< PreviousBAB II ~ Matriks79Δz = 121121341313313− = 9 + 8 3 + 3 12 6 = 1Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah:x = xΔΔ = 7, y = yΔΔ = 4, dan z = xΔΔ = 1WContoh 2.9.6Seorang anak ingin membeli buah jeruk, apel, dan mangga. Jika diamembeli 2 jeruk, 3 apel, dan 1 mangga, maka dia harus membayarRp8.500,00. Jika dia membeli 1 jeruk, 4 apel, dan 2 mangga, maka dia harusmembayar Rp11.000,00, sedangkan jika dia membeli 3 jeruk, 2 apel, dan 2mangga, maka dia harus membayar Rp10.000,00.a.Buatlah model matematika untuk persoalan di atas dalam bentuksistem persamaan linear.b.Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaanlinear yang telah diperoleh.c.Berapakah harga 1 buah jeruk, 1 buah apel, dan 1 buah mangga?Penyelesaian:a.Misalkan:harga satu buah jeruk adalah x rupiah,harga satu buah apel adalah y rupiah, danharga satu buah mangga adalah z rupiah.Dari informasi pada soal di atas, diperoleh model matematika yangberupa sistem persamaan linear dengan tiga variabel dan tigapersamaan, sebagai berikut.2x + 3y + z = 8.500 x + 4y + 2z = 11.0003x + 2y + 2z = 10.000b.Dengan menggunakan cara determinan, sistem persamaan linear inidapat diselesaikan sebagai berikut.Dari sistem persamaan linear yang diperoleh, diketahui:Δ = 231231421432232 = 16 +18 + 2 12 8 6 = 10 Δx = 8.500318.500311.0004211.000410.0002210.0002 = 68.000 + 60.000 + 22.000 40.000 34.000 66.000 = 10.000Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa80Δy = 28.500128.500111.0002111.000310.0002310.000 = 44.000 + 51.000 + 10.000 33.000 40.000 17.000 = 15.000Δz = 238.500231411.000143210.00032 = 80.000 + 99.000 + 17.000 102.000 44.000 30.000 = 20.000Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas, adalah:x = xΔΔ = 1.000, y = yΔΔ = 1.500, dan z = xΔΔ = 2.000c.Jadi,harga satu buah jeruk adalah Rp1.000,00,harga satu buah apel adalah Rp1.500,00, danharga satu buah mangga adalah Rp2.000,00.W1.Dengan menggunakan cara determinan, tentukan penyelesaian sistem persamaan linearberikut.a.2331xyxy+=⎧⎨+=⎩d.5318239xyxy+=⎧⎨−−=⎩b.24132xyxy−=−⎧⎨+=−⎩e.32140270xyxy++=⎧⎨−−=⎩c.262610xyxy+=⎧⎨+=⎩f.451203580xyxy+−=⎧⎨++=⎩2.Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaan linear berikut.a.23132xyyx−=⎧⎪⎨+=⎪⎩b.843325yxyx⎧−=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩Latihan 2.9BAB II ~ Matriks81c.60353045yxyx⎧−−=⎪⎪⎨⎪+−=⎪⎩e.212035131025yxyx+−⎧++=⎪⎪⎨−+⎪++=⎪⎩d.10292023yxyx⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩f.211034221022yxyx−+⎧++=⎪⎪⎨−−⎪+−=⎪⎩3.Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut (jika mungkin) danberikan penjelasan jika tidak mungkin.a.23369xyxy+=⎧⎨+=⎩b.21420xyxy−=−⎧⎨−=⎩.4.Jumlah dua buah bilangan adalah 37, sedangkan selisih dua buah bilangan tersebutadalah 13.a.Buatlah model matematika untuk persoalan ini dalam bentuk sistem persamaanlinear.b.Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaan linear yangtelah diperoleh.c.Berapakah bilangan-bilangan tersebut?5.Seorang pemborong bangunan mempekerjakan beberapa tukang batu dan beberapatukang kayu. Jika dia mempekerjakan 3 tukang batu dan 2 tukang kayu, maka dia harusmembayar Rp135.000,00 setiap hari, sedangkan jika dia mempekerjakan 4 tukang batudan 3 tukang kayu, maka dia harus membayar Rp190.000,00.a.Buatlah model matematika untuk persoalan ini dalam bentuk sistem persamaanlinear.b.Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaan linear yangtelah diperoleh.c.Berapakah upah tukang batu dan tukang kayu setiap hari?6.Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaan linear dengan tigavariabel dan tiga persamaan berikut ini.a.2363432357xyzxyzxyz−+=⎧⎪−++=⎨⎪+−=⎩c.53120233100336150xyzxyzxyz−+−=⎧⎪+−+=⎨⎪−−−=⎩b.2435524826512xyzxyzxyz−−=⎧⎪++=⎨⎪+−=⎩d.52415043280233120xyzxyzxyz−−−=⎧⎪++−=⎨⎪+−−=⎩Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa82Rangkuman7.Apakah sistem persamaan linear berikut mempunyai penyelesaian? Berikan alasannya.a.62221233318xyzxyzxyz++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩b.5222822510xyzxyzxyz++=⎧⎪++=⎨⎪+−=⎩8.Budi, Hasan, dan Alia menabung uang di sebuah bank. Jumlah tabungan ketiga anaktersebut adalah Rp1.000.000,00. Jumlah tabungan Budi dan Hasan adalah Rp500.000,00,sedangkan jumlah tabungan Hasan dan Alia adalah Rp800.000,00.a.Buatlah model matematika untuk persoalan ini dalam bentuk sistem persamaanlinear.b.Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaan linear yangtelah diperoleh.c.Berapakah masing-masing tabungan Budi, Hasan, dan Alia?1.Pengertian dan Ordo Matriksa.Pengertian matriksMatriks adalah susunan dari bilangan-bilangan yang berbentuk persegipanjang dan disusun dalam bentuk baris dan kolom. Selanjutnya matriksdinotasikan dengan huruf besar (kapital).b.Ordo matriksMatriks A dikatakan mempunyai ordo atau ukuran m × n, jika matriks A mem-punyai m baris dan n kolom. Selanjutnnya matriks dengan ordo m ×n dinotasikandengan Amxn.2.Jenis-jenis Matriksa.Berdasarkan banyaknya baris dan kolom penyusunnya1)Matriks baris, yaitu matriks yang mempunyai satu baris saja.2)Matriks kolom, yaitu matriks yang mempunyai satu kolom saja.3)Matriks persegi, yaitu matriks yang mempunyai banyak baris sama denganbanyaknya kolom.b.Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya1)Matriks nol, yaitu matriks yang semua entrinya nol.2)Matriks identitas, yaitu matriks persegi yang semua entri pada diagonalutamanya bernilai 1 dan entri yang lain bernilai nol.3)Matriks diagonal, yaitu matriks yang entri-entri di luar diagonal utamabernilai nol.BAB II ~ Matriks834)Matriks segitiga atas, yaitu matriks yang entri-entri di bawah diagonalutama bernilai nol.5)Matriks segitiga bawah, yaitu matriks yang entri-entri di atas diagonalutama bernilai nol.3.Transpose MatriksTranspose suatu matriks A adalah matriks baru yang diperoleh dengan menukarbaris dengan kolom. Selanjutnya notasi dari transpose matriks A adalah At.4.Kesamaan Dua buah MatriksMatriks A dikatakan sama dengan matriks B, jika ordo matriks A sama dengan ordomatriks B dan entri-entri yang seletak nilainya sama.5.Operasi Aljabar pada Matriksa.Penjumlahan matriksJika matriks A = (aij) dan matriks B = (bij) adalah dua buah matriks yang berordosama m×n, maka jumlah kedua matriks dinotasikan dengan A + B adalah suatumatriks baru C = (cij) juga berodo m× n dangan cij = aij + bij untuk setiap i dan j.b.Pengurangan matriksJika matriks A = (aij) dan matriks B = (bij) adalah dua buah matriks yang berordosama m×n, maka matriks A dikurangi matriks B dinotasikan dengan A B adalahsuatu matriks baru C = (cij) juga berodo m×n dengan cij = aij bij untuk setiap i danj.c.Perkalian matriksDua buah matriks dapat dikalikan, jika banyaknya kolom matriks pertamasama dengan banyaknya baris matriks kedua. Jika matriks A = (aij) berodo m ×ndan matriks B = (bij) berordo n×q, maka matriks C = AB adalah matriks berordom×q dengan:cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ... + ainbnjuntuk setiap i dan j.6.Invers MatriksMatriks A dikatakan mempunyai invers, jika terdapat matriks B sedemikian hinggaAB = I = BA. Jika A matriks berordo 2×2 dengan abAcd⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, maka invers matriks Adilambangkan dengan A-1, dengan 11dbAcaadbc−−⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠.7.Aplikasi Matriks pada Sistem Persamaan LinearSuatu sistem persamaan linear dapat diubah menjadi persamaan matriks berbentukAX = B, selanjutnya jika matriks A mempunyai invers A-1, maka penyelesaian sistempersamaan linearnya dapat dinyatakan dengan X = A-1B.Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa84Math InfoArthur Cayley merupakan salah satu ilmuwan yangterkenal pada abad 19 yang berasal dari Inggris. Ia lahirdi Richmond, Surrey, Inggris pada tanggal 16 Agustus1821. Di bidang matematika, beliau sangat terkenalkarena pengembangan teori matriksnya. Di awalperkem-bangannya matriks hanya dianggap sebagaisuatu permainan karena tidak mempunyai aplikasi.Tetapi setelah beliau meninggal, teori matriks banyakmempunyai aplikasi, salah satunya pada bidang fisikakuantum, selanjutnya teori matriks mempunyaiperkembangan yang cukup pesat dan mempunyaiaplikasi pada berbagai bidang.Gambar 2.2 Arthur CayleySumber: nl.wikipedia.orgBAB II ~ Matriks85A.Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 15, pilihlah satu jawaban yangpaling tepat! Kerjakan di buku tugas Anda!1.Banyaknya kolom dari matriks:A = 123105423724⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠adalah ... .A.tigaD.limaB.empatE.dua belasC.lima belas2.Elemen yang terletak pada baris ke-3 kolom ke-2 pada matriks A di atasadalah ... .A.4D.7B.1E.5C.63.Diketahui matriks-matriks:A = 112031101⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠ dan B = 120112⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠Jika matriks C = AB, maka matriks C tersebut adalah ... .A.152011−⎛⎞⎜⎜⎜−⎝⎠ D.201511⎛⎞⎜−⎜⎜−−⎝⎠B.151120−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠E.111520−−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠ C.−⎛⎞⎜−⎜⎜⎝⎠1511214.Diketahui matriks-matriks:F = 45xy⎛⎞⎜⎝⎠ , G = 3xzw⎛⎞⎜⎝⎠ , dan H = 512yz⎛⎞⎜⎟⎝⎠Jika 2F = G + H, maka nilai dari x, y, z, dan w masing-masing adalah ... .A.4, 4, 7, dan 4D.4, 4, 7, dan 4B.4, 4, 7, dan 4E.4, 4, 7, dan 4C.4, 4, 7, dan 4Uji KompetensiMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa865.Misalkan:A = 327654049−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ dan B = 624013775−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠Entri-entri baris ketiga dari matriks AB adalah ... .A.0, 28, dan 45D.63, 67, dan 57B.7, 11, dan 14E.67, 63, dan 57C.63, 57, dan 676.Diketahui persamaan matriks:8176324abbcdcad−+⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠⎝⎠Nilai a, b, c, dan d dari persamaan matriks di atas adalah ... .A.5, 3, 4, dan 1D.5, 3, 4, dan 1B.5, 3, 4, dan 1E.5, 3, 4, dan 1C.5, 3, 4, dan 17.Jika P = 1023⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan Q = 2456⎛⎞⎜⎟⎝⎠ , maka matriks 5P 2Q adalah ... .A.1803−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠D.1803−−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠B.1803⎛⎞⎜⎝⎠E.1803−⎛⎞⎜⎟⎝⎠C.1803−−⎛⎞⎜⎟⎝⎠8.Misalkan A dan B adalah matriks berukuran 2 × 2 dan masing-masingmempunyai invers A-1 dan B-1. Pernyataan berikut bernilai benar, kecuali ... .A.(AB)t = Bt AtD.AB = BAB.(AB)-1 = B-1A-1E.(A-1)-1 = AC.(kA)-1 = −11Ak9.Jika diketahui invers dari matriks A adalah:−⎛⎞=⎜⎝⎠12132Amaka matriks B = 4A adalah ... .A.84128⎛⎞⎜⎟⎝⎠D.84128−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠B.84128−−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠E.84128−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠C.84128−−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠BAB II ~ Matriks8710.Diketahui persamaan berikut.15221xxxxxx+−=−Nilai x yang memenuhi persamaan di atas adalah ... .A.x1 = 1 atau x2 = 3D.x1 = 1 atau x2 = 3B.x1 = 1 atau x2 = 3E.x1 = 1 atau x2 = 3C.x1 = 2 atau x2 = 311. Diketahui matriks A = 423xyz⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = 23247yzxxy++⎛⎞⎜⎟+⎝⎠. Jika 2A = Bt, makanilai x, y, dan z masing-masing adalah ... .A.2, 5, dan 8D.8, 5, dan 2B.5, 2, dan 8E.8, 2, dan 5C.5, 8, dan 212.Diketahui matriks A = 35xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = 3445−−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠. Jika A = B-1, maka nilai x dan ymasing-masing adalah ... .A.4 dan 2D.2 dan 4B.3 dan 5E.4 dan 4C.4 dan 413.Diketahui sistem persamaan linear:x + y = 82x y = 1Nilai x dan y dari sistem persamaan linear di atas adalah ... .A.5 dan 3D.5 dan 3B.3 dan 5E.3 dan 5C.3 dan 514.Diketahui persamaan garis g1: 2x y 5 = 0 dan g2: 3x y 7 = 0 . Kedua garistersebut berpotongan di titik ... .A.(2,1)D.(2,1)B.(2,1)E.(2,3)C.(2,1)15.Nilai a agar matriks A = 2213aaa+⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠ merupakan matriks singular adalah ... .A.2 atau 3D.1 atau 4B.2 atau 3E.1 atau 4C.1 atau 4{Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa88B.Untuk soal nomor 16 sampai dengan nomor 20, kerjakan dengan langkah-langkah yang tepat!16.a.Berikan contoh matriks A dan B berukuran 2 × 2 sehingga:(A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2b.Berikan syarat pada matriks A dan B sedemikian hingga berlaku:(A + B)2 = A2 + 2AB + B217.Diketahui sistem persamaan linear:2x + 3y = 33x + 5y = 4a.Nyatakan sistem persamaan linear ini dalam bentuk persamaan matriks.b.Selesaikan persamaan matriksnya dengan menggunakan invers matriks.18.Diketahui matriks A = 6233⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = 3445⎛⎞⎜⎟⎝⎠. Tentukan:a.ABc.A-1 B-1b.(AB)-1d.B-1 A-119.Wisnu dan Yuli membeli 2 jenis mainan, yaitu boneka dan bola. Wisnu membeli5 buah boneka dan 2 buah bola, sedangkan Yuli membeli 3 buah boneka dan3 buah bola. Mereka masing-masing membayar Rp360.000,00 dan Rp270.000,00.a.Susunlah sistem persamaan linear dari persoalan di atas.b.Nyatakan sistem persamaan linear yang diperoleh dalam bentuk persa-maan matriks.c.Tentukan harga dari sebuah boneka dan sebuah bola.20.Ali, Budi, dan Ani menabung di sebuah bank. Jumlah tabungan ketiga anaktersebut adalah Rp30.000,00. Jumlah tabungan Ali dan Budi dikurangi tabunganAni adalah Rp15.000,00, sedangkan jumlah tabungan Ali dan Ani adalahRp21.500,00.a.Buatlah model matematika untuk persoalan ini.b.Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaan linearyang telah diperoleh dari a.c.Berapakah besar masing-masing tabungan dari Ali, Budi, dan Ani?1.Seorang pedagang buah-buahan membeli 20 kg buah jeruk, 30 kg buah apel, 25 kgbuah mangga, dan 15 kg buah pepaya. Jika harga per kg berturut-turut Rp7.000,00,Rp10.000,00, Rp3.000,00, dan Rp1500,00, selesaikan dengan matriks untukmemperoleh jumlah uang yang harus dibayarkan oleh pedagang buah tersebut.2.Sebuah gedung pertunjukan mempunyai tempat duduk 10.000 kursi. Suatu panitiapertunjukkan akan mengadakan pertunjukan spektakuler yang menampilkan artisibukota di gedung itu dengan menjual 3 jenis karcis, masing-masing adalah kelasbiasa seharga Rp20.000,00, kelas VIP seharga Rp50.000,00, dan kelas super VIPseharga Rp100.000,00. Berapa karcis yang terjual untuk masing-masing kelas agardiperoleh pemasukan Rp350.000.000,00?{Soal AnalisisNext >