< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK92500x = 99.000x = 99.000500 = 198Jadi, banyaknya kain yang harus terjual adalah 198 potong. c)Jika A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasilfungsi f, maka permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas digambarkanseperti berikut.xxAA(i)(ii)BBff -1f(x)f(x)50....?AA(iii)(iv)BBff -1....?100.000Gambar 3.5 Fungsi inversBerdasarkan Gambar 3.5 di atas, maka dapat dikemukakan beberapa hal sebagai berikut.(a)Gambar 3.5 (i) menunjukkan bahwa fungsi f memetakan A ke B,dapat ditulis f: A B.(b)Gambar 3.5 (ii) menunjukkan bahwa f -1 memetakan B ke A, dapatditulis f -1: B A, dimana f -1 merupakan fungsi invers f.Matematika93(c)Gambar 3.5 (iii) menunjukkan bahwa untuk nilai x = 50, maka akandicari nilai f(x).(d)Gambar 3.5 (iv) menunjukkan kebalikan dari Gambar 3.5 (iii), yaitumencari nilai x jika diketahui nilai f(x) = 100.000. Perhatikan Gambar 3.6 berikut, agar lebih memahami konsep invers suatu fungsi.Gambar 3.6 Fungsi inversxff -1yAB Berdasarkan Gambar 3.6 di samping, diketahui ada beberapa hal sebagai berikut. Pertama, fungsi f memetakan x∈A ke y∈B. Ingat kembali pelajaran tentang menyatakan fungsi ke dalam bentuk pasangan terurut. Jika fungsi f dinyatakan ke dalam bentuk pasangan terurut, maka dapat ditulis sebagai berikut.f = {(x, y) | x∈A dan y∈B}. Pasangan terurut (x, y) merupakan unsur dari fungsi f. Kedua, fungsi invers f atau f -1 memetakan y∈B ke x∈A. Jika fungsi invers f dinyatakan ke dalam pasangan terurut, maka dapat ditulis f -1 = {(y, x) | y∈B dan x∈A}. Pasangan terurut (y, x) merupakan unsur dari fungsi invers f. Berdasarkan uraian di atas, maka dapat didefinisikan invers suatu fungsi, yaitu sebagai berikut. Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(x, y) | x∈A dan y∈B}, maka invers fungsi f (dilambangkan f -1) adalah relasi yang memetakan B ke A, dimana dalam pasangan terurut dinyatakan dengan f -1 = {(y, x) | y∈B dan x∈A}.Definisi 3.3 Untuk lebih memahami konsep invers suatu fungsi, selesaikanlah Masalah 3.5 berikut. Kelas X SMA/MA/SMK/MAK94Masalah 3.5Diketahui fungsi f: A B merupakan fungsi bijektif, fungsi g: C D merupakan fungsi injektif, dan fungsi h: E F merupakan fungsi surjektif yang digambarkan seperti Gambar 3.7 di bawah ini. Afgh(i)(ii)(iii)BCDEFGambar 3.7 Fungsi invers f, g, dan ha)Jika fungsi invers f memetakan B ke A, fungsi invers g memetakan D keC, dan fungsi invers h memetakan F ke E, maka gambarlah ketiga fungsiinvers tersebut.b)Dari ketiga fungsi invers tersebut, tentukanlah mana yang merupakanfungsi.Alternatif Penyelesaiana)Gambar ketiga fungsi invers tersebut ditunjukkan sebagai berikut.Af -1g-1h-1(i)(ii)(iii)BCDEFGambar 3.8 Invers fungsi f, g, dan hMatematika95b)Berdasarkan Gambar 3.8, dapat disimpulkan sebagai berikut.-Gambar 3.8 (i) merupakan fungsi. Mengapa? Jelaskan.-Gambar 3.8 (ii) bukan fungsi. Mengapa? Jelaskan.-Gambar 3.8 (iii) bukan fungsi. Mengapa? Jelaskan. Berdasarkan alternatif penyelesaian pada Masalah 3.5 di atas, dapat disimpulkan bahwa invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi, tetapi dapat hanya berupa relasi biasa. Fungsi invers g dan h bukan suatu fungsi melainkan hanya relasi biasa. Invers suatu fungsi yang merupakan fungsi disebut fungsi invers. Fungsi invers f merupakan suatu fungsi invers. Berdasarkan uraian di atas, maka ditemukan sifat berikut. Sifat 3.3Suatu fungsi f : A B dikatakan memiliki fungsi invers f -1: B A jika dan hanya jika fungsi f merupakan fungsi bijektif. Perhatikan kembali Sifat 3.3 di atas, pada fungsi bijektif f: A B, A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasil fungsi f. Secara umum, definisi fungsi invers diberikan sebagai berikut. Jika fungsi f: DfRf adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi yang didefinisikan sebagai f-1: RfDf dengan kata lain f-1 adalah fungsi dari Rf ke Df. Df adalah daerah asal fungsi f dan Rf adalah daerah hasil fungsi f. Definisi 3.4 Perhatikan kembali Definisi 3.4 di atas. Fungsi f: DfRf adalah fungsi bijektif, jika y∈Rf merupakan peta dari x∈Df, maka hubungan antara y dengan f(x) didefinisikan dengan y = f(x). Jika f -1 adalah fungsi invers dari fungsi f, maka untuk setiap x∈Rf-1 adalah peta dari y∈Df-1. Hubungan antara x dengan f -1(y) didefinisikan dengan rumus x = f -1(y).Kelas X SMA/MA/SMK/MAK963.6 Menentukan Rumus Fungsi InversMasalah 3.6 Salah satu sumber penghasilan yang diperoleh klub sepak bola adalah hasil penjualan tiket penonton jika timnya sedang bertanding. Besarnya dana yang diperoleh bergantung kepada banyaknya penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut. Suatu klub memberikan informasi bahwa besar pendapatan yang diperoleh klub dari penjualan tiket penonton mengikuti fungsi f(x) = 500x + 20.000, dengan x merupakan banyak penonton yang menyaksikan pertandingan. a)Tentukanlah fungsi invers pendapatan dari tiket penonton klub sepakbola tersebut.b)Jika dalam suatu pertandingan, klub memperoleh dana hasil penjualan tiketpenonton sebesar Rp5.000.000,00, berapa penonton yang menyaksikanpertandingan tersebut?Alternatif PenyelesaianDiketahui fungsi pendapatan klub sepak bola tersebut adalah f(x) = 500x + 20.000.a)Invers fungsi pendapatan dari tiket penonton klub sepak bolaUntuk menentukan rumus fungsi invers f(x) dapat dihitung sebagaiberikut.y = f(x) = 500x + 20.000y = 500x + 20.000500x = y – 20.000x =−20.000500yKarena x = f -1(y), maka f -1(y) = −20.000500y Karena f -1(y) = −20.000500y, maka f -1(x) = 20.000500Matematika97Jadi, fungsi invers dari f(x) = 500x + 20.000 adalah f -1(x) = −20.000500xatau f -1(x) = 1500(x – 20.000).b)Jika dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp5.000.000,00, makabanyak penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut adalahf -1(x) = −20.000500xf -1(5.000.000) = −5.000.00020.000500= −5.000.00020.000500= 9.960Jadi, penonton yang menyaksikan pertandingan sepak bola sebanyak 9.960 orang. Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 3.6 di atas, diperoleh sifat sebagai berikut.Sifat 3.4Misalkan f -1 adalah fungsi invers fungsi f. Untuk setiap x∈Df dan y∈Rf, maka berlaku y = f(x) jika dan hanya jika f -1 (y) = x. Contoh 3.7Diketahui fungsi f: RR dengan f(x) = 5x + 7. Tentukanlah fungsi inversnya.Alternatif PenyelesaianKarena y = f(x), maka y = 5x + 75x = y – 7x = −75yKelas X SMA/MA/SMK/MAK98Karena x = f -1(y), maka f -1(y) = −75yKarena f -1(y) = −75y, maka f -1(x) =−75x, = 15(x – 7)Jadi, fungsi invers f(x) = 5x + 7 adalah f -1(x) = 15(x – 7).Contoh 3.8Diketahui fungsi f: RR dengan f(x) = 3x – 1. Tentukanlah fungsi inversnya.Alternatif PenyelesaianKarena y = f(x), maka y = 3x – 13x = y + 1 x = +13yKarena f -1(y) = x, maka f -1(y) = +13yKarena f -1(y) = +13y, maka f -1(x) = +13x, mengapa? Jelaskan.Jadi, fungsi invers f(x) = 3x – 1 adalah f -1(x) = +13x.Berdasarkan Contoh 3.7 dan Contoh 3.8, jawablah soal berikut ini. a)Tentukanlah rumus fungsi komposisi (ff -1)(x) dan (f -1f)(x)b)Kesimpulan apa yang dapat kamu temukan?Alternatif Penyelesaian(1)Berdasarkan Contoh 3.7, diketahui bahwa f(x) = 5x + 7 dan f -1(x) = 15(x – 7).a)Rumus fungsi komposisi (ff -1)(x) dan (f -1f)(x) ditentukan sebagaiberikut.Matematika99(i) (ff -1)(x) = f(f-1(x))= 5(f -1(x)) + 7= 5(15(x – 7)) + 7= x – 7 + 7= x(ii) (f -1f)(x) = f -1(f(x))= −75x= −()75fx= −(5 + 7)75x= ()−5+775x= 55x= x(b) Berdasarkan hasil pada butir (a) dapat disimpulkan bahwa nilai (f -1f)(x) = (f -1f)(x) = x = I (x)(2)Sebagai latihanmu, silakan buktikan bahwa (f -1f)(x) = (f -1f)(x) = x = I (x)juga berlaku pada Contoh 3.8.Berdasarkan penyelesaian Contoh 3.7 dan Contoh 3.8 diperoleh sifat berikut.Sifat 3.5Misalkan f sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf , sedangkan I(x) = x merupakan fungsi identitas. Fungsi f -1 merupakan fungsi invers dari fungsi f jika dan hanya jika (ff -1)(x) = x = I (x) untuk setiap x∈Df , dan(f -1f)(x) = x = I (x) untuk setiap x∈Rf.Kelas X SMA/MA/SMK/MAK100 Sifat 3.5 di atas dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu fungsi merupakan fungsi invers dari fungsi f atau bukan. Agar kamu lebih memahami, perhatikan kembali Contoh 3. 9 berikut.Contoh 3.9Buktikanlah bahwa f(x) = 10x – 1 dan g(x) = +110x merupakan fungsi yangsaling invers. Alternatif PenyelesaianUntuk membuktikan bahwa f(x) dan g(x) saling invers, cukup menunjukkan fungsi komposisi f(g(x)) = g(f(x)) = x. Bukti(i)f(g(x)) =+110xf = 10(g(x)) – 1= +110xf –1= x + 1 – 1 = x(ii)g(f(x)) = g(10x – 1)= −(101)+110x= 1010x= xKarena f(g(x)) = g(f(x)) = x, maka kedua fungsi saling invers. Perhatikan kembali Contoh 3.10 berikut.Contoh 3.10Diketahui fungsi f: RR dengan f(x) = x – 1. Tentukanlah (f -1)-1(x).Matematika101Alternatif PenyelesaianUntuk menentukan rumus (f -1)-1(x), maka langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan f -1(x) sebagai berikut.Diketahui bahwa f(x) = x – 1, karena f(x) = y, maka y = x – 1 atau x = y + 1Oleh karena x = f -1(y), maka f -1(y) = y + 1, sehingga f -1(x) = x + 1.Langkah kedua, menentukan fungsi invers dari f -1 (x) sebagai berikut.Misalkan f -1(x) = h(x), maka fungsi invers dari h(x) adalah h-1(x) yang ditentukan seperti berikut.Misalkan h-1 adalah fungsi invers h. Untuk setiap x∈Dh dan y∈Rh berlaku y = h(x) jika dan hanya jika x = h-1(y).Karena h(x) = x + 1 dan h(x) = y, kita peroleh hubungan y = x + 1 atau x = y – 1.Karena x = h-1(y), maka h-1(y) = y – 1 sehingga h-1(x) = x – 1.Karena f -1 (x) = h(x) dan h-1 (x) = x – 1, maka (f -1)-1(x) = x – 1.Jadi, (f -1)-1(x) = x – 1. Perhatikan kembali rumus fungsi (f -1)-1(x) yang kita peroleh dengan rumus fungsi f(x) yang diketahui, dari kedua nilai ini kita peroleh bahwa (f -1)-1(x) = f(x) = x – 1. Berdasarkan hasil uraian pada Contoh 3.10 di atas, maka diperoleh sifat fungsi invers sebagai berikut. Sifat 3.6Jika f sebuah fungsi bijektif dan f -1 merupakan fungsi invers f, maka fungsi invers dari f -1 adalah fungsi f itu sendiri, dan dapat disimbolkan dengan(f -1)-1 = f Sekarang, kita akan menentukan fungsi invers dari suatu fungsi komposisi. Untuk memahami hal tersebut, perhatikan contoh berikut.Next >