< PreviousBab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor23Gambar 1.21 Roda padadokar melakukan gerak rotasi.Sumber: Dokumen Penerbit, 2006b.Gerak Rotasi Berubah BeraturanGerak rotasi berubah beraturan didefinisikan sebagaigerak rotasi dengan percepatan sudut konstan. Berdasarkanpersamaan (1.40) diperoleh:Zt=³DZtdt00.Karena percepatan sudut D konstan, maka:Zt=tDZ0...................................................... (1.42)Posisi sudut T dapat ditentukan dengan memasukkanpersamaan (1.42) ke persamaan (1.35), sehingga:Tt=³ZTtdt00.=³DZTtdtt000).(Tt=0T+2021.ttDZ......................................... (1.43)dengan:0T=posisi sudut awal (rad)Tt=posisi sudut pada saat t (rad)0Z=kecepatan sudut awal (rad/s)D=percepatan sudut (rad/s2)t=waktu (s)1.Sebuah benda dengan jari-jari 20 cm berotasi dengan percepatan sudut tetap2 rad/s2. Pada saat t = 0 s, kecepatan sudut dan posisi sudutnya masing-masing 5 rad/s dan 10 rad. Tentukan:a.kecepatan sudut saat t = 5 s,b.kecepatan linier saat t = 5 s,c.posisi sudut saat t = 3 s, dand.panjang lintasan yang ditempuh selama 4 s!Penyelesaian:Diketahui:R=20 cm = 0,2 m0Z=5 rad/sD=2 rad/s20T=10 radDitanya:a.Zt=... ?(t= 5 s)c.Tt= ... ? (t= 3 s)b.v=... ?(t= 5 s)d.s= ... ? (t = 4 s)Jawab:a.Zt=0Z + D. t = 5 + (2)(5) = 15 rad/sb.v=Z.R = (15)(0,2) = 3 m/sc.Tt=0T + t.0Z + 2.21tD = 10 + (5)(5) + 21(2)(5)2 = 10 + 25 + 25 = 60 radd.s= T.R = (60)(0,2) = 12 mContoh Soal24Fisika XI untuk SMA/MA2.Sebuah roda berputar dengan kecepatan 300 putaran per menit, kemudiandirem dan 5 sekon kemudian kecepatannya menjadi 60 putaran per menit.Tentukan sudut roda tersebut!Penyelesaian:Diketahui:0Z=S300260= 10Srad/sZt = S26060 = S2 rad/st=5 sDitanya:D=... ?Jawab:Zt=0Z + D . tS2=10S + D(5)5D=S2 – S105D=-8SD=-1,6S rad/s2Jalur-Jalur PeluruJalur peluru-peluru meriam dalam gambarcetakan dari abad ke-18 di samping ditunjuk-kan sebagai parabola. Seperti yang dibuktikanGalileo. Gambar ini menunjukkan bahwa jarakmaksimum dicapai ketika meriam dimiringkan45o. Bahkan dewasa ini penembak meriammenggunakan perhitungan yang miripdengan ini untuk mengkalkulasi ketinggiandan arah tembakan. Setiap faktor yangmungkin memengaruhi gerak peluru jugadiperhitungkan, seperti jarak dengan sasaran,angin, suhu, tekanan udara, dan perputaran.Percikan FisikaUji Kemampuan 1.61.Sebuah roda dengan jari-jari 25 cmberputar seperti tampak pada gambar disamping. Jika satu titik pada roda me-miliki laju 5 m/s, berapa kecepatan rodaberputar?2.Sebuah piringan (CD) berputar dengan posisi sudut T = 6t 2 + 4t – 2, t dalamsekon dan T dalam radian. Tentukan:a.kecepatan sudutnya saat t = 0 s dan t = 2 s,b.percepatan sudutnya!25 cm5 m/sBab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor25¯Dalam koordinat kartesius, sebuah vektor dapat dinyatakan dalam vektor-vektorsatuan i, j, dan k.i, vektor satuan pada arah sumbu xj, vektor satuan pada arah sumbu yk, vektor satuan pada arah sumbu z¯Vektor posisi suatu titik dapat dinyatakan dengan vektor satuan.r=xi + yj|r|=r = 22xyArah r terhadap sumbu x+ dinyatakan:tanD = yx¯Kecepatan rata-rata dalam selang waktu tertentu adalah:v = ''' '''rijyxttt¯Kecepatan sesaat dinyatakan:v = tt'' o'r0lim = dtdr¯Posisi benda dapat ditentukan dari fungsi kecepatannya, dengan metode integralv = dtdr o dr = v.dt³rrd0r = ³ttdt0v o r = r0 = ³ttdt0v o r = r0 + ³ttdt0v¯Percepatan rata-rata dalam selang waktu tertentu dituliskan:a=''' '''vijyxvvtttAugustin Louis CauchyIa seorang ahli matematika yang mencetuskananalisis dan teori grup substitusi. Sumbangannya padabidang matematika adalah dia memperjelas prinsipkalkulus yang saat ini dianggap penting untuk meng-analisis. Ia juga menciptakan teorema integral Cauchy.Teorema integralnya sangat penting dalam masalahfisika dan rekayasa. Ia juga memberi gagasan yang telititentang limit pada tahun 1821.Fisikawan KitaFFFFFiestaiestaiestaiestaiesta26Fisika XI untuk SMA/MA¯Percepatan sesaat dinyatakan:a=dtdttvv ''o'0lim¯Kecepatan dapat ditentukan dari fungsi percepatan dengan cara:a=dtdv o vd= a.dt o v = v0 +³a0.ttdt¯Gerak parabola merupakan perpaduan gerak lurus beraturan pada arah horizontaldengan gerak lurus berubah beraturan pada arah vertikal.¯Komponen kecepatan awal pada sumbu x dan sumbu y masing-masing adalah:v0x=v0 cosDv0y=v0 sinDdengan Dadalah sudut elevasi.¯Kecepatan benda setiap saat dinyatakan:vx=v0x = v0.cosD dan vy = v0.sinDv=22xyvv¯Koordinat posisi benda setiap saat adalah:x=v0x.t = v0.cosD.ty=v0x.t – 2.21tg= v0.sinD.t – 2.21tg¯Tinggi maksimum yang dicapai benda (h) dirumuskan:h= gv2sin.220D= gv2)sin.(20D¯Jarak jangkauan benda pada arah mendatar, dinyatakan:R=gvD2sin.0 ; dengan sin 2D = 2sinD.cosD¯Posisi sudut suatu titik zat yang bergerak melingkar dinyatakan:T=)(tTo fungsi dari waktu¯Kecepatan sudut rata-rata dituliskan:Z=t'T' = 1212ttTT¯Kecepatan sudut sesaat dirumuskan:Z=tt'T'o'0lim = dtdT¯Posisi sudut dapat ditentukan dengan mengintegralkan kecepatan sudutnyaT=³ZTtdt00.¯Percepatan sudut rata-rata:D=t'Z' = 1212ttZZBab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor27A.Pilihlah jawaban yang paling tepat!1.Sebuah benda bergerak lurus sepanjang sumbu x dengan persamaan r = 2t 2 + 6t,r dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan benda setelah bergerak 5 sekonadalah ... .a.26 m/sd.56 m/sb.30 m/se.80 m/sc.40 m/s2.Benda bergerak pada arah sumbu x dengan kecepatan v = (2t +8)i m/s. Jikaposisi awal benda tersebut adalah r0 = -5i m, maka posisi benda setelah bergerakadalah ... .a.(2t 2 + 8t – 5)i mb.(t 2 + 8t + 5)i mc.(t 2 + 8t – 5)i md.(2t 2 – 5t)i me.(2t 2 – 8t – 5)i m3.Suatu titik zat bergerak dengan persamaan posisi r = §·§·¨¸¨¸©¹©¹ij332146332tttt,r dalam meter. Kecepatan titik zat setelah 2 sekon adalah ... .a.3 m/sb.9 m/sc.12 m/sd.15 m/se.21 m/s¯Percepatan sudut sesaat:D=tt'Z'o'0lim = dtdZ¯Kecepatan sudut dapat ditentukan dengan mengintegralkan percepatan sudutnya.Zt=DZ³00.tdt¯Pada gerak rotasi beraturan, posisi sudut dinyatakan:Tt=tZT0¯Pada gerak rotasi berubah beraturan, kecepatan sudut dan posisi sudutnya adalah:Zt=0Z+ t.DTt=0T+ 2021ttDZUji Kompetensi28Fisika XI untuk SMA/MA4.Sebuah partikel pada saat t = 1 s berada di P (2, 4) dan pada saat t = 3 s beradadi Q (8, 12). Besarnya perpindahan dan kecepatan rata-rata partikel tersebutadalah ... .a.5 m dan 10 m/sb.7 m dan 14 m/sc.8 m dan 10 m/sd.10 m dan 5 m/se.14 m dan 7 m/s5.Sebuah benda dilemparkan horizontal dari puncak menara yang tingginya 45 mdengan kecepatan 10 m/s. Jarak tempuh benda tersebut dalam arah mendatardihitung dari kaki menara adalah ... . (g = 10 m/s2)a.30 md.90 mb.45 me.120 mc.60 m6.Peluru A dan B ditembakkan dari senapan yang sama dengan sudut elevasiberbeda. Peluru A dengan sudut 30o dan peluru B dengan sudut 60o.Perbandingan tinggi maksimum yang dicapai peluru A dengan peluru Badalah ... .a.1 : 2d.1 : 3b.1 : 3e.3 : 1c.2 : 17.Sebuah bola golf dipukul dengan kecepatan 9,8 m/s membentuk sudut Dterhadap horizontal. Bila sin D=54, g = 9,8 m/s2 dan lapangan golf datar,maka lama waktu yang diperlukan bola golf untuk sampai ke permukaanlapangan lagi adalah ... .a.0,5 sd.1,7 sb.1,5 se.1,75 sc.1,6 s8.Sebuah benda berotasi dengan posisi sudut T= t 2 + 2t + 5, T dalam rad dant dalam sekon. Kecepatan rata-rata benda selama 5 detik pertama adalah ... .a.3 rad/sd.8 rad/sb.5 rad/se.10 rad/sc.7 rad/s9.Partikel melakukan gerak rotasi dengan persaman posisi sudut T= t 3 – t 2 + 5,T dalam radian dan t dalam sekon. Percepatan sudut partikel tersebut saatt = 2 s adalah ... .a.4 rad/s2d.10 rad/s2b.6 rad/s2e.15 rad/s2c.8 rad/s2Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor2910.Sebuah benda bergerak rotasi dengan persamaan kecepatan sudut Z= 2t + 5,Z dalam rad/s, t dalam sekon. Jika posisi sudut awal 10 rad, persamaanposisi sudutnya adalah ... .a.T = 2t2 + 5t + 10b.T = t2 + 5t + 10c.T = t2 + 5td.T = 2t2 + 5te.T = 10t2 + 2t + 5B.Jawablah dengan singkat dan benar!1.Sebuah partikel bergerak lurus dengan persamaan r = t 3 – 6t 2 + 4, r dalammeter dan t dalam sekon. Tentukan:a.posisi partikel mula-mula (t = 0),b.kecepatan pada saat t = 2 s dan t = 3 s, danc.percepatan pada saat t = 2 s!2.Suatu titik zat bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan percepatana = (4t 3 – 3t 2 + 2) m/s2, dengan kecepatan awal v0 = 4 m/s. Hitunglah:a.kecepatan setelah bergerak 2 sekon,b.posisi benda pada saat t = 2 sekon!3.Peluru ditembakkan dari tanah mendatar dengan kecepatan awal 100 m/sdan sudut elevasi D(cosD = 53). Jika g = 10 m/s2, hitunglah:a.posisi peluru setelah 2 sekon,b.kecepatan peluru setelah 2 sekon,c.tinggi maksimum peluru, dand.jarak tembakan mendatar!4.Sebuah benda bergerak rotasi dengan posisi sudut T = (8t + 2t 2) rad, dengant dalam sekon. Hitunglah:a.kecepatan sudut awal,b.kecepatan sudut pada saat t = s sekon, danc.kecepatan sudut rata-rata selama 5 sekon pertama!5.Benda bergerak rotasi dengan percepatan sudut 2 rad/s2. Kecepatan awaldan posisi awal masing-masing 5 rad/s dan 10 rad. Hitunglah kecepatansudut rata-rata selama 5 sekon pertama!30Fisika XI untuk SMA/MABab 2 Gravitasi Planet dalam Sistem Tata SuryaGravitasiGravitasi planetHukum KeplerHukum Gravitasi NewtonHukum IIKeplerHukum IKeplerHukum IIIKeplerMenentukanmassa bumiOrbit satelitbumiPETPETPETPETPETA KA KA KA KA KONSEPONSEPONSEPONSEPONSEPBab 2 Gravitasi Planet dalam Sistem Tata Surya312GRAVITASI PLANETDALAM SISTEMTATA SURYAPlanet dalam sistem tata suryaberedar pada orbitnya karena gayagravitasi.Sumber: Encarta Encyclopedia, 2006Pernahkah kalian memikirkan bagaimana benda-benda langit yang beredarpada orbitnya masing-masing tidak saling bertabrakan? Bagaimana pulakita dapat berjalan di tanah, tidak melayang-layang di udara sepertikertas terbang? Semua terjadi karena ada gaya gravitasi pada masing-masingbenda tersebut.32Fisika XI untuk SMA/MAA.Kalian tentu sering mendengar istilah gravitasi. Apayang kalian ketahui tentang gravitasi? Apa pengaruhnyaterhadap planet-planet dalam sistem tata surya? Gravitasimerupakan gejala adanya interaksi yang berupa tarik-menarik antara benda-benda yang ada di alam ini karenamassanya. Konsepsi adanya gaya tarik-menarik ataudikenal dengan gaya gravitasi antara benda-benda di alampertama kali dikemukakan oleh Sir Isaac Newton padatahun 1665. Berdasarkan analisisnya, Newton menemukanbahwa gaya yang bekerja pada buah apel yang jatuh daripohon dan gaya yang bekerja pada Bulan yang bergerakmengelilingi Bumi mempunyai sifat yang sama. Setiapbenda pada permukaan bumi merasakan gaya gravitasiyang arahnya menuju pusat bumi. Gaya gravitasi bumiinilah yang menyebabkan buah apel jatuh dari pohondan yang menahan Bulan pada orbitnya.Pada bab ini kalian akan mempelajari interaksigravitasi yang bersifat universal. Dalam pengertian,interaksi bekerja dengan cara yang sama di antara benda-benda di alam ini, antara Matahari dengan planet danplanet dengan satelitnya.Ketika duduk di kelas X, kalian telah mempelajarihukum-hukum Newton. Salah satunya pada tahun 1687,Newton mengemukakan Hukum Gravitasi yang dapatdinyatakan berikut ini.“Setiap benda di alam semesta menarik benda lain dengangaya yang besarnya berbanding lurus dengan hasil kali massa-massanya dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarakantara keduanya”.Besarnya gaya gravitasi, secara matematis dituliskan: F = G m.mr122.................................................... (2.1)dengan:F= gaya gravitasi (N)m1,m2= massa masing-masing benda (kg)r= jarak antara kedua benda (m)G= konstanta gravitasi (Nm2kg-2)Nilai konstanta gravitasi G ditentukan dari hasilpercobaan yang dilakukan oleh Henry Cavendish padatahun 1798 dengan menggunakan peralatan tampakseperti pada Gambar 2.1.gerak, gravitasi,orbit, percepatan,periode, planetHukum Gravitasi NewtonGambar 2.1 Diagramskematik neraca Cavendishuntuk menentukan nilaikonstanta gravitasi G.seratsumbercahaya(berkascahaya tipis)cerminskalabatangANext >