< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK82Contoh 3.3Diketahui fungsi komposisi (gf) (x) = 18x2 + 24x + 2 dan fungsi g(x) = 2x2 – 6. Tentukanlah rumus untuk fungsi berikut.a)Fungsi f(x)b)Fungsi komposisi (fg)(x)Alternatif Penyelesaian(gf) (x) = 18x2 + 24x + 2; g(x) = 2x2 – 6a)Menentukan fungsi f(x)(gf) (x) = g(f(x)) = 18x2 + 24x + 2↔ 2 × f(x)2 – 6 = 18x2 + 24x + 2↔ 2 × f(x)2 = 18x2 + 24x + 2 + 6↔ 2 × f(x)2 = 18x2 + 24x + 8↔ f(x)2 = 218+ 24 + 82xx↔ f(x)2 = 9x2 + 12x + 4↔ f(x) = ±29 + 12 + 4xx↔ f(x) = ±(3x + 2)Jadi, ada dua fungsi f yang mungkin, yaitu f(x) = 3x + 2 dan f(x) = -3x – 2.b)Menentukan fungsi komposisi (fg)(x)i.Untuk f(x) = 3x + 2(fg)(x) = f(g(x))= 3 × g(x) + 2, karena f(x) = 3x + 2= 3 × (2x2 – 6) + 2= 6x2 – 18 + 2= 6x2 – 16Jadi, fungsi komposisi (fg)(x) = 6x2 – 16Matematika83ii.f(x) = -3x – 2(fg)(x) = f(g(x))= -3 × g(x) – 2, karena f(x) = -3x – 2 = -3 × (2x2 – 6) – 2= -6x2 + 18 – 2= -6x2 + 16Jadi, fungsi komposisi (fg)(x) = -6x2 + 163.4 Sifat-Sifat Operasi Fungsi Komposisi Untuk menentukan sifat-sifat operasi fungsi komposisi pahamilah contoh-contoh di bawah ini.Contoh 3.4Diketahui fungsi f: RR dengan f(x) = 4x + 3 dan fungsi g: RR dengan g(x) = x– 1. a)Tentukanlah rumus fungsi komposisi (gf)(x) dan (fg)(x).b)Apakah (gf)(x) = (fg)(x)? Coba selidiki.Alternatif Penyelesaiana)Menentukan rumus fungsi komposisi (gf)(x) dan (fg)(x).i.(gf)(x) = g(f(x))= g(4x + 3)= (4x + 3) –1= 4x + 2ii.(fg)(x) = f(g(x))= f(x – 1)= 4(x – 1) + 3= 4x – 4 + 3= 4x –1Kelas X SMA/MA/SMK/MAK84Dengan demikian, (gf)(x) = 4x + 2 dan (fg)(x) = 4x – 1.b)Selidiki apakah (gf)(x) = (fg)(x).Berdasarkan hasil perhitungan butir (a) di atas diperoleh(gf)(x) = 4x + 2, dan (fg)(x) = 4x –1Untuk x = 2 diperoleh bahwa(gf)(2) = 4(2) + 2 = 10 dan (fg)(2) = 4(2) – 1 = 7Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa: gf tidak sama dengan fgatau gf ≠ fg. Berdasarkan Contoh 3.4 di atas, dapat disimpulkan bahwa pada umumnya sifat komutatif pada operasi fungsi komposisi tidak berlaku, yaitu gf ≠ fg.Contoh 3.5Diketahui fungsi f: RR dengan f(x) = 2x – 1, fungsi g: RR dengan g(x) = 4x + 5, dan fungsi h: RR dengan h(x) = 2x – 3.a)Tentukanlah rumus fungsi komposisi g(fh) dan (gf) h.b)Tentukanlah rumus fungsi komposisi f(gh) dan (fg) h.c)Apakah g (fh) = (gf)h, dan f (gh) = (fg)h. Coba selidiki.Alternatif Penyelesaiana)Rumus fungsi komposisi (g(fh))(x) dan ((gf)h)(x)i)Misalkan k(x) = (fh)(x)k(x) = f(h(x)) = 2h(x) – 1= 2(2x – 3) – 1= 4x – 6 – 1= 4x – 7Matematika85(g(fh)(x)) = (gk)(x)= g(k(x))= 4(k(x)) + 5= 4(4x – 7) + 5= 16x – 28 +5= 16x – 23Jadi, fungsi komposisi (g(fh)(x)) = 16x – 23ii)Misalkan l(x) = (gf)(x)l(x) = g(f(x)) = 4(f(x)) + 5= 4(2x – 1) + 5= 8x – 4 + 5= 8x + 1((gf)h)(x) = (lh)(x)= l(h(x))= 8(h(x)) + 1= 8(2x – 3) + 1= 16x – 24 + 1= 16x – 23Jadi, rumus fungsi komposisi ((gf)h)(x) = 16x – 23.b)Rumus fungsi komposisi (f(gh))(x) dan ((fg)h)(x)i)Misalkan m(x) = (gh)(x)m(x) = g(h(x)) = 4(h(x)) + 5 = 4(2x – 3) + 5 = 8x – 12 + 5 = 8x – 7Kelas X SMA/MA/SMK/MAK86(f(gh)(x)) = (fm(x))= f(m(x))= 2(m(x)) – 1= 2(8x – 7) – 1= 16x – 14 – 1 = 16x – 15Jadi, rumus fungsi komposisi (f(gh)(x)) = 16x – 15ii)Misalkan n(x) = (fg)(x)n(x) = f(g(x))= 2(4x + 5) – 1= 8x + 10 – 1 = 8x + 9((fg)h)(x) = (nh(x))= n(h(x))= 8(h(x)) + 9= 8(2x – 3) + 9= 16x – 24 + 9= 16x – 15Jadi, rumus fungsi komposisi ((fg)h)(x) = 16x – 15c)Dari butir (a) dan butir (b), diperoleh nilaii)(g(fh)(x)) = 16x – 23 dan ((gf)h)(x) = 16x – 23ii)(f(gh)(x)) = 16x – 15 dan ((fg)h)(x) = 16x – 15Berdasarkan nilai-nilai ini disimpulkan bahwai)(g(fh)(x)) = ((gf)h)(x) = 16x – 23ii)(f(gh)(x)) = ((fg)h)(x) = 16x – 15Matematika87 Dari uraian Contoh 3.5 di atas disimpulkan bahwa sifat asosiatif berlaku pada operasi fungsi komposisi sebagai berikut. Sifat 3.1Diketahui f, g, dan h suatu fungsi. Jika Rh∩Dg ≠ Ø; Rgh∩Df ≠ Ø; Rg∩Df ≠ Ø; Rh∩Dfg ≠ Ø, maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaituf(gh) = (fg)hContoh 3.6Diketahui fungsi f: RR dengan f(x) = 5x – 7 dan fungsi identitas I: RR dengan I(x) = x. Tentukanlaha)rumus fungsi komposisi fI dan If.b)apakah fI = If = f. Selidikilah.Alternatif Penyelesaiana)Rumus fungsi komposisi fI dan If(fI)(x) = f(I(x))= f(x)= 5x – 7(If)(x) = I(f(x))= I(f(x))= 5x – 7b)Berdasarkan hasil pada butir (a) maka dapat disimpulkan bahwafI = If = fKelas X SMA/MA/SMK/MAK88Berdasarkan penyelesaian Contoh 3.6 diperoleh sifat berikut.Sifat 3.2Diketahui f suatu fungsi dan I merupakan fungsi identitas. Jika RI∩Df ≠ Ø, maka terdapat sebuah fungsi identitas, yaitu I (x) = x, sehingga berlaku sifat identitas, yaitufI = If = fAgar kamu lebih memahami Sifat 3.2, selesaikanlah latihan berikut.Latihan 3.3Diketahui fungsi f: RR dengan f(x) = −235x dan fungsi identitas I: RRdengan I(x) = x. Buktikanlah bawah (fI) = (If) = f.Matematika891.Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melaluidua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I yang menghasilkanbahan kertas setengah jadi, dan tahap kedua menggunakan mesin II yangmenghasilkan bahan kertas. Dalam produksinya mesin I menghasilkanbahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi f(x) = 6x – 10 dan mesin IImengikuti fungsi g(x) = x2 + 12, x merupakan banyak bahan dasar kayudalam satuan ton.a)Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar50 ton, berapakah kertas yang dihasilkan? (Kertas dalam satuan ton).b)Jika bahan setengah jadi untuk kertas yang dihasilkan oleh mesin Isebesar 110 ton, berapa tonkah kayu yang sudah terpakai? Berapabanyak kertas yang dihasilkan?2.Diketahui fungsi f(x) =−x 3x, x ≠ 0 dan g(x) = −x29. Tentukan rumus fungsi berikut apabila terdefinisi dan tentukan daerah asal dan daerah hasilnya.a)f + gb)f – gc)f × gd)fg3.Misalkan f fungsi yang memenuhi fx1+x1f(-x) = 2x untuk setiap x ≠ 0. Tentukanlah nilai f(2).Uji Kompetensi 3.1 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK904.Diketahui fungsi f: RR dengan f(x) = x2 – 4x + 2 dan fungsi g: RRdengan g(x) = 3x – 7. Tentukanlaha)gfc)gf(5)b)fgd)(fg) (10)5.Jika f(xy) = f(x + y) dan f(7) = 7. Tentukanlah nilai f(49).6.Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurutf = {(1,5), (2,6), (3,-1), (4,8)}g = {(2,-1), (1,2), (5,3), (6,7)}Tentukanlaha)gfb)fg7.Jika f fungsi yang memenuhi persamaan f(1) = 4 dan f(x+1) = 2 f(x).Tentukanlah f(2014).8.Jika f(x) =−+ 11xx dan x2 ≠ 1, buktikanlah bahwa f(-x) = fx1().9.Untuk pasangan fungsi yang diberikan tentukanlah daerah asal dandaerah hasil fungsi komposisi gf.a)f (x) = 2x dan g(x) = sin xb)f(x) = -x dan g(x) = ln xc)f(x) =x1 dan g(x) = 2 sin x10.Jika f(x) = 22x + 2x + 1 – 3 dan g(x) = 2x + 3. Tentukanlah nilaif(x)g(x).11.Diketahui fungsi f(x) = 2x + 2 × 6x – 4 dan g(x) = 12x – 1 untuk x bilangan asli.Tentukanlah nilai f(x)g(x).12.Diketahui (gf)(x) = 4x2 + 4x dan g(x) = x2 – 1.Tentukanlah nilai f(x – 2).Matematika913.5 Fungsi Invers Masalah 3.4 Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1.000, dimana x banyak potong kain yang terjual. a)Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 50 potong kain,berapa keuntungan yang diperoleh?b)Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp100.000,00 berapa potongkain yang harus terjual?c)Jika A merupakan daerah asal (domain) fungsi f dan B merupakan daerahhasil (range) fungsi f, gambarkanlah permasalahan butir (a) dan butir (b)di atas.Alternatif PenyelesaianKeuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1.000, untuk setiap x potong kain yang terjual.a)Penjualan 50 potong kain, maka x = 50 dan nilai keuntungan yangdiperoleh adalahf(x) = 500x + 1000untuk x = 50 berarti f(50) = (500 × 50) + 1.000= 25.000 + 1.000 = 26.000Jadi, keuntungan yang diperoleh dalam penjualan 50 potong kain sebesar Rp26.000,00.b)Agar keuntungan yang diperoleh sebesar Rp 100.000,00, maka banyaknyakain yang harus terjual adalah f(x) = 500x + 1000100.000 = 500x + 1000500x = 100.000 – 1.000Next >