravitasi semata. Oleh karena itu, percepatan bendatersebut disebabkan oleh percepatan gravitasi (g) yangarahnya ke bawah (menuju pusat Bumi).Gambar 1.13 Atlet yangmelakukan lompat tinggi.E.Gerak ParabolaSumber: Ensiklopedi Umum untukPelajar Jilid 1, PT Ichtiar Baru vanHoeve, 2005Perhatikan Gambar 1.14. Sebuahbenda mula-mula berada di pusatkoordinat, dilemparkan ke atas dengankecepatan v0 dan sudut elevasi D. Padaarah sumbu x, benda bergerak dengankecepatan konstan, atau percepatan nol(a = 0), sehingga komponen kecepatanvx mempunyai besar yang sama padasetiap titik lintasan tersebut, yaitusama dengan nilai awalnya v0x padasumbu y, benda mengalami percepatangravitasi g.Gambar 1.14 Lintasan gerak peluru.yv0yv0v0xAvyvvxBChvy = 0v = v0xDvxvyvEvx = v0xv = -v0vy = -v0yDDDDx16Fisika XI untuk SMA/MAGambar 1.15 Bola yangdilempar membentuk lintasanparabola.Sumber: CD ClipArtGerak parabola merupakanperpaduan dari gerak lurusberaturan yang mengarahhorizontal dan gerak lurusberubah beraturan yangmengarah vertikal.Untuk menganalisis gerak peluru, kita tinjau gerakdalam arah sumbu x dan sumbu y.1.Vektor kecepatan awal (titik A)Komponen vektor kecepatan awal pada sumbu xdan y adalah:v0x=v0.cosD............................................... (1.24)v0y=v0.sinD2.Kecepatan benda setiap saat (titik B).Pada arah sumbu x (GLB)vx=v0x = v0.cosD....................................... (1.25)Pada arah sumbu y (GLBB)vy=v0y – gtvy=v0. sinD – gt........................................ (1.26)Besarnya kecepatan adalah:v=2y2xvv3.Posisi benda setiap saat-Pada arah sumbu xx=v0x.tx=v0.cosD.t........................................(1.27a)-Pada arah sumbu yy=v0y.t – 21gt 2y=v0.sinD.t – 21gt 2............................(1.27b)4.Tinggi maksimum benda (h)Pada saat benda mencapai ketinggian maksimum,misalnya, di titik C kecepatan arah vertikal sama dengan 0.vy=0v0.sinD– gt=0v0.sinD=g.tt=D0.sinvg.................................. (1.28)dengan t adalah waktu untuk mencapai ketinggianmaksimum. Jika t kita substitusikan ke persamaan(1.27b), maka:y=v0.sinD¸¹·¨©§Dgvsin.0–21g20sin.¸¹·¨©§Dgvy= gvgv2sin.sin.220220DD = gv2sin.220Dh=gv2sin.202D = gv2sin.20D..................... (1.29)h=tinggi maksimumBab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor175.Jarak jangkauan benda (R)Pada saat benda menyentuh tanah, misalnya dititik E, posisi vertikal benda adalah nol.y=0y=D20.1.sin2vtg.t0=D20.1.sin2vtg.t2.21tg=D0..sinvttR=gvDsin.20.........................................(1.30)dengan tR adalah waktu yang diperlukan benda untukmenyentuh tanah.Jika persamaan (1.30) kita substitusikan ke persamaan(1.27a), maka:x=D0.cos.vt= RR=§·DD¨¸©¹002.sin(.cos)vvg=gvDDcos.sin2.20 ; dengan 2sinD.cosD= sin 2D R = gvD2sin.20...................................... (1.31)Berdasarkan persamaan (1.31), jarak jangkauanbenda ditentukan oleh sudut elevasi (D). Benda akanmencapai jarak jangkauan maksimum jika nilai sin 2Dmaksimum.R =gvD2sin.20, R maksimum jika sin 2D maksimumsin 2D=1sin 2D=sin 90oD=45oPada gerak parabola berlaku:vx=v0 cosDvy=v0 sinD gtx=v0 cosD.ty=v0 sinD.t 21gt2h=D vg220sin 2 R=Dvg20 sin 2Contoh Soal1.Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 40 m/s dan sudut elevasi30o. Tentukan tinggi maksimum dan jarak jangkauan peluru (g = 10 m/s2)!Penyelesaian:Diketahui:v0= 40 m/s;D=30o;g=10 m/s2Ditanya:h= ... ? R = ... ?Jawab:h= gv2)sin.(20D = g2)30sin.40(2o = 21(40.)220= 20 mR= gvD2sin.20 = 1030.2sin.)40(o2 = 11600.3210 = 380 m18Fisika XI untuk SMA/MA4.Pada air ketinggian h terhadap moncong pipa, lihatlah titik tertinggi pancaranair y, demikian juga pancaran terjauhnya x.5.Ulangilah langkah-langkah di atas dengan sudut pancaran yang berbeda-beda.6.Ulangilah langkah-langkah di atas dengan ketinggian air h yang berbeda-beda.7.Catatlah hasil percobaan dengan mengikuti format berikut ini.2.Sebuah benda dijatuhkan dari pesawat terbang yang bergerak horizontaldengan kelajuan 360 km/jam pada ketinggian 500 m. Tentukan jarakhorizontal jatuhnya benda tersebut!Penyelesaian:Diketahui:v0=360 km/jam = 100 m/sy=500 mD=0o (horizontal)Ditanyakan:R=... ?Jawab:y=2021.sin.gttvD, karena D= 0o, maka:y=21-2gt-500=21-.10.2tt 2=100t=10 sekonPada arah horizontalR= tv.cos.0D = 100 . cos 0o . 10 = 1.000 myxR = ... ?y = -500 mTujuan:Melakukan percobaan gerak parabola dengan semburan air.Alat dan bahan:Bak air, selang, penyangga selang, busur derajat, penggaris, pegas per, bak penampung,dan kertas grafik.Cara Kerja:1.Susunlah alat dan bahan seperti gambardi samping.2.Arahkan ujung selang pada penyanggadengan arah sudut D.3.Isilah bak dengan air secukupnya, dangetarkan elektromagnetik sehinggaaliran air sesuai getaran pegas.KegiatanBak airPenggarisDh (m)x (m)y (m) uv1022gy v02ghBab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor19Gambar 1.16 Grafik posisisudut terhadap waktu.Uji Kemampuan 1.5Peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 20 m/s dan sudut elevasi 45o. Tentukantinggi maksimum dan jarak jangkauan terjauh peluru tersebut! (g = 10 m/s2)F.Gerak Melingkar1.Posisi SudutPosisi sudut dari suatu titik zat yang bergerak melingkardinyatakan: T = T(t), T(t) merupakan fungsi dari waktu.2.Kecepatan sudutKecepatan sudut rata-rata adalah hasil bagi perubahanposisi sudut dengan selang waktu tertentu (Gambar 1.16)Z= t'T' = 1212ttTT............................................. (1.32)Apabila selang waktu t' mendekati nol, maka kecepatanbenda tersebut adalah kecepatan sesaat, dirumuskan:Z=tt'T'o'0limZ=Tddt............................................................... (1.33)Kecepatan sudut sesaat merupakan turunan pertama darifungsi posisi sudut terhadap waktu. Dalam sebuah grafikfungsi posisi sudut terhadap waktu (T– t), kecepatan sudutsesaat ditentukan dari kemiringan grafik tersebut (Gambar1.17). Jika E adalah sudut kemiringan garis singgung grafikT– t, maka kecepatan sudut sesaat dituliskan:Z=Etan ............................................................. (1.34)Dalam bab ini kita akan mempelajari mengenai posisisudut, kecepatan sudut, dan percepatan sudut sebagaipersamaan fungsi terhadap waktu. Secara berturut-turutdinyatakan T(t), Z(t), dan D(t).T(rad)T2T1'T'TPt1t2t(s)QDiskusi:1.Bagaimana cara untuk menghitung tinggi maksimum dan jarak tembakmendatar dari gerak parabola?2.Tulislah kesimpulan dari percobaan yang telah kalian lakukan!TEGambar 1.17 Kemiringangrafik menunjukkanbesarnya kecepatan sudut.t20Fisika XI untuk SMA/MAPosisi sudut dapat dicari dari fungsi kecepatan sudutsesaat. Apabila kecepatan sudut suatu benda diketahui,kita dapat menentukan fungsi posisi benda denganmengintegralkan fungsi kecepatan sudut tersebut.Z=TddtTd=dt.ZT³d=³Zdt.Jika pada saat t = 0 posisi sudut T0 dan pada saat t = tposisi sudut T, maka:TTT³0d=³Ztdt0.0TT=Z³0.tdt T=³ZTtdt00.................................................. (1.35)dengan:0T= posisi sudut awal (rad)T= posisi sudut pada saat t (rad)Z= kecepatan sudut (rad/s)t= waktu (s)3.Percepatan SudutPercepatan sudut rata-rata adalah perubahan kecepatansudut tiap satuan waktu.D=t'Z' = ZZ2121tt............................................ (1.36)Jika selang waktu t'mendekati nol, maka percepatan yangdimiliki benda adalah percepatan sesaat yang dirumuskan:D=tt'Z'o'0limD=dtdZ.............................................................. (1.37)karena TZ ddt, maka:D=Tdddtdt = 22dtdT.............................................. (1.38)Percepatan sudut merupakan turunan pertama fungsikecepatan sudut atau turunan kedua dari fungsi posisi sudut.Dalam sebuah grafik kecepatan sudut terhadap waktu(tZ), percepatan sudut ditentukan dari kemiringan grafiktersebut (Gambar 1.19). Jika E adalah sudut kemiringangaris singgung grafik tZ, maka percepatan sudut sesaatdituliskan:D=Etan ............................................................. (1.39)Gambar 1.18 Semakin cepatkincir berputar maka kecepatansudut semakin besar.Sumber: Jendela Iptek Teknologi,PT Balai Pustaka, 2000Gambar 1.19 Kemiringangrafik menunjukkan besarnyapercepatan sudut.ZEt1tBab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor21Kecepatan sudut dapat dicari dari fungsi percepatansudut sesaat. Fungsi kecepatan sudutnya ditentukan denganmengintegralkan fungsi percepatan sudut tersebut.D=dtdZZd=dt.D³Zd=dt.DJika pada saat t = 0 kecepatan sudutnya 0Zdan padasaat t = t kecepatan sudutnya Z, maka:³ZZZ0d= ³Dtdt0.0ZZ=³Dtdt0.Zt=³DZtdt00............................................... (1.40)dengan:Z0= kecepatan sudut awal (rad/s)Zt= kecepatan sudut pada saat t (rad/s)D= percepatan sudut (rad/s2)t= waktuContoh Soal1.Sebuah titik pada roda berotasi dengan persamaan posisi sudut T 2322tt,T dalam radian dan t dalam sekon. Tentukan:a.posisi sudut titik tersebut pada saat t = 2 s,b.kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 sampai t = 3 s, danc.kecepatan sudut pada saat t = 2 s!Penyelesaian:a.Posisi sudutT=2 + 2t 2 + t 3t=2 s o T= 2 + (2)(2)2 + 23 = 18 radb.Kecepatan sudut rata-ratat=0o0T = 2 radt=3o3T = 2 + (2)(3) + 33 = 35 radZ=t'T' = 0303ttTT=35230 = 333 = 11 rad/sc.Kecepatan sudut sesaatZ=Tddt = 23(22)dttdt = 4t + 3t 2 t=2 s o Z= (4)(2) + (3)(2)2 = 20 rad/s22Fisika XI untuk SMA/MA4.Kinematika Rotasia.Gerak Rotasi BeraturanGerak rotasi beraturan didefinisikan sebagai gerakrotasi dengan kecepatan sudut konstan atau percepatansudut nol. Berdasarkan persamaan (1.35) diperoleh:Tt=³ZTdt.0Karena kecepatan sudut Zkonstan, maka:Tt=³ZTtdt00=0T+>@0ttZ= )0(0ZTtTt=ZT0t....................................................... (1.41)dengan:0T= posisi sudut awal (rad)Tt= posisi sudut pada saat t (rad)Z= kecepatan sudut (rad/s)t= waktu (s)2.Sebuah benda mula-mula diam, kemudian berotasi dengan persamaanpercepatan sudut D= (6t 2 + 12t) rad/s2. Tentukan:a.kecepatan sudut pada saat t = 2 s (jika kecepatan awal sudut 0 rad/s),b.persamaan posisi sudut benda jika saat t = 2 s posisi sudutnya T= 2 rad!Penyelesaian:Persamaan percepatan sudut: D = 6t 2 + 12ta.Kecepatan sudutZt=³DZtdt00=³dttt)126(2 = 2362ttuntuk t = 2 o Zt = (2)(2)3 + (6)(2)2 = 40 rad/sb.Posisi sudutTt=³ZTdt.0Tt=T³320(26)ttdttT=340221ttTuntuk t = 2 sotT= 2 rad, maka:2=0T+ 21(2)4 + (2)(2)32=0T+ 8 + 162=0T+ 240T=-22tT=(-22 + 21t4 + 2t3) radGambar 1.20 Permainankincir ini melakukan gerakrotasi beraturan.Sumber: Jendela Iptek Gaya dan Gerak,PT Balai Pustaka, 2000Next >