< PreviousDimensi TigaKompetensi Dasar Pengalaman Belajar3.1 Mendeskripsikan jarak dalam ruang (antartitik, titik ke garis, dan titik ke bidang).4.1 Menentukan jarak dalam ruang (antartitik, titik ke garis,dan titik ke bidang).Melalui pembelajaran dimensi tiga, siswa mem-peroleh pengalaman belajar:1. Mengamati dan mendeskripsikan masalah jarak antartitik, titik ke garis, dan titik ke bidang pada ruang.2. Mengamati dan menerapkan konsep jarak antartitik, titik ke garis, dan titik ke bidang untuk menyelesaikan masalah pada dimensi tiga.3. Mengonstruksi rumus jarak dua titik dan jarak titik ke garis. Istilah PentingBAB1A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar2Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK Euclid merupakan seorang matematikawan yang hidup sekitar tahun 300 SM di Alexandria dan sering disebut sebagai ”Bapak Geometri”. Dialah yang mengungkapkan bahwa:1. titik adalah 0 dimensi,2. garis adalah 1 dimensi yaitu garis itu sendiri,3. persegi dan bangun datar lainnya adalah 2 dimensi yaitu panjang dan lebar,4. bangun ruang adalah 3 dimensi yaitu panjang lebar tinggi,5. tidak ada bangun geometri 4 dimensi. Dalam bukunya ”The Elements”, ia menyatakan 5 postulat yang menjadi landasan dari semua teorema yang ditemukannya. Postulat dan teorema yang beliau ungkapkan merupakan landasan teori tentang kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang yang hingga kini masih digunakan dengan hampir tanpa perubahan yang prinsip. Euclid menulis 13 jilid buku tentang geometri. Dalam buku-bukunya ia menyatakan aksioma (pernyataan pernyataan sederhana) dan membangun dalil tentang geometri berdasarkan aksioma-aksioma tersebut. Contoh dari aksioma Euclid adalah, ”Ada satu dan hanya satu garis lurus, di mana garis lurus tersebut melewati dua titik”. Buku-buku karangannya menjadi hasil karya penting dan menjadi acuan dalam pembelajaran Ilmu Geometri. Bagi Euclid, matematika itu penting sebagai bahan studi dan bukan sekedar alat untuk mencari nafkah. Ketika ia memberi kuliah geometri pada seorang raja, Raja tersebut bertanya, ”Tidak adakah cara yang lebih mudah bagi saya untuk mengerti dalam mempelajari geometri?”. Euclid menjawab, ”Bagi Raja tak ada jalan yang mudah untuk mengerti geometri. Setiap orang harus berpikir ke depan tentang dirinya apabila ia sedang belajar”.Sumber: Hosch, W.L. 2011. The Britannica Guide to Geometry. New York: Britannica Educational PublishingBeberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik, adalah:1. Ilmu bukanlah sekedar alat untuk mencari nafkah dalam memenuhi kebutuhan hidup, tetapi untuk mencari nafkah seseorang harus mempunyai ilmu.2. Jalan pintas bukanlah suatu hal yang baik untuk seseorang yang memang benar-benar ingin belajar.Sumber: The Britannica Guide to GeometryMatematika3 B. Diagram Alur KonsepPenerapan dalam Kehidupan Sehari-haridigunakanRumusPembantuPrasyaratuntukPrasyaratuntukmempelajariDIMENSI TIGAJarak Titik ke TitikJarak Titik ke GarisJarak Titik ke BidangTeorema Pythagoras4Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKMemanfaatkan Atap Rumah Sebagai Ruangan Saat ini banyak orang yang me-manfaatkan atap rumah sebagai ruang berkumpul atau ruang tidur. Pemanfaatan atap sebagai ruangan dilakukan mengin-gat keterbatasan lahan yang dimiliki oleh pemilik rumah. Untuk menghemat biaya pembuatan rumah, salah satu aspek yang harus diperhatikan adalah biaya pembuat-an kuda-kuda rumah. Penentuan Rincian Anggaran (RAB) pembuatan kuda-kuda dapat ditentukan dengan matematika. Untuk mendapatkan rincian biaya terse-but, salah satu konsep yang dapat diguna-kan adalah dimensi tiga. Konsep yang dimaksud jarak titik dengan titik atau titik dengan garis. Perhatikan Gambar 1.2 tentang kuda-kuda rumah. Dari gambar tersebut dapat ditentukan biaya pembuatan kuda-kuda. Biaya ini tergantung dari panjang keseluruhan kayu, jenis kayu dan dimensi kayu (panjang, lebar, dan tinggi). Kuda-kuda suatu rumahSumber: http://www.megatrussglobal.com/2014/04/analisis-perbandingan-harga-konstruksi.html C. Materi Pembelajaran Ruangan AtapSumber: https://septanabp.wordpress.com/tag/attic/ Matematika5 Perhatikan bentuk-bentuk bangun ruang yang sering Anda jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya kamar tidur yang berbentuk balok, kotak makanan yang berbentuk kubus, kaleng susu yang berbentuk tabung dan lain sebagainya. Pernahkah Anda berpikir bahwa dalam bangun-bangun tersebut terdapat beberapa istilah yang akan dibahas pada bab ini yaitu jarak antartitik, jarak titik ke garis, dan jarak titik ke bidang. Agar Anda memahami istilah tersebut, lakukan beberapa kegiatan berikut ini. Beberapa wadah berbentuk balok.Subbab 1.1 Jarak Antar titikPerhatikan bangun ruang berikut ini. PRQEHGCDABFI(a)(b) Bangun 1.1.a merupakan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 3 cm. EC, EG, dan AC, masing-masing merupakan jarak antara titik E dengan C, titik E dengan G, serta titik A dengan titik C. Pada Bangun 1.1.b jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ. Untuk memahami konsep jarak dua titik perhatikan aktivitas berikut. 6Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKMasalah 1.1Bangun 1.2 berikut merepresentasikan kota-kota yang terhubung dengan jalan. Titik merepresentasikan kota dan ruas garis merepresentasikan jalan yang menghubungkan kota. DC23 km20 km16 km18 km17 km27 kmBA Gambar Kota dan jalan yang menghubungkannyaNasyitha berencana menuju kota C berangkat dari kota A. Tentukan rute perjalanan yang mungkin ditempuh oleh Nasyitha. Tulis kemungkinan rute yang ditempuh Nasyitha pada Tabel 1.1. Kemudian tentukan panjang rute-rute tersebut. Rute manakah yang terpendek? Menurut pendapat Anda berapa jarak antara kota A dan C? Beri alasan untuk jawaban Anda. Kemungkinan Rute yang ditempuh NasyithaNo !"# $ %1.2.3.4.5.Matematika7Dari masalah di atas, jarak antara Kota A dan C adalah 27 km.Masalah 1.2Perhatikan masalah berikut ini. ABG2G1 & Jarak Dua TitikJika G1 dan G2 adalah bangun-bangun geometri. Maka G1 dan G2 dapat dipikirkan sebagai himpunan titik-titik. Dari G1 dan G2 dapat dilakukan pemasangan satu-satu antara titik-titik pada G1 dan G2. Jika AB adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis AB disebut jarak antara bangun G1 dan G2. Dari kegiatan mengamati di atas, tulislah istilah penting dari hasil pengamatan Anda. Dari kegiatan mengamati di atas, apakah terdapat hal-hal yang ingin Anda tanyakan? Salah satu contoh pertanyaan yang mungkin Anda tanyakan adalah ”Apa pengertian jarak antara dua titik?”Tuliskan pertanyaan-pertanyaan tersebut ke tempat berikut ini.8Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK Untuk lebih memahami jarak antar titik, isilah tabel berikut ini. Anda dapat menggunakan informasi dari sumber lain untuk menyelesaikan pertanyaan pada Tabel 1.2. Jarak antar titik dalam bangun ruang' " ()1.ADBCEFHGa. Manakah yang merupakan jarak antara titik F dan G?b. Manakah yang merupakan jarak antara titik B dan D?2.ORQPMLKNa. Manakah yang merupakan jarak antara titik P dan N?b. Manakah yang merupakan jarak antara titik Q dan L?3.EABCGHDFa. Manakah yang merupakan jarak antara titik E dan F?b. Manakah yang merupakan jarak antara titik B dan D?4.ABCDTa. Manakah yang merupakan jarak antara titik T dan D?b. Manakah yang merupakan jarak antara titik B dan D?Matematika9Masalah 1.3Dalam suatu kamar berukuran 4m × 4m × 4m dipasang lampu tepat di-tengah-tengah atap. Kamar tersebut digambarkan sebagai kubus ABCD.EFGH. Berapa jarak lampu ke salah satu sudut lantai kamar?Alternatif Penyelesaian Misal kamar tersebut digambarkan sebagai kubus ABCD.EFGH dan lampu dinyatakan dengan titik T seperti berikut.ADBCEFHTG Kubus ABCD.EFGH sebagai representasi kamar Jarak lampu ke salah satu sudut lantai kamar adalah jarak titik T ke titik A atau titik B atau titik C atau titik D. Titik T merupakan titik tengah bidang EFGH, sehingga TA = TB = TC = TD. Akan dicari jarak titik T ke titik A. Jarak titik T ke titik A salah satunya dapat dicari dari segitiga AET. Karena AE tegak lurus dengan ET, maka segitiga AET merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di E. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh 222ATAEET.* +# ET.Oleh karena T merupakan titik tengah, maka ET = 12EG. Karena EG merupakan diagonal bidang, panjang ET = 12.4222.222224222426ATAEETAT EAT Jadi jarak lampu ke salah satu sudut lantai adalah 26 m.10Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKMengonstruksi Rumus Jarak Antar Titik Radar (dalam bahasa inggris merupakan singkatan dari Radio Detection and Ranging) adalah suatu sistem gelombang elektromagnetik yang berguna untuk mendeteksi, mengukur jarak dan membuat peta benda-benda seperti pesawat terbang, kapal laut, berbagai kendaraan bermotor dan informasi cuaca. Radar dapat mendeteksi posisi suatu benda melalaui layar seperti berikut. , Tampilan Layar RadarSumber: http://www.dreamstime.com/royalty-free-stock-image-radar-screen-image28624986 Titik dalam radar tersebut merepresentasikan objek yang dideteksi radar. Titik pusat radar adalah lokasi sinyal radar dipancarkan. Untuk menentukan jarak suatu benda, ternyata dapat digunakan rumus matematika. Bagaimana cara menentukan jarak tersebut? Misalnya pusat radar dinotasikan sebagai titik A 11(,)xy dan objek yang terdeteksi dinotasikan sebagai titik B 22(,)xy.B 22(,)xyA 11(,)xy - Dua titik A dan BNext >