< Previous ixc. Buatlah rencana belajar untuk mempelajari buku ini dan konsultasikan rencana kalian tersebut dengan gurumu. d. Lakukan kegiatan belajar untuk mendapatkan kompetensi sesuai dengan rencana kegiatan belajar yang telah kalian susun. e. Setiap mempelajari satu subkompetensi, harus di mulai dari menguasai pengetahuan pendukung (uraian materi), membaca rangkumannya dan mengerjakan soal latihan baik melalui bimbingan guru ataupun tugas di rumah. f. Dalam mengerjakan soal-soal latihan kalian jangan melihat kunci jawaban terlebih dahulu, sebelum kalian menyelesaikan soal-soal tersebut. g. Setiap menyelesaikan satu standar kompetensi, selesaikan uji kemampuan untuk menghadapi ujian yang diberikan oleh guru. 2. Peranan Guru a. Membantu peserta didik dalam merencanakan proses belajar. b. Membimbing peserta didik dalam menyelesaikan tugas-tugas/latihan yang dijelaskan dalam tahap belajar. c. Membantu peserta didik dalam memahami konsep dan menjawab pertanyaan mengenai proses belajar peserta didik. d. Membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar. e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan. f. Melaksanakan penilaian. g. Menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya. h. Mencatat pencapaian kemajuan peserta didik dengan memberikan evaluasi. Pemberian evaluasi kepada peserta didik diharapkan diambil dari soal-soal Uji Kemampuan yang tersedia. D. Pengukuran Kemampuan Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi dapat digunakan rumus berikut: 1. Soal pilihan ganda Tingkat Penguasaan = soaljumlahbenaryangjawabanjumlah X 100 % 2. soal essay Tingkat pengusaan = %100xmaksimumskordiperolehyangskor Arti tingkat penguasaan yang kalian capai : 90% - 100% = baik sekali 76% - 89% = baik x 60% - 75% = sedang < 60% = kurang Jika soal terdiri dari pilihan ganda dan essay, tingkat pengusaan total adalah jumlah tingkat pengusaan pada soal pilihan ganda dan essay Jika anda mencapai tingkat penguasaan 60% ke atas, anda dapat meneruskan materi yang membahas kompetensi dasar berikutnya, tetapi sangat disarankan agar pengusaan yang belum tuntas juga tetap dipelajari lagi agar seluruh kompetensi dasar dapat terkuasai secara baik. Jika tingkat penguasaan kalian di bawah 60%, kalian harus mengulangi materi tersebut terutama yang belum dikuasai. Sumber: Art & Gallery SISTEMBILANGAN RIIL1 2 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan AkuntansiStandar kompetensi sistem bilangan riil terdiri atas empat kompetensi dasar. Dalam penyajian pada buku ini, setiap kompetensi dasar memuat tujuan, uraian materi, dan latihan. Rangkuman diletakkan pada setiap akhir bahasan suatu kompetensi dasar. Kompetensi dasar pada bab ini adalah operasi pada bilangan riil, operasi pada bilangan berpangkat, operasi pada bilangan irasional, dan konsep logaritma. Standar kompetensi ini digunakan sebagai kemampuan dasar untuk mempelajari kompetensi-kompetensi yang lain. Sebelum mempelajari kompetensi ini ingatlah kembali tentang penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, penjumlahan dan pengurangan pecahan, desimal dan persen. Perhatikan gambar 1-1 di bawah ini: Perhitungan bunga di bank menggunakan operasi bilangan berpangkat, dan masih banyak lagi kegunaan dari sistem bilangan riil. Pada setiap akhir kompetensi dasar, tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soal-soal yang mudah hingga soal-soal yang sulit. Latihan soal ini digunakan untuk mengukur kemampuan kalian terhadap kompetensi dasar ini. Artinya setelah mempelajari kompetensi dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilitator, ukurlah sendiri kemampuan kalian dengan mengerjakan soal-soal latihan tersebut. Untuk melancarkan kemampuan kalian agar lebih baik dalam mengerjakan soal, disarankan semua soal dalam latihan ini dapat dikerjakan di sekolah dengan bimbingan guru maupun di rumah. Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap peserta didik, di setiap akhir kompetensi dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah kalian layak atau belum layak mempelajari standar kompetensi berikutnya. Kalian dinyatakan layak jika kalian dapat mengerjakan soal 60% atau lebih soal-soal evaluasi yang akan diberikan guru. Gambar 1-1 di samping merupakan alat-alat elektronik yang dijual di pasar swalayan. Kegiatan jual beli di pasar tersebutmembutuhkan pengetahuan tentang persen, rugi atau laba, diskon dan perhitungan bilangan riil lainnya. Oleh karena itu pengetahuan tentang operasi bilangan riil sangat dibutuhkan pada kehidupan sehari-hari di rumah, di tempat kerja di pasar maupun di tempat lainnya. Pernahkah kalian bayangkan bagaimana menghitung bunga maupun jumlah simpanan di suatu bank? Gambar 1-1 Alat-alat elektronikdi pasar swalayan 3BAB I Sistem Bilangan Real A. Operasi pada Bilangan Riil Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat: ¾membuat skema bilangan riil, ¾mengoperasikan dua atau lebih bilangan bulat, ¾mengoperasikan dua atau lebih bilangan pecahan, ¾mengonversikan pecahan ke persen atau sebaliknya, ¾mengonversikan pecahan ke desimal atau sebaliknya, ¾mengonversikan persen ke desimal atau sebaliknya, ¾mengoperasikan bilangan pecahan dengan bilangan bulat, ¾menyelesaikan soal yang mengandung perbandingan senilai, ¾menyelesaikan soal yang mengandung perbandingan berbalik nilai, ¾menyatakan ukuran yang sebenarnya jika ukuran pada gambar dan skalanya diketahui, atau sebaliknya, dan ¾menyatakan perbandingan ke dalam bentuk persen. 1. Skema Bilangan Sebelum membahas operasi pada bilangan riil, perhatikan peta konsep bilangan di bawah ini. Gambar 1-2 Peta konsep bilangan 4 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan AkuntansiKeterangan: •Contoh bilangan imajiner 1− = biasanya dilambangkan dengan i , 2−, dan seterusnya. •Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dibentuk menjadi ba dengan b 0 •Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dibentuk menjadi ba atau bilangan yang banyaknya desimal tidak terhingga. •Bilangan cacah adalah bilangan positif ditambah nol. •Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor. •Bilangan komposit adalah bilangan yang memiliki faktor lebih dari dua. Contoh 1 Beberapa bilangan irasional, yaitu 2 = 1,42… ; log 3 = 0, 477… ; π = 3,14…. dll Ada bilangan yang memiliki banyaknya desimal tak terhingga, namun merupakan bilangan rasional, yaitu bilangan desimal berulang. Desimal berulang dinotasikan dengan tanda garis (bar) di atas angka yang berulang. Contoh 2 Beberapa bilangan desimal berulang, yaitu: 0,666. . . . = 6,0 2,363636. . . . = 36,2 5,125252525. . . . = 251,5 Untuk mengubah desimal berulang menjadi pecahan, gunakanlah cara berikut: Berulang 1 penyebutnya 9, berulang 2 penyebutnya 99 dan seterusnya. Contoh 3 Ubahlah bilangan desimal berulang di bawah ini menjadi pecahan. a.0,333333. . . . d. 0,022222. . . . b.0,777777. . . . e. 2,111111. . . . c.0,181818. . . . f. 0,549549. . . . Jawab: a. 0,333333. . . . = 93=31 d. 0,022222. . . . = 451902= b. 0,777777. . . . = 97 e. 2,111111. . . . = 291 c. 0,181818. . . . =1129918= f. 0,549549. . . . = 11161999549= 2. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Sifat-sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan yaitu: •Komutatif : a + b = b + a Misalkan :10 + (-3) = -3 +10 7 = 7 5BAB I Sistem Bilangan Real •Asosiatif ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Misalkan: (2 + 7) + 5 = 2 + (7 + 5) 9 + 5 = 2 + 12 14 = 14 •Memiliki elemen netral penjumlahan, yaitu 0 •Memiliki invers penjumlahan. Invers penjumlahan dari a adalah -a Contoh 4 Invers penjumlahan dari 2 adalah -2, invers penjumlahan dari -5 adalah 5 Untuk penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan, berlaku rumus berikut: cbacbca+=+bdbcaddcba+=+ cbacbca−=−bdbcaddcba−=− Contoh 5 a.858328382=+=+ c. 359351455772515271−=−=××−×=− b.1519159105333525332=+=××+×=+ d. 3527355077710511731512=−=−=− 3. Operasi Perkalian dan Pembagian Pada perkalian dan pembagian bilangan riil berlaku rumus berikut: a x b = ab a : b = ba a x (- b) = - (ab) a : (-b) = - (ba) (-a) x b = - (ab) (-a) : b = - (ba) (-a) x (-b) = ab (-a) : (-b) = ba Contoh 6 a.2 x 5 = 10 c. 60 : -5 = - 12 b.-4 x -3 = 12 d. -12 : -6 = 2 Sifat-sifat pada operasi perkalian dan pembagian adalah sebagai berikut. •Komutatif dan Asosiatif berlaku juga pada operasi perkalian, yakni. oKomutatif, a x b = b x c oAsosiatif, (a x b) x c = a x (b x c) ; a, b, c ∈ R •Memiliki unsur identitas/elemen netral, yaitu 1 •Memiliki invers perkalian 6 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan AkuntansiContoh 7 a.Invers perkalian dari 2 adalah 21. c. Invers perkalian dari -53adalah -35. b.Invers perkalian dari 32 adalah 23. d. Invers perkalian dari 231adalah 73. Untuk perkalian dan pembagian pecahan berlaku rumus berikut: bdacdcxba= bcaddc:ba= Contoh 8 Hukum asosiatif perkalian (5 x 7) x -2 = 5 x (7 x (-2)) 35 x -2 = 5 x -14 -70 = -70 Contoh 9 Perkalian dan pembagian pecahan: a.10320654235243==××=× b.8524152312532:125==×= c.72235110710511731512==×=× Untuk perkalian dengan penjumlahan atau pengurangan berlaku sifat distributif, yaitu: A x (B + C) = (A x B) + (A x C A x (B – C) = (A x B) – (A x C) Contoh 10 a.2 x ( 5 + 8) = (2 x 5) + ( 2 x 8) = 10 + 16 = 26 b.6 x ( 10 – 4)= (6 x 10) – (6 x 4) = 60 – 24 = 36 Catatan Jika menyelesaikan operasi bilangan riil yang terdiri atas mutlioperasi, maka harus diselesaikan berdasarkan hierarki operasi bilangan riil, yaitu selesaikan dahulu operasi dalam kurung, pangkat, kali atau bagi kemudian jumlah atau kurang. Contoh 11. a.2 + 3 x 5 = 2 + 15 = 17 bukan 5 x 5 = 25 b.10 – 4 : 2 x 5 = 10 – 2 x 5 = 0 bukan 6 : 10 atau 10 – 4 : 10 = 10 : 0,4 4. Mengonversikan Pecahan ke Persen atau Sebaliknya %100xbaba= p % = 100p 7BAB I Sistem Bilangan Real Contoh 12 Konversikan ke bentuk persen: a. 21 b. 401 c. 87 Jawab: a. 21 = 21x 100% = 50 % b. 401= 401x 100% = 2,5 % c. 87= 87x 100% = 87,5 % Contoh 13 Konversikan ke bentuk pecahan: a. 1,5 % b. 25% Jawab: a. 1,5 % =2003000.1151005,1== b. 25 % =4110025= 5. Mengkonversikan Pecahan ke Desimal atau sebaliknya badihitung dengan a dibagi b Contoh 14 Konversikan ke bentuk desimal a. 81 b. 52 c. 401 Jawab: a. 81 b. dengan cara yang sama 52= 0,4 −−−=0404016208125,0108 c. dengan cara yang sama 401= 0,025 8 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan AkuntansiContoh 15 Konversikan ke bentuk pecahan: a. 0,45 b. 0,0025 c. 0,272727…. Jawab: a. 0,45 = 20910045= b. 0,0025 = 4001000.1025= c. 0,272727… = 1139927= 6. Contoh-Contoh Soal Aplikasi Contoh 16 Dita membeli kalkulator seharga Rp250.000,00, kemudian ia menjualnya dengan harga Rp300.000,00. Berapa persen keuntungan yang diperoleh Dita? Jawab: Untung = Harga jual – Harga beli = Rp300.000,00 – Rp250.000,00 = Rp50.000,00 Persentase keuntungan =%100xBeliaarghuntung =%100x000.250000.50 = 20% Contoh 17 Tentukan nilainya pada soal-soal berikut: a. 12% dari Rp400.000,00 b.72 dari Rp140.000,00 c. 0,7777… dari Rp81.000.000,00 Jawab: a. 12% dari Rp400.000,00 = 10012 x 400.000 = 100000.800.4 = Rp48.000,00 b. 72dari Rp140.000,00 = 72x 140.000 = Rp40.000,00 c. 0,7777… dari Rp81.000.000,00 = 97x 81.000.000 = Rp63.000.000,00 Contoh 18 Harga barang setelah diskon 25% adalah Rp337.500,00. Tentukan harga barang sebelum diskon. Jawab: Harga barang setelah diskon 25% menjadi 75% sehingga diperoleh skema sebagai berikut: Next >