< Previous213MatematikaDari hasil pengamatanmu pada Tabel 12.2, dapatkah kamu tentukan syarat n pada y = axn agar pola integrasi tersebut berlaku secara umum? Apa yang kamu peroleh pada tiga baris terakhir pada Tabel 12.2? Tariklah sebuah kesimpulan dari hasil pengamatanmu.Dengan adanya aturan tersebut, proses penyelesaian soal pada Contoh 12.2 dapat lebih sederhana. Kamu amati kembali proses penyelesaian contoh tersebut pada Contoh 12.3 berikut tanpa melihat fungsi asalnya. Contoh 12.3Tentukan nilai ∫ 4x3 + 2x2dx.Alternatif Penyelesaian:∫ 4x3 + 2x2dx = 3121423121xxc++++++ = 434243xxc++ = 4323xxc++ Jadi, dengan menggunakan aturan tersebut, kita tidak perlu mengetahui terlebih dahulu fungsi awalnya, tetapi cukup diketahui fungsi turunannya. Dengan demikian jika F′(x) = 4x3 + 2x2, maka F(x) = x4 + 23x3 + cF(x) = x4 + 23x3 + cBerdasarkan konsep yang telah kita peroleh pada subbab di atas, setiap hasil integrasi suatu fungsi menghasilkan fungsi dengan konstanta c, bukan? Konstanta c dapat ditentukan nilainya jika diketahui titik awal (initial value) yang dilalui fungsi asal tersebut. Perhatikan contoh berikut!214Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 12.4Jika fungsi 32()321Fxxxxdx=+−+∫ melalui titik 1(1,)12A− maka tentukanlah nilai F(x) Alternatif Penyelesaian:32()321Fxxxxdx=+−+∫432321()432Fxxxxxc=+−++ Jika fungsi melalui titik 1(1,)12A− artinya 1(1)12F=− sehingga diperoleh:4323211(1)111143212Fc=+−++=−2311212c+=− atau c = –2.Jadi, Fungsi tersebut adalah 432321()2432Fxxxxx=+−+− Dengan demikian, berdasarkan pengamatan pada tabel di atas, kita menarik sebuah kesimpulan akan aturan sebuah integrasi, sebagai berikut:Sifat 12.4Untuk n bilangan rasional dengan n ≠ – 1, dan a, c adalah bilangan real maka berlaku aturan:a. ∫+11=++1nnxdxxcn b. 11nnaaxdxxcn+=++∫ 215MatematikaContoh 12.5Hitunglah integral berikut!a. 34xdx∫ c. 3xdx∫ b. 21dxx∫ d. 31dxx∫ Alternatif Penyelesaiana. 34xdx∫ = 31431xc+++ = x4 + c b. 21dxx∫ = 2xdx−∫ = 21121xc−++−+ = 1xc−−+ = 1cx−+ c. 3xdx∫ = 32xdx∫ = 3121312x++ = 52152x = 225xxc+ 216Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKd. 31dxx∫ = 32xdx−∫ = 3121312x−+−+ = 12112x−− = 2cx−+ Sifat 12.5Jika f(x) dan g(x) merupakan dua fungsi yang dapat diintegralkan dan c, k bilangan real, maka:1. ∫dx=x+c 4. ∫∫kf(x)dx=kf(x)dx 2. ∫kdx=kx+c 5. []∫∫∫f(x)+g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx 3. ∫11n+nxxdx=+cn+ 6. []∫∫∫f(x)-g(x)dx=f(x)dx-g(x)dx Contoh 12.6Tentukanlah hasil dari a. 432xxdx∫ b. ()21xdx+∫ c. 32xxdxx−∫217MatematikaAlternatif Penyelesaian:a. 432xxdx∫ = 3422.xxdx∫ = 3422.xxdx∫ = 3422xdx+∫ = 1122xdx∫ = 1112121112xc+++ = 13212132xc+ = 132413xc+ b. ()21xdx+∫ = 221xxdx++∫ = 2111122111xxxc+++++++ = 3213xxxc+++ c. 32xxdxx−∫ = 32xxdxxx−∫ = 11322.2.xxxxdx−−−∫ = 51222xxdx−∫ 218Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK = 51112212511122xxc++−+++ = 7322127322xxc−+ = 73222473xxc−+ = 32473xxxxc−+ Contoh 12.7Diketahui biaya marginal (MC) dalam memproduksi suatu barang (Q) setiap bulan adalah merupakan fungsi biaya terhadap banyak produksi barang dengan 263CdCQMdQ+== . Tentukan fungsi biaya total C dalam satu bulan!dimana:Q = banyak produksi (Quantity)C = Biaya produksi total (Total Cost)MC = Biaya marginal (Marginal Cost)Alternatif Penyelesaian:C(Q) = 263QdQ+∫ = ()233QdQ+∫ = 233QdQ+∫ 219Matematika = 221332QQc++ = 2123QQc++ Contoh 12.8Tentukan fungsi y = F(x) dari persamaan diferensial 22xdyyxdx=− dengan y = 1 di x = 1 Alternatif Penyelesaian:Langkah 1. Ubah bentuk persamaan diferensial tersebut menjadi:22xdyyxdx=− ⇔ 22dyxdxyx=− ⇔ 322ydyxdx−−= (ingat sifat eksponen)Langkah 2. Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh: ⇔ 322ydyxdx−−=∫∫ ⇔ 312121132112yxc−+−+=+−+−+ ⇔ 1122yxc−−−=−+ ⇔ 12cyx−−=+ Langkah 3. Dengan mensubstitusi titik awal ke 12cyx−−=+Karena y = 1 di x = 1 maka 1211c−−=+ atau c = 1. Jadi, fungsi tersebut adalah 121yx−−=+ atau 2xyx=−. 220Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Sifat 12.6Misalkan 12nf(x),f(x),...,f(x) adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Integral tak tentu hasil penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan integral tak tentu dari masing-masing fungsi, yaitu:()()()()()∫∫∫1n1nfx+...+fxdx=fxdx+...+fxdxContoh 12.9Tentukan nilai dari ()62321xxdx−+∫ Alternatif Penyelesaian:()62321xxdx−+∫ = 623321xdxxdxdx−+∫∫∫ = 733273xxxC−++Contoh 12.10Carilah nilai f(x) jika 32'()43fxxx=−+ dan f(0) = 1Alternatif Penyelesaian:32'()43fxxx=−+ maka 32()43fxxxdx=−+∫ 32()43fxxxdx=−+∫⇒ f(x) = 4314343xxxc−++, karena f(0) = 1⇒ f(0) = 0 – 0 + 0 + c = 1, berarti c = 1 sehingga 4314()3143fxxxx=−++ 221MatematikaContoh 12.11Tentukanlah integral dari fungsi-fungsi berikut!a. F(x) = (x + 2)4b. F(x) = (2x – 3)5c. F(x) = (3x – 2)6d. 234111111()...0!1!2!3!4!!nFxxxxxxn=++++++ e. F(x) = (ax + b)nAlternatif Penyelesaian:Untuk menyelesaian contoh soal berikut, kita harus menjabarkan atau dengan menggunakan Binomial Newton. Untuk itu, ingat kembali prinsip Binomial Newton pada Bab 8. a. F(x) = (x + 2)4 = (x + 2)(x + 2)(x + 2)(x + 2) sehingga diperoleh F(x) = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16 432()8243216Fxdxxxxxdx=++++∫∫ (dengan menggunakan Sifat 12.6) 5432182432()165432Fxdxxxxxxc=+++++∫ 54321()2816165Fxdxxxxxxc=+++++∫ (Coba kerjakan kembali dengan Binomial Newton)b. Coba kerjakan dengan menjabarkan berdasarkan definisi perpangkatan dan dengan menggunakan Bonomial Newton (diserahkan kepada siswa)c. Dengan menggunakan Binomial Newton maka diperoleh: F(x) = (3x – 2)6 F(x) = 6600(3)(2)Cx−+6511(3)(2)Cx−+6422(3)(2)Cx−+6333(3)(2)Cx−+ 6244(3)(2)Cx−+ 6155(3)(2)Cx−+ 6066(3)(2)Cx− F(x) = 6(1)(729)(1)x + 5(6)(243)(2)x− + 4(15)(81)(4)x + 3(20)(27)(8)x− + 2(15)(9)(16)x + (6)(3)(32)x− + (1)(1)(64)222Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK F(x) = 65432729291648604320216057664xxxxxx−+−+−+ sehingga dengan menggunakan Sifat 12.6 65432()729291648604320216057664Fxdxxxxxxxdx=−+−+−+∫∫ 7654327292916486043202160576()64765432Fxdxxxxxxxxc=−+−+−++∫ 765432729()4869721080720288647Fxdxxxxxxxxc=−+−+−++∫ d. Dengan menggunakan Sifat 12.6. 234111111()...0!1!2!3!4!!nFxdxxxxxxdxn=++++++∫∫ 23451111111()...1.0!2.1!3.2!4.3!5.4!(1)!nFxdxxxxxxxnn+=+++++++∫ 23451111111()...1!2!3!4!5!(1)!nFxdxxxxxxxn+=+++++++∫ e. Coba kerjakan kembali dengan Binomial Newton. (diserahkan kepada siswa)Masalah-12.4Konsep antiturunan atau integral banyak berperan dalam menyelesaikan permasalahan di bidang Fisika. Pada bidang ini juga banyak diperankan oleh konsep Turunan, contohnya adalah permasalahan kecepatan dan percepatan. Dengan mengingat integral adalah balikan dari turunan, maka dapatkah kamu temukan hubungan konsep turunan dan integral dalam permasalahan kecepatan dan percepatan? Coba kamu tunjukkan peran integrasi pada hubungan besaran tersebut? Alternatif Penyelesaian:Kita ingat kembali konsep yang telah diuraikan pada pelajaran Turunan pada bab sebelumnya.Next >