< PreviousB.Diagram AlirMasalah OtentikPertidaksamaanPersamaanTidak Ada PenyelesaianTepat Satu PenyelesaianBanyak PenyelesaianKalimat TerbukaNilai MutlakPertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu VariabelPersamaan Nilai Mutlak Linear Satu VariabelPenyelesaianC.Materi Pembelajaran Pada bab ini, kita akan mempelajari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak yang sederhana, yaitu persamaan dan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak bentuk linear satu variabel. 1.1 Konsep Nilai Mutlak Untuk memahami konsep nilai mutlak, mari kita perhatikan kedua ilustrasi berikut ini.Cerita Pertama Perhatikan Gambar 1.1. Kegiatan pramuka merupakan salah satu kegiatan ekstrakurikuler yang diadakan di sekolah. Suatu pasukan pramuka sedang belajar baris berbaris di lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah dari pimpinan regu, yaitu “Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah kedepan. Jika perintah pimpinan pasukan adalah “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak ke belakang sejauh 3 langkah. Demikian seterusnya.Sumber: Dokumen KemdikbudGambar 1.1 Pramuka Besar pergerakan langkah pasukan tersebut merupakan nilai mutlak, tidak ditentukan arah. Contoh, “maju 4 langkah”, berarti mutlak 4 langkah dari posisi diam dan “mundur 3 langkah, berarti mutlak 3 langkah dari posisi diam. Dalam hal ini, yang dilihat adalah nilainya, bukan arahnya.Cerita Kedua Seorang anak bermain lompat-lompatan di lapangan. Dari posisi diam, si anak melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang, dan akhirnya1 langkah lagi ke belakang. Secara matematis, ilustrasi ini dapat dinyatakan sebagai berikut.Matematika3Kelas X SMA/MA/SMK/MAK4 Kita definisikan lompatan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif. Dengan demikian, lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif.Perhatikan sketsa berikut.-4-3-2-101234x(+)x(-)Ke belakang 1 langkahKe belakang 1 langkahKe depan 2 langkahKe belakang 3 langkahKe depan 2 langkahPosisi diam si anakGambar 1.2 Sketsa lompatan12345 Dari gambar di atas, kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi diam si anak. Anak panah yang pertama di atas garis bilangan menunjukkan langkah pertama si anak sejauh 2 langkah ke depan (mengarah ke sumbu x positif atau +2). Anak panah kedua menunjukkan 3 langkah si anak ke belakang (mengarah ke sumbu x negatif atau -3) dari posisi akhir langkah pertama. Demikian seterusnya sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah kelima. Jadi, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1 langkah saja ke belakang (x = -1 atau x = (+2) + (-3) + (+2) + (-1) + (-1) = -1), tetapi banyak langkah yang dijalani si anak merupakan konsep nilai mutlak. Kita hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya, sehingga banyak langkahnya adalah |2| + |-3| + |2| + |-1| + |-1| = 9 (atau 9 langkah).Perhatikan tabel berikut.Tabel 1.1 Nilai MutlakBilangan Non NegatifNilai MutlakBilangan NegatifNilai Mutlak00-2222-3333-4455-55Matematika5 Berdasarkan kedua cerita dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik suatu kesimpulan tentang pengertian nilai mutlak? Jika x adalah variabel pengganti sebarang bilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak dari x tersebut? Perhatikan bahwa x anggota himpunan bilangan real (ditulis x∈R). Berdasarkan tabel, kita melihat bahwa nilai mutlak dari x akan bernilai positif atau nol (non negatif). Secara geometris, nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Dengan demikian, tidak mungkin nilai mutlak suatu bilangan bernilai negatif, tetapi mungkin saja bernilai nol. Ada beberapa contoh percobaan perpindahan posisi pada garis bilangan, yaitu sebagai berikut.1. -3(-)-2-101234(+)|3| = 32. 3434=-3(-)-2-101234(+)343. -3(-)-2-101234(+)|0| = 04. -3-2-1(-)(+)01234=5-2525-25. -3(-)-2-101234(+)|-3| = 3Gambar 1.3 Cara menentukan nilai mutlak suatu bilangan pada garis bilanganCatatan:•Garis bilangan digunakan sebagai media untuk menunjukkan nilai mutlak.•Tanda panah digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimanaarah ke kiri menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif, dan begituKelas X SMA/MA/SMK/MAK6juga sebaliknya. Arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif. •Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan dihitung daribilangan nol.PenjelasanGaris bilangan 1: Tanda panah bergerak ke arah kanan berawal dari bilangan 0 menuju bilangan 3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti nilai |3| = 3 atau berjarak 3 satuan dari bilangan 0.Garis bilangan 5: Tanda panah bergerak ke arah kiri berawal dari bilangan 0 menuju bilangan -3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti bahwa nilai |-3| = 3 atau berjarak 3 satuan dari bilangan 0. Dari kedua penjelasan di atas, dapat dituliskan konsep nilai mutlak, sebagai berikut.Misalkan x bilangan real, |x| dibaca nilai mutlak x, dan didefinisikan ≥jika0=-jika<0xxxxxDefinisi 1.1 Definisi di atas dapat diungkapkan dengan kalimat sehari-hari seperti berikut ini. Nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif itu. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa:a) 11=22, karena 12>0 (12 adalah bilangan positif).b)|5| = 5, karena 5 > 0 (5 adalah bilangan positif).c)|-3| = -(-3) = 3, karena -3 < 0 (-3 adalah bilangan negatif).Matematika7Latihan 1.1Gunakan Definisi 1.1 untuk menentukan nilai mutlak berikut. a.Tentukan |x + 2| untuk x bilangan real.b.Tentukan |x – 3|untuk x bilangan real.c.Tentukan |2 x + 3| untuk x bilangan real.d.Tentukan |-2 x + 5| untuk x bilangan real.e.Tentukan -1223x untuk x bilangan real.1.2 Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel Pada sub-bab ini, kita akan mengkaji bentuk persamaan nilai mutlak linear satu variabel dan strategi menyelesaikannya. Untuk memulainya, mari kita cermati pembahasan masalah berikut ini.Masalah 1.1Tentukan nilai x (jika ada) yang memenuhi setiap persamaan berikut ini.1.|2x – 1| = 74.-5|3x – 7| + 4 = 142.|x + 5| = -65.|2x – 1| = |x + 3|3.|(4x –8)| = 0Alternatif PenyelesaianPertama, kita akan mengubah bentuk |2x – 1| seperti pada Latihan 1.1.1. -≥--121jika221=1-(21)jika<2xxxxxAkibatnya diperoleh 2 persamaan, yaitu sebagai berikut. Untuk x ≥ 12, 2x – 1 = 7, 2x = 7 + 1, 2x = 8 atau x = 4 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK8 Untuk x < 12, (2x – 1) = 7, -2x + 1 = 7, -2x = 7 – 1, -2x = 6 atau x = -3Jadi, nilai x = 4 atau x = -3 memenuhi persamaan nilai mutlak |2x – 1| = 7. 2.Tidak ada x∈R yang memenuhi persamaan |x + 5| = -6, mengapa?3.Persamaan |(4x – 8)| = 0 berlaku untuk 4x – 8 = 0 atau 4x = 8.Jadi, untuk x = 2 memenuhi persamaan |4x – 8| = 0.4.Persamaan -5|3x – 7| + 4 = 14 ⇔ |3x – 7| = -2 .Bentuk |3x – 7| = -2 bukan suatu persamaan, karena tidak ada x bilanganreal, sehingga |3x – 7| = -2.5.Ubah bentuk |2x –1| dan |x + 3| dengan menggunakan Definisi 1.1,sehingga diperoleh:-≥-121jika221=1-2+1jika<2xxxxx1.1≥-+3jika-3+3=-3jika<-3xxxxx1.2 Berdasarkan sifat persamaan, bentuk |2x – 1| = |x + 3|, dapat dinyatakan menjadi |2x –1| – |x + 3| = 0. Artinya, sesuai dengan konsep dasar “mengurang”, kita dapat mengurang |2x – 1| dengan |x + 3| jika syarat x sama. Sekarang, kita harus memikirkan strategi agar |2x – 1| dan |x + 3| memiliki syarat yang sama. Syarat tersebut kita peroleh berdasarkan garis bilangan berikut.-30|2x –1| = -2x + 1|x +3| = -x – 3|x +3| = x + 3|2x –1| = 2x – 1312Gambar 1.4 Nilai |2x – 1| dan |x + 3| sesuai dengan Definisi 1.1Matematika9Oleh karena itu, bentuk (1.1) dan (1.2) dapat disederhanakan menjadi:-≥-121jika221=1-2+1jika<2xxxxx = -≥≤121jika21-2+1jika-3<2-2+1jika<-3xxxxxx1.3≥-+3jika-3+3=-3jika<-3xxxxx = ≥≤-1+3jika21+3jika-3<2-3jika<-3xxxxxx1.4Akibatnya, untuk menyelesaikan persamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0, kita fokus pada tiga kemungkinan syarat x, yaitu ≥12xatau ≤1-3<2x atau x < -3.➢Kemungkinan 1, untuk ≥12x.Persamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0 menjadi (2x – 1) – (x + 3) = 0 atau x = 4.Karena x ≥ 12, maka x = 4 memenuhi persamaan.➢Kemungkinan 2, untuk ≤1-3<2xPersamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0 menjadi -2x + 1 – (x + 3) = 0 atau x = -23.Karena -3 ≤ x <12maka x = -23 memenuhi persamaan.➢Kemungkinan 3, x < -3Persamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0 menjadi -2x + 1 – (-x – 3) = 0 atau x = 4.Karena x < -3, maka tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan.Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan |2x – 1| = |x + 3| adalah x = 4 ataux = -23. Kelas X SMA/MA/SMK/MAK10Sifat 1.1Untuk setiap a, b, c, dan x bilangan real dengan a ≠ 0.1.Jika |ax + b| = c dengan c ≥ 0, maka salah satu sifat berikut ini berlaku.i.|ax + b| = c, untuk x ≥ -baii.-(ax + b) = c, untuk x < -ba2.Jika |ax + b| = c dengan c < 0, maka tidak ada bilangan real x yangmemenuhi persamaan |ax + b| = c.Latihan 1.2Manfaatkan Sifat 1.1 untuk mengubah bentuk nilai mutlak berikut.a.|x – 1|b.|2x – 6|c.|2x – 6| + |x – 1|d.|2x – 6| – |x – 1|Masalah 1.2Sumber: https://id.wikipedia.org/wiki/BerkasGambar 1.5 Sungai Perhatikan Gambar 1.5 di sungai ini. Sungai pada keadaan tertentu mempunyai sifat cepat meluap di musim hujan dan cepat kering di musim kemarau. Diketahui debit air sungai tersebut adalah p liter/detik pada cuaca normal dan mengalami perubahan debit sebesar q liter/detik di cuaca tidak normal. Tunjukkan nilai penurunan minimum dan peningkatan maksimum debit air sungai tersebut.Matematika11Alternatif PenyelesaianNilai mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan perubahan q liter/detik dapat ditunjukkan dengan persamaan|x – p| = q, x adalah debit air sungai.Dengan Definisi 1.1, maka -≥-jika=-+jika<xpxpxpxpxp1.5Akibatnya, |x – p| = q berubah menjadia)Untuk x ≥ p, x – q atau x = p + qHal ini berarti peningkatan maksimum debit air sungai adalah (p + q)b)Untuk x < p, -x + p = q atau x = p – qHal ini berarti penurunan minimum debit air adalah (p – q)Dengan pemahaman yang telah dimiliki, maka kita dapat menggambar-kannya sebagai berikut.p – q......p – 2p – 1p + 1p + 1p + qqqGambar 1.6 Nilai maksimum p + q dan nilai minimum p – q Dari grafik di atas, dapat dinyatakan penurunan minimum debit air adalah (p – q) liter/detik dan peningkatan maksimum debit air adalah (p + q) liter/detik.Contoh 1.1Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |x – 3| + |2x – 8| = 5.Alternatif PenyelesaianBerdasarkan Definisi 1.1 diperoleh-≥-3jika33=-+3jika<3xxxxx1.6Next >