< Previous223MatematikaPergerakan sebuah objek yang semakin menjauhi ataupun semakin mendekati berarti ada terjadi perubahan pergerakan pada lintasan, sehingga kecepatan adalah laju perubahan dari lintasan terhadap perubahan waktu, yaitu:()()dstvtdt= atau ()'()vtst= sehingga ()()stvtdt=∫ Pergerakan dipercepat atau diperlambat berhubungan dengan kecepatan objek tersebut, yaitu terjadi perubahan kecepatan kendaraan. Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap perubahan waktu, yaitu:()()dvtatdt= atau ()'()''()atvtst==sehingga ()()vtatdt=∫ dimana:t = waktus(t ) = fungsi lintasanv(t ) = fungsi kecepatana(t ) = fungsi percepatanContoh 12.12Sebuah partikel diamati pada interval waktu tertentu dan diperoleh data bahwa fungsi percepatan memenuhi pola dengan fungsi a(t) = –2t2 + 3t +1 . Tentukan fungsi lintasan partikel tersebut?Alternatif Penyelesaian:Dengan menggunakan konsep di atas maka: ()()vtatdt=∫ atau 2()231vtttdt=−++∫ 3223()32vttttc=−+++kemudian()()stvtdt=∫ atau 3223()32sttttcdt=−+++∫224Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK43223132()432sttttctd−=++++432111()622sttttctd=−++++Uji Kompetensi 12.21. Selesaikanlah!a. Jika y = x8, carilah dydx kemudian tentukan 7xdx∫ dan tentukan 72xdx∫ b. Jika 12yx=, carilah dydx kemudian tentukan nilai 12xdx−∫ dan tentukan 122xdx∫ c. Jika y = 4242xx−, carilah nilai dydx kemudian tentukan ()3164xxdx−∫ d. Jika y = ()431x+, carilah nilai dydx kemudian tentukan ()331xdx+∫ e. Jika 14yx=−, carilah nilai dydx kemudian tentukan 114dxx−∫ 2. Selesaikan integral berikut!a. 3xdx∫ d. 5xdx−∫ g. 5920xdx∫b. 33xdx∫ e. 10xdx∫ h. 42dxx−∫ c. 45xdx∫ f. 2728xdx∫ 225Matematika3. Tentukan nilai daria. 23xdxx+∫ b. 212xxx+−∫dxc. 31453xxdxx+−∫ 4. Buktikan!a. []()()()()fxgxdxfxdxgxdx+=+∫∫∫ b. []()()()()fxgxdxfxdxgxdx−=−∫∫∫Petunjuk: anggap F(x) merupakan antiturunan dari f(x) dan G(x) merupakan antiturunan dari g(x). selanjutnya carilah ()()()dFxGxdx+ atau ()()()dFxGxdx− 5. Tentukan nilai daria. 32xdxx+∫ b. 22410xxdxxx−+∫ c. ()31xdx+∫ 6. Selesaikanlah integral berikut! a. xxdx−()∫1 d. xxdx933−∫ b. 21xxdx−∫ e. xxdx223−∫ c. 3312xxdx−∫ f. 232xxdx−∫226Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK7. Tentukan nilai y jika a. dydx=10 d. dydxxx=+4332 b. dydx=110 e. dydxxxx=+−2225 c. dydxx=−242 f. dydxxx=+228. Carilah nilai f(x) dan f(1) = 1 jikaa. '()21fxx=− b. 32'()fxxx=+ 9. Selesaikanlah persamaan-persamaan diferensial berikut:a. 2341dyxxdx=+−, y = 5 di x = 2b. ()421dyxdx=+, y = 6 di x = 0c. ()2222dyyxdx=−+, y = 1 di x = 010. Tentukan persamaan fungsi implisit F(x, y) = 0 yang melalui titik (2, – 1) dan gradien garis singgung di setiap titik (x, y), pada grafiknya ditentukan persamaan ,04xyyy=≠.11. Tentukan persamaan fungsi f, jika fungsi y = f(x) terdefinisi untuk x > 0 yang melalui titik (4, 0) dan gradien garis singgungnya di setiap titik ditentukan oleh persamaan 1()fxxx=+.12. Tentukan persamaan fungsi f jika grafik fungsi y = f(x) melalui titik (1, 2) dan gradien garis singgung di setiap titiknya ditentukan oleh persamaan 4'116,0yxx−=−≠.227Matematika13. Sebuah objek berjalan sepanjang suatu garis koordinat menurut percepatan a (dalam centimeter per detik) dengan kecepatan awal v0 (dalam centimeter per detik) dan jarak s0 (dalam centimeter). Tentukanlah kecepatan v beserta jarak berarah s setelah 2 detik.a. a = t, v0 = 2, s0 = 0b. a = ()31t−+, v0 = 4, s0 = 6c. a = 321t+, v0 = 0, s0 = 10d. a = ()31t−+, v0 = 4, s0 = 0ProjekKumpulkanlah masalah tentang penerapan integral tak tentu dari fungsi aljabar dalam berbagai bidang maupun masalah nyata yang ada di sekitarmu. Ujilah sifat-sifat dan rumus dasar tentang integral tak tentu di dalam pemecahan masalah tersebut, kemudian buatlah laporan hasil karyamu untuk disajikan di depan kelas.D. PENUTUPBeberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi Integral, disajikan sebagai berikut:1. Integral merupakan antiturunan, sehingga integral saling invers dengan turunan.2. Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F ‘(x) = f(x) dapat dikatakan bahwa a. Turunan dari F(x) adalah f(x) dan b. Antiturunan dari f(x) adalah F(x)3. Jika F(x) adalah sebarang antiturunan dari f(x) dan C adalah sebarang konstanta, maka F(x) + C juga antiturunan dari f(x).4. Jika F ‘(x) = f(x) maka fxdxFxC()()=+∫228Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDAFTAR PUSTAKAAnton. Howard, Rorres. Chris. (2005). Elementary Linear Algebra with Applications. John Wiley & Sons, IncBall, Deborah Loewenberg. (2003). Mathematical Proficiency for All Students (Toward a Strategic Research and Development Program in Mathematics Education). United States of America: RAND.Checkley , Kathy (2006). The Essentials of Mathematics, Grades 7 -12. United States of America: The Association for Supervision and Curriculum Development (ASCD).Chung, Kai Lai. (2001). A Course in Probability Theory, USA: Academic Press.Committee on science and mathematics teacher preparation, center for education national research council (2001). Educating Teachers of science, mathematics, and technology (new practice for new millennium. United States of America: the national academy of sciences.Douglas. M, Gauntlett. J, Gross. M. (2004). Strings and Geometry. United States of America: Clay Mathematics Institute. Hefferon, Jim (2006). Linear Algebra. United States of America: Saint Michael’s College Colchester.Howard, dkk. (2008). California Mathematics. Consepts, Skills, and Problem Solving 7. Columbus-USA, The McGraw-Hill Companies, Inc.Johnstone. P.T. (2002). Notes on Logic and Set Theory. New York: University of Cambridge.Magurn A, Bruce. (2002). Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. United Kingdom: United Kingdom at the University Press, Cambridge. 229MatematikaSlavin, Robert, E. (1994). Educational psychology, theories and practice. Fourth Edition. Masschusetts: Allyn and Bacon Publishers.Sinaga, Bornok. (2007). Pengembangan Model Pembelajaran Matematika Berdasarkan Masalah Berbasis Budaya Batak. Surabaya: Program Pascasarjana UNESA.Tan, Oon Seng. (1995). Mathematics. A Problem Solving Approach. Singapore: Federal Publication (S) Pte Lsd.Urban. P, Owen. J, Martin. D, Haese. R, Haese. S. Bruce. M. (2005). Mathematics For Yhe International Student (International Baccalaureate Mathematics HL Course). Australia: Haese & Harris Publication.Van de Walle, John A. (1990). Elementary school mathematics: teaching developmentally. New York: Longman.Van de Walle. Jhon, dkk. (2010). Elementary and Middle School Mathematics (teaching developmentally). United States of America: Allyn & Bacon.230Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKCatatan:.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Next >