< Previous13Matematikan : banyak datak : panjang kelasQi : Kuartil ke-i data, untuk i = 1,2, 3.Li : Tepi bawah kelas ke-i. Li= batas bawah – 0.5.FQ : jumlah frekuensi sebelum kuartil ke-i.Fi : frekuensi kelas yang memuat Kuartil ke-i.Contoh 7.1Perhatikan tabel berikut ini dan tentukan a. Kuartil bawah (Q1)b. Kuartil tengah (Q2)c. Kuartil atas (Q3)Tabel 7.6 Distribusi FrekuensiKelasFrekuensi fi42 – 46247 – 51552 – 56557 – 611562 – 66767 – 714 72 – 762Alternatif PenyelesaianDengan melengkapi tabel 7.6 diperoleh:Tabel 7.7 Distribusi Frekuensi KumulatifKelasFrekuensi fiFrekuensi Kumulatif F42 – 462247 – 515752 – 5651257 – 61152762 – 6673467 – 71438 72 – 7624014Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKa. Kuartil ke-1 Kuartil bawah dapat juga disebut kuartil ke-1 (Q1), dan untuk menentukan letak Q1 terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat Q1 yakni dengan menghitung nilai dari ()11401044n==. Hal ini berarti Q1 adalah data ke-10, kelas interval 52 – 56, dan fi = 11. Dari tabel juga diperoleh L1 = 51,5, FQ = 7, 1Qf = 5, k = 5. Sehingga kuartil bawah diperoleh: QLkinFfQQiiQQi=+−=+−()=+= 451551065515455511,,, Sehingga kuartil ke-1 adalah 55,5b. Kuartil ke-2 Analog dengan mencari Q1 maka diperoleh nilai Q2 , yakni: 24144020n=()=. Hal ini berarti Q2 berada pada kelas interval 57 – 61, dan 2Qf= 15. Dari tabel juga diperoleh L2 = 56,5, FQ = 12, 2Qf= 15, k = 5. Sehingga dapat ditentukan kuartil tengah adalah: QLkinFfQQiiQQi=+−=+−()=+= 456552012155652665922,,,,116 Sehingga kuartil ke-2 adalah 59,16F15Matematikac. Kuartil ke-3 Sama seperti menentukan Q1 dan Q2 maka diperoleh nilai-nilai yang kita perlukan untuk memperoleh nilai Q3 , yakni: 34344030n=()=. Hal ini berarti Q3 berada pada kelas interval 62 – 66, dan 3Qf= 7. Dari tabel juga diperoleh L1 = 61,5, FQ = 27, 3Qf= 7, k = 5. Sehingga dapat ditentukan kuartil atas adalah: QLkinFfQQiiQQi=+−=+−()=+= 461553027761521463633,,,,44 Sehingga kuartil ke-3 adalah 63,64b. Desil Prinsip untuk mencari desil hampir sama dengan kuartil, jika kuartil mem- bagi data yang terurut menjadi empat bagian maka desil menjadi 10 bagian dengan ukuran data n > 10. Hal ini berarti sekumpulan data yang terurut memiliki 9 nilai desil, yakni D1, D2, D3, ..., D9 Untuk menentukan Desil, dirumuskan sebagai berikut: DLkinFfiiDDi=+−10 i = 1,2, 3, … , 9 Di : Desil ke-i Li : Tepi bawah kelas yang memuat desil ke-i FD : jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i iDf : frekuensi kelas yang memuat desil ke-i n : Banyak data k : panjang kelas.16Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 7.2Dari 1.000 siswa peserta Olimpiade Matematika diperoleh data skor berupa tabel berikut.Tabel 7.8 Skor Olimpiade MatematikaSkorFrekuensi0-9510-195420-2921530-3926340-4922350-5912460-697270-793880-89590-991Tentukanlah desil a. Desil ke-1 b. Dan desil ke-8Alternatif PenyelesaianDengan melengkapi tabel 7.8 diperoleh:Tabel 7.9 Distribusi Frekuensi KumulatifSkorFrekuensiFrekuensi Kumulatif F0-95510-19545920-2921527430-3926353740-4922376017MatematikaSkorFrekuensiFrekuensi Kumulatif F50-5912488460-697295670-793899480-89599990-9911000a. Desil ke-1 Untuk menentukan letak D1 terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat D1 yakni dengan menghitung nilai dari 1101101000100n=()=. Hal ini berarti D1 adalah data ke-100 yaitu, kelas interval 20 – 29, dan 1Df= 215. Dari tabel juga diperoleh L1 = 19,5, FD = 59, 1Df= 215, k = 10. Sehingga kuartil bawah diperoleh: DLkinFfDDiiDDi=+−=+−()=+ 10195101005921519543761,,,116326=, Sehingga kuartil ke-1 adalah 63,26b. Desil ke-8 Untuk menentukan letak D8 terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat D8 yakni dengan menghitung nilai dari 8108101000800n=()=. Hal ini berarti D8 adalah data ke-800, kelas interval 40 – 49, dan8Df= 223. Dari tabel juga diperoleh L8 = 39,5, FD = 573, 8Df= 223, k = 10.18Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Sehingga kuartil bawah diperoleh: DLkinFfDiiDDi=+−=+−()=+ 310951080057322339510178,,,DD84967=, Sehingga kuartil ke-8 adalah 49,67c. Persentil Jika kuartil dan desil membagi data yang terurut menjadi empat dan sepuluh bagian maka desil menjadi 100 bagian data. Hal ini berarti sekumpulan data yang terurut memiliki 99 nilai persentil, yakni P1, P2, P3, ..., P99. Untuk menentukan persentil, dirumuskan sebagai berikut: PLkinFfiiPPi=+−100 i = 1,2, 3, … , 9 Pi : Persentil ke-i Li : Tepi bawah kelas yang memuat persentil ke-i FP : jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i iPf : frekuensi kelas yang memuat persentil ke-i n : Banyak data k : panjang kelas.Contoh 7.3Dengan menggunakan data pada contoh 7.2 Tentukanlah a. persentil ke-10b. persentil ke-9919MatematikaAlternatif PenyelesaianPerhatikan tabel berikutTabel 7.10 Distribusi Frekuensi KumulatifSkorFrekuensiFrekuensi Kumulatif F0-95510-19545920-2921527430-3926353740-4922376050-5912488460-697295670-793899480-89599990-9911.000a. Persentil ke-10 Untuk menentukan letak P10 terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat P10 yakni dengan menghitung nilai dari 10100101001000100n=()=. Hal ini berarti P10 adalah data ke-100, kelas interval 20 – 29, dan 10Pf= 215. Dari tabel juga diperoleh L10 = 19,5, FP = 59, 10Pf= 215, k = 10. Sehingga kuartil bawah diperoleh: PLkinFfPiiPPi=+−=+−()=+ 101951010059215195437610,,,PP106326=, Sehingga persentil ke-10 adalah 63,2620Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKb. Persentil ke-99 Untuk menentukan letak P99 terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat P99 yakni dengan menghitung nilai dari 99100991001000990n=()=. Hal ini berarti P99 adalah data ke-990, kelas interval 70 – 79, dan 99Pf= 38. Dari tabel juga diperoleh L99 = 69,5, FP = 956, 99Pf= 38, k = 10. Sehingga kuartil bawah diperoleh: PLkinFfPPiiPPi=+−=+−()=+ 61095109909563869589499,,,9997844=, Sehingga persentil ke-99 adalah 49,67 Dari ukuran letak data yang telah dibahas di atas tentu kita akan menemukan keterkaitan nilai ukuran satu dengan yang lainnya. Misalkan data yang dimiliki adalah sama maka akan ditemukan nilai median = Q2 = D5 = P50, dan Q1 = P2, dan Q3 = P75. Cobalah membuktikannya dengan teman kelompokmu.3. UKURAN PENYEBARAN DATAUkuran penyebaran data menunjukkan perbedaan data yang satu dengan data yang lain serta menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu data memiliki nilai yang berbeda. Adapun ukuran penyebaran data yang akan kita kaji adalah sebagai berikut. a. Rentang Data atau Jangkauan (Range)Masalah-7.2Suatu seleksi perekrutan anggota Paskibra di sebuah sekolah diperoleh data tinggi badan siswa yang mendaftar adalah sebagai berikut:21MatematikaTabel 7.11 Distribusi Tinggi Badan SiswaTinggi badan (cm)Banyak siswa yang mendaftar (fi)140-1447145-1498Tinggi badan (cm)Banyak siswa yang mendaftar (fi)150-15412155-15916160-16424165-16913170-1742 Tentukanlah rentang (range) dari data distribusi di atas!Alternatif PenyelesaianRange merupakan selisih antara data terbesar dengan data terkecil. Sedangkan untuk data berdistribusi, data tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan data terendah diambil dari nilai kelas yang terendah, sehingga diperoleh:Nilai tengah kelas tertinggi =+=1701742172 Nilai tengah kelas terendah =+=1401442142Sehingga dari kedua hasil di atas diperoleh range untuk data berdistribusi adalah: Rentang (R) = 172 – 142 = 30b. Rentang Antar Kuartil (Simpangan Kuartil)Dengan pemahaman yang sama yakni rentang merupakan selisih data terbesar dengan data terkecil, maka rentang antar kuartil dirumuskan dengan selisih kuartil terbesar dengan kuartil terkecil yakni kuartil atas (Q3) dengan kuartil bawah (Q1), maka dapat dituliskan dengan: simpangan kuartil = Q3 – Q1Dengan menggunakan hasil pada contoh 7.1 maka dapat kita peroleh rentang antar kuartil data tersebut adalah: Simpangan kuartil = 63, 4 – 55, 5 = 7,922Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKc. Simpangan Rata-RataAndaikan kita memiliki data x1, x2, x3, ..., xn maka dengan konsep nilai rentang data kita dapat menentukan rentang nilai rata-rata atau simpangan rata-rata sehingga diperoleh urutan data yang baru yaitu:xxxxxxxxn123−()−()−()−(),,,,Dalam urutan data di atas mungkin ada yang positif dan negatif namun konsep jarak atau rentang tidak membedakan keduanya, untuk itu diambil harga mutlak sehingga diperoleh:xxxxxxxxn123−−−−,,,,Dan jika urutan nilai data tersebut dijumlahkan kemudian dibagi dengan banyak data (n) maka akan diperoleh simpangan rata-rata sebagai berikut:SxxnRiin=−=∑1dengan :SR = Simpangan rata-rataxi = nilai data ke-ix- = nilai rata-rata n = banyak dataFormula di atas merupakan simpangan rata-rata untuk data tunggal. Data berdistribusi memiliki nilai frekuensi dalam tiap kelompok atau interval data dan nilai data pengamatan merupakan nilai tengah kelas sehingga untuk data berdistribusi diperoleh simpangan rata-rata yang dituliskan sebagai berikut:SfxxfRiiiniin=−==∑∑11dengan :SR = Simpangan rata-rataxi = nilai tengah kelas ke –ix- = nilai rata-rata fi = frekuensi kelas ke –iNext >