< Previous3Matematika1. UKURAN PEMUSATANMean atau yang sering disebut sebagai rata-rata, median yang merupakan nilai tengah dari data yang telah diurutkan , dan modus yaitu data yang sering muncul merupakan nilai yang menggambarkan tentang pemusatan nilai-nilai dari data yang diperoleh dari suatu peristiwa yang telah diamati. Itulah sebabnya mean, median, dan modus disebut sebagai ukuran pemusatan. Untuk lebih memahami tentang ukuran pemusatan data, mari kita cermati dari masalah berikut ini.Masalah-7.1Kepala Sekolah SMA Negeri 1 Bakara-Baktiraja ingin mengevaluasi hasil belajar siswa dan meminta guru untuk memberikan laporan evaluasi hasil belajar siswa. Data hasil penilaian yang dilakukan guru matematika terhadap 64 siswa/siswi kelas XI dinyatakan sebagai berikut. 6183888182606698938138909285768878747048806376498479807068926183888182728387818281915665637489739097489092857674887590977583798680517172827093729167888063764984Guru berencana menyederhanakan data tunggal tersbut menjadi bentuk data berinterval dan membuat statitistiknya, hal ini dilakukan untuk mengefisienkan laporan evaluasi hasil belajar siswa. Bantulah guru tesebut untuk menyusun laporannya!Alternatif PenyelesaianUntuk dapat memudahkan penggunaan data tersebut, susun data berdasarkan urutan terkecil hingga terbesar. Urutan data tersebut dinyatakan sebagai berikut.3848484949515660616163636365666768707070717272727374747475757676767678797980808080818181818182828282838383838484858586878888888888899090909091919292929393979798C. MATERI PEMBELAJARAN4Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSetelah data diurutkan, dengan mudah kita temukan, data terbesar adalah 98 dan data terkecil adalah 38. Selisih data terbesar dengan data terkecil disebut sebagai jangkauan data. Untuk data yang kita kaji, diperoleh:Jangkauan Data adalah 60. Langkah kita selanjutnya adalah untuk mendistribusikan data-data tersebut ke dalam kelas-kelas interval. Untuk membagi data menjadi beberapa kelas, kita menggunakan aturan Sturgess. Aturan tersebut dinyatakan bahwa jika data yang diamati banyaknya n dan banyak kelas adalah k, banyak kelas dirumuskan sebagai berikut:k = 1 + (3, 3). log nUntuk data di atas diperoleh, Banyak Kelas = 1 + (3,3). log 80 = 1 + (3,3). (1,903) = 7,28 = 7Jadi 80 data di atas akan dibagi menjadi 7 kelas interval.Pertanyaan kritis: Jelaskan mengapa angka pembulatan yang dipilih angka 7 bukan angka 8?Sekarang kita perlu menentukan berapa banyak data yang terdapat pada satu kelas interval. Banyak data dalam satu interval, disebut panjang interval kelas, yang dirumuskan sebagai berikut: Maka diperoleh: Panjang Kelas =Jangkauan dataBanyak kelas dari data di atas dapat di peroleh Panjang Kelas = Jangkauan60==8,579BanyakKelas7≈Selanjutnya, dengan adanya banyak kelas adalah 7 dan panjang kelas adalah 9 dapat kita gunakan untuk membentuk kelas interval yang dinyatakan sebagai berikut: Kelas I : 38 – 46 Kelas II : 47 – 55 Kelas III : 56 – 64 Kelas IV : 65 – 73 Kelas V : 74 – 82 Kelas VI : 83 – 91 Kelas VII : 92 – 1005MatematikaDari hasil pengolahan data di atas dapat dibentuk ke dalam bentuk tabel berikut.Tabel 7.1. Tabel FrekuensiKelasFrekuensi38 – 46147 – 55556 – 64765 – 731274 – 822583 – 9122 92 – 100880Perlu dicermati bahwa pembentukan interval kelas tersebut harus memuat semua data. Jika ada satu data yang tidak tercakup pada interval kelas, maka terdapat kesalahan dalam mendistribusikan data. Bentuk histogram dari hasil pengolahan data nilai siswa di atas digambarkan sebagai berikut.Gambar 7.1 Histogram Data Nilai Siswaa. Menentukan Nilai Mean (Rata-rata)Sajian data pada tabel di atas, tentunya harus kita memaknai setiap angka yang tersaji. Dari Interval 38 – 46 dapat diartikan bahwa: 38 disebut batas bawah interval 46 disebut batas atas interval. Titik tengah interval, dinotasikan xi , diperoleh: x-i-i=()+12batas bawah interval kebatas atas interval keii() Sehingga: []113846422x=+=6Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSetiap interval memiliki batas bawah, batas atas, dan titik tengah interval ( xi ).Data hasil belajar siswa di atas, dapat diperbaharui sebagai berikut:Tabel 7.2 Tabel FrekuensiKelasxi Fxi . F38 – 464214247 – 5551525556 – 6460742065 – 73691282874 – 8278251,95083 – 9187221,91492 – 100968768Total806,177Titik tengah setiap interval diartikan sebagai perwakilan data setiap interval. Nilai ini digunakan untuk menentukan rata-rata data tersebut. Data yang diperoleh dari Tabel 7.2 dapat digambarkan kedalam bentuk histogramGambar 7.2 Histogram Data Nilai SiswaDengan mengembangkan konsep mean pada data tunggal, yakni, mean merupakan perbandingan jumlah seluruh data dengan banyak data. Dari tabel dan histogram dapat kita peroleh jumlah seluruh data, yakni, jumlah perkalian nilai tengah terhadap frekuensi masing-masing. Maka jumlah seluruh data adalah: = (1) 42 + (5) 51 + (7) 60 + (12) 69 + (25) 78 + (22) 78 + (22) 87 + (8) 96Sehingga diperoleh rata-rata (mean):mean=()()()()()+()()+++++++++142551760126925782287+8961571225222+8617777.21==807MatematikaDengan demikian, dengan tabel frekuensi di atas dan nilai rata-rata data, ditemukan:Ø Banyak siswa yang memiliki nilai matematika di bawah nilai rata-rata!Ø Banyak siswa yang memiliki nilai matematika di atas nilai rata-rata!Perhitungan rata-rata di atas dapat kita dirumuskan secara matematis menjadi:Meanxxffxfxfxfxffffkkkiiik()==()++++++++=1122331231.......∑∑∑=fiik1Nah, melalui pembahasan di atas, tentunya dapat disimpulkan bahwa rata-rata (mean) merupakan salah satu ukuran pemusatan data yang dinyatakan sebagai berikut.xfxffxfxfxfxffffiiikiikkkk==++++++++==∑∑11112233123......dimana:fi : frekuensi kelas ke-ixi : nilai tengah kelas ke-i Selain cara di atas, ada cara lain untuk menghitung rata-rata. Dengan data yang sama, cermati langkah-langkah di bawah ini.Tabel 7.3 Perhitungan Rataan sementaraInterval (xi) fidi = xi-xsxs = 78fi. di38 – 46421-36-3647 – 55515-27-13556 – 64607-18-12665 – 736912-9-10874 – 8278250083 – 918722919892 – 10096818144Total80-638Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDengan cara memperkirakan bahwa nilai rata-rata sementara yang dipilih pada kelas yang memiliki frekuensi tertinggi dan letak rata-rata sementara tersebut adalah titik tengah kelas interval.Secara lengkap, langkah-langkah menentukan rata-rata data dengan menggunakan rata-rata sementara sebagai berikutLangkah 1. Ambil nilai tengah dengan frekuensi terbesar sebagai mean sementara xsLangkah 2. Kurangkan setiap nilai tengah kelas dengan mean sementara dan catat hasilnya dalam kolom di = xi – xs.Langkah 3. Hitung hasil kali f, d, dan tuliskan hasilnya pada sebuah kolom, dan hitung totalnya.Langkah 4. Hitung mean dengan menggunakan rumus rataan sementara.Sehingga diperoleh rata-rata adalah:xxfdfsiiikiik=+()==∑∑.11dengan:xs : rata-rata sementara.di : deviasi atau simpangan terhadap rata-rata. fi : frekuensi interval kelas ke-i.xs : nilai tengah interval kelas ke-i.Maka untuk data di atas dapat diperoleh:Meanxfdfsiiikiik =+()=+−===∑∑...1178117647721 b. Menentukan Nilai ModusPada waktu SMP kamu telah membahas modus untuk data tunggal, untuk data berkelompok secara prinsip adalah sama yakni nilai yang sering muncul. Dalam hal ini frekuensi terbanyak menjadi perhatian kita sebagai letak modus tersebut. Misalkan dari sekumpulan data kita mengambil 3 kelas interval yakni kelas interval dengan frekuensi terbanyak (kelas modus) dan kelas interval 9Matematikasebelum dan sesudah kelas modus. Dengan bantuan histogram dapat digambarkan sebagai berikut:DGambar 7.3 Penentuan Modus dengan Histogram Perhatikan ilustrasi diatas, terlihat bahwa ∆ ABG sebangun dengan ∆ DCG, dan panjang AB = d1 ; CD = d2 ; EG = ∆x dan FG = k - ∆x. Secara geometri dari kesebangunan di atas berlaku perbandingan berikut ini;ABCDEGFGddxkxdkxdxdkdxdxdxd=⇔=∆−∆⇔−∆()=∆⇔−∆=∆⇔∆+∆121211212xdkxdddkxdkddxkddd=⇔∆+()=⇔∆=+()⇔∆=+1121112112 10Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSehingga dapat diperoleh modus adalah:Mtxtkdddbb0112=+∆=++ Mtkdddb0112=++dimana:M0 : Modustb : Tepi bawah kelas modusk : Panjang kelasd1 : Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnyad2 : Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnyaPerhatikan tabel berikut.Tabel 7.4 Perhitungan ModusNoKelasTitik tengah (xi)Frekuensi (fi)138 – 46421247 – 55515356 – 64607465 – 736912574 – 827825683 – 918722792 – 100968Dari data di atas dapat ditentukan sebagai berikut:Tampak modus terletak pada frekuensi terbanyak f = 25 yaitu kelas interval modus 74 – 82 dengan dan panjang kelas k = 9. Oleh karena itu, tb= 73,5, dan d1= 25 – 12 =13 serta d2= 25 – 22 = 3.Jadi modus data di atas adalah:Mtkdddob=++=++112735913133,11MatematikaMo=+=7357318081,,,c. MedianMedian dari sekelompok data yang telah terurut merupakan nilai yang terletak di tengah data yang membagi data menjadi dua bahagian yang sama. Untuk data berkelompok berdistribusi frekuensi median ditentukan sebagai berikut: MtknFfebm=+−2 dengan : Me = Mediantb = tepi bawah kelas median k = panjang kelasn = banyak data dari statistik terurut ∑ fiF = frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas medianfm = frekuensi kelas medianDari data sebelumnya diperoleh k = 9 ; tb = 73,5 ; N = 80; fm = 25sehingga:Masih menggunakan data di atas maka kita bentuk tabel berikut ini.Tabel 7.5 Perhitungan MedianKelasFrekuensi fiFrekuensi Kumulatif F38 – 461147 – 555656 – 6471365 – 73122574 – 82255083 – 912277 92 – 1008808012Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMedian=+−=+−=+tknFfbm273598022525735,,3370577205,,=Pertanyaan kritis: Dari ketiga pembahasan tentang ukuran pemusatan data pada data kelompok, dapatkah kamu menemukan hubungan antara ketiga pemusatan data di atas? Diskusikan dengan temanmu! Dapatkah terjadi nilai ukuran xMoMe==pada sekumpulan data, jelaskan.2. UKURAN LETAK DATAUkuran letak data yang dimaksud dalam subbab ini adalah kuartil, desil, dan persentil. Ingat kembali materi statistik yang telah kamu pelajari di kelas X, konsep kuartil dan desil untuk data berdistribusi analog dengan yang ada pada data tunggal.a. KuartilJika semua data yang telah diurutkan mulai dari data terkecil dan data terbesar, maka data tersebut dapat dibagi menjadi empat bagian. Ukuran letak yang membagi empat bagian dari sekumpulan data disebut kuartil. Untuk lebih memahami pengertian kuartil perhatikan ilustrasi berikut. Xmin Q1 Xmax Q2 Q3 Gambar 7.4 Letak KuartilUntuk menentukan Kuartil data berdistribusi, dirumuskan:QLkinFfiiQQi=+− 4Next >