< PreviousBAB II ~ Matriks698.Diketahui:A = 2132⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan I = 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠a.Tentukan bilangan real k sedemikian hingga matriks kI A mempunyai invers.b.Tentukan bilangan real k sedemikian hingga matriks kI A tidak mempunyai invers.9.Tunjukkan bahwa jika B dan C merupakan invers dari matriks A, maka B = C.10.Tunjukkan bahwa jika AB = BA, maka (A + B)2 = A2 + 2AB + B2, dengan A2 = AA.2.8Aplikasi Invers Matriks pada Sistem Persamaan LinearInvers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.Di dalam subbab ini akan dibahas aplikasi invers matriks pada penyelesaian sistempersamaan linear dengan dua persamaan dan dua variabel.Perhatikan sistem persamaan linear dengan dua persamaan dan dua variabelberikut ini.ax + by = ebx + dy = f.Kita dapat menyatakan sistem persamaan linear ini dengan persamaan matriks sebagaiberikut.abcd⎛⎞⎜⎟⎝⎠xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = ef⎛⎞⎜⎟⎝⎠ (*)Misalkan:A = abcd⎛⎞⎜⎟⎝⎠, X = xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠, dan B = ef⎛⎞⎜⎟⎝⎠Jika det(A) = ad bc ≠ 0, maka matriks A mempunyai invers dan inversnya adalah:A-1 = 1dbcaadbc−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠Jika persamaan matriks (*) dikalikan A-1 dari kiri, maka diperoleh: 1dbcaadbc−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠abcd⎛⎞⎜⎟⎝⎠xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 1dbcaadbc−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠ef⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ⇔ 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 1dbcaadbc−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠ef⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ⇔ xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 1dbcaadbc−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠ef⎛⎞⎜⎟⎝⎠Jadi, jika det(A) ≠ 0, maka sistem persamaan linear di atas mempunyai penyelesaian.Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa70Catatan:1.Jika kedua persamaan dari sistem persamaan linear di atas masing-masingdigambarkan pada sistem koordinat, maka grafiknya berupa garis lurus.2.Jika dari sistem persamaan linear tersebut diketahui ad bc ≠ 0, maka grafikgaris lurusnya akan berpotongan tepat pada satu titik. Ini berarti, sistempersamaan linear tersebut mempunyai tepat satu penyelesaian.Bagaimana jika diketahui ad bc = 0? Berikan beberapa contoh untuk kasus ini dangambarkan masing-masing pada sistem koordinat. (Perhatikan: Jika grafik dari keduapersamaan tersebut berimpit, berarti sistem persamaan linear tersebut mempunyaipenyelesaian yang banyaknya tak hingga, sedangkan jika grafik dari kedua persamaanlinear tersebut saling sejajar, maka sistem persamaan linear tersebut tidak mempunyaipenyelesaian).Berikut ini diberikan contoh cara menyelesaikan sistem persamaan linear denganmenggunakan invers matriks.Contoh 2.8.1Dengan menggunakan invers matriks, tentukan himpunan penyelesaian dari sistempersamaan linear berikut.3284315xyxy+=⎧⎨+=⎩Penyelesaian:Perhatikan bahwa sistem persamaan linear:3284315xyxy+=⎧⎨+=⎩dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:3243⎛⎞⎜⎟⎝⎠ xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 815⎛⎞⎜⎟⎝⎠Jika matriks A = 3243⎛⎞⎜⎟⎝⎠, maka det (A) = (3)(3) (2)(4) = 9 8 = 1. Akibatnya, matriks Amempunyai invers dengan:Tugas KelompokBAB II ~ Matriks71A-1 = 3243−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠Jika persamaan matriks di atas dikalikan A-1 dari kiri, maka akan diperoleh: 3243−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠3243⎛⎞⎜⎟⎝⎠ xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 3243−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠815⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ⇔ 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 24303245−⎛⎞⎜⎟−+⎝⎠ ⇔ xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 613−⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ⇔ x = 6 dan y = 13Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah {(6,13)}.WContoh 2.8.2Diketahui sistem persamaan linear:5364xykxym+=⎧⎨+=⎩Nyatakan penyelesaian untuk x dan y dalam k dan m.Penyelesaian:Sistem persamaan linear di atas dapat disajikan dalam bentuk persamaan matrikssebagai berikut.5364⎛⎞⎜⎟⎝⎠xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = km⎛⎞⎜⎟⎝⎠Jika A = 5364⎛⎞⎜⎟⎝⎠, maka A-1 = 12018−4365−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ = 124365−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.Jika persamaan matriks di atas dikalikan A-1 dari kiri, maka diperoleh: 124365−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ 5364⎛⎞⎜⎟⎝⎠xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 124365−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ km⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ⇔ 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 124365kmkm−⎛⎞⎜⎟−+⎝⎠ ⇔ xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 124365kmkm−⎛⎞⎜⎟−+⎝⎠Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah:x = 12(4k 3m) dan y = 12(6k + 5m)Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa721.Dengan menggunakan invers matriks, tentukan himpunan penyelesaian dari sistempersamaan linear berikut.a.3252xyxy+=⎧⎨+=⎩d.5615236xyxy+=⎧⎨+=⎩b.241232xyxy+=⎧⎨+=−⎩e.23010xyxy++=⎧⎨−−=⎩c.2452xyxy+=⎧⎨+=⎩f.45150380xyxy+−=⎧⎨++=⎩2.a.Jika AX = B, dengan:A = 5924⎛⎞⎜⎟⎝⎠, X = xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠, dan B = 42⎛⎞⎜⎟⎝⎠tentukan nilai-nilai dari x dan y.b.Jika AX = B, dengan:A = 5321⎛⎞⎜⎟⎝⎠, X = xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠, dan B = 12−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠tentukan nilai-nilai dari x dan y.3.Dengan menggunakan invers matriks, selesaikan sistem persamaan linear berikut.3286416xyxy+=⎧⎨+=⎩a.Apakah sistem persamaan linear di atas dapat diselesaikan dengan invers matriks?b.Gambarkan masing-masing persamaan linear di atas dalam sistem koordinatCartesius?c.Diskusikan dengan teman Anda, apakah sistem persamaan linear tersebutmempunyai penyelesaian? Jika ada, sebutkan penyelesaiannya.4.Dengan menggunakan invers matriks, selesaikan sistem persamaan linear berikut.23245xyxy+=⎧⎨+=⎩a.Apakah sistem persamaan linear di atas dapat diselesaikan dengan invers matriks?b.Gambarkan masing-masing persamaan linear di atas dalam sistem koordinatCartesius?c.Diskusikan dengan teman Anda, apakah sistem persamaan linear tersebutmempunyai penyelesaian? Jika ada, sebutkan penyelesaiannya.Latihan 2.8BAB II ~ Matriks735.Dari sistem persamaan linear berikut ini, tentukan mana sistem persamaan linear yangmempunyai tepat satu penyelesaian, tidak mempunyai penyelesaian, dan mempunyaipenyelesaian yang banyaknya tak hingga.a.2324xyxy+=⎧⎨−=⎩b.3339xyxy+=⎧⎨+=⎩c.45515xyxy−=⎧⎨−=⎩2.9Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan DeterminanDi dalam Buku Matematika Kelas X telah dibahas penyelesaian sistem persamaanlinear dua variabel dan tiga variabel dengan menggunakan cara eliminasi. Pada subbabini akan dibahas penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dan tiga variabeldengan cara determinan.2.9.1Sistem Persamaan Linear dengan Dua VariabelSebelum kita menggunakan cara determinan, sebagai penyegaran kitaingat sekilas penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel denganmenggunakan cara eliminasi. Untuk ini perhatikan contoh berikut.Contoh 2.9.1Dengan menggunakan cara eliminasi, selesaikan sistem persamaan linear berikut.3284315xyxy+=⎧⎨+=⎩Penyelesaian:Dari sistem persamaan linear di atas, diperoleh:3x + 2y = 8 | × 3 | ⇒9x + 6y = 244x + 3y = 15 | × 2 | ⇒8x + 6y = 30 _ x= 6Dari x = 6 dan 3x + 2y = 8, diperoleh:(3)(6) + 2y = 8⇔2y = 8 + 18⇔2y = 26⇔ y = 13Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah x = 6 dan y = 13.WMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa74Sekarang perhatikan bentuk umum sistem persamaan linear dengan duavariabel berikut.axbykcxdym+=⎧⎨+=⎩Dengan menggunakan cara eliminasi, diperoleh sebagai berikut.ax + by = k | × c | ⇒acx + bcy = kccx + dy = m | × a | ⇒acx + ady = ma _(bc ad)y = kc maJika bc ad ≠ 0, maka diperoleh: y = kcmaamckbcadadbc−−=−−danax + by = k| × d | ⇒adx + bdy = kdcx + dy = m| × b | ⇒bcx + bdy = bm _(ad bc)x = kd bm x = kdbmadbc−−Jadi, penyelesaian bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua variabeladalah:x = kdbmadbc−− dan y = amckadbc−−Sekarang akan dibahas cara penyelesaian untuk sistem persamaan lineardua variabel dengan cara determinan. Perhatikan lagi bentuk umum sistempersamaan linear dengan dua variabel berikut.axbykcxdym+=⎧⎨+=⎩Jika dimisalkan:Δ = abcd = ad bc, Δx= kbmd = kd bm, dan Δy = akcm = am ckmaka penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah:x = kdbmadbc−− = xΔΔ dan y = amckadbc−− = yΔΔCara penyelesaian yang terakhir ini yang disebut dengan penyelesaian caradeterminan.BAB II ~ Matriks75Contoh 2.9.2Dengan menggunakan cara determinan, tentukan penyelesaian sistempersamaan linear berikut.679346xyxy+=⎧⎨+=⎩Penyelesaian:Kita hitung lebih dahulu:Δ = 6734 = 24 21 = 3Δx = 9764 = 36 42 = 6Δy = 6936 = 36 27 = 9sehingga:x = xΔΔ = 2 dan y = yΔΔ = 3WCatatan:1.Jika pada sistem persamaan linear di atas didapat Δ ≠ 0, maka sistempersamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian danpenyelesaiannya tunggal.2.Jika pada sistem persamaan linear di atas didapat Δ = 0, maka terdapatdua kemungkinan, kemungkinan pertama sistem persamaan lineartersebut tidak mempunyai penyelesaian dan kemungkinan keduamempunyai penyelesaian yang banyaknya tak hingga.1.Berikan penjelasan lebih detail untuk sistem persamaan linear AX = b, denganabAcd⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, xXy⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, kbm⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, dan det(A) = 0, dengan pendekatan aljabar danpendekatan geometri.2.Berikan beberapa kemungkinan penyelesaian untuk soal No. 1.Tugas MandiriMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa76Untuk memberikan penjelasan catatan kedua, perhatikan contoh berikutini.Contoh 2.9.3Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut (jikaada).a.231462xyxy+=−⎧⎨+=−⎩b.4610236xyxy+=⎧⎨+=⎩Penyelesaian:a.Semua pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi persamaan 2x + 3y = 1pasti juga memenuhi persamaan 4x + 6y = 2. Ini berarti bahwa himpunanpenyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah:HP = {(x,y) | 2x + 3y = -1}.Karena banyaknya pasangan (x,y) yang memenuhi persamaan tersebutbanyaknya tak hingga, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian yangbanyaknya tak hingga. Perhatikan bahwa untuk sistem persamaan linearini diperoleh Δ = (2)(6) (3)(4) = 12 12 = 0.b.Jika persamaan 4x + 6y = 10 dibagi dua, maka diperoleh 2x + 3y = 5. Pasangan(x,y) yang memenuhi persamaan 2x + 3y = 5 dan sekaligus persamaan2x + 3y = 6 tidak ada. Ini berarti, sistem persamaan linear tersebut tidakmempunyai penyelesaian. Perhatikan bahwa untuk sistem persamaan linearini diperoleh Δ = (4)(3) (6)(2) = 12 12 = 0.WDi dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai suatu persoalan yangmodel matematikanya berupa sistem persamaan linear. Berikut sebuah contohtentang hal ini.Contoh 2.9.4Seorang siswa ingin membeli kue dan es krim. Jika ia membeli 3 kue dan 3 eskrim, maka ia harus membayar Rp7.500,00, sedangkan jika ia membeli 2 kuedan 4 es krim, maka ia harus membayar Rp8.000,00. Berapakah harga sebuahkue dan sebuah es krim?Penyelesaian:Misalkan:harga sebuah kue adalah x rupiahharga sebuah es krim adalah y rupiahDari informasi yang diberikan dalam soal di atas, diperoleh model matematika:3x + 3y = 7.5002x + 4y = 8.000sehingga:Δ = 3324 = 12 6 = 6BAB II ~ Matriks77Δx = 7.50038.0004 = 30.000 24.000 = 6.000Δy = 37.50028.000 = 24.000 15.000 = 9.000Akibatnya,x = xΔΔ = 1.000 dan y = yΔΔ = 1.500Jadi, harga sebuah kue adalah Rp1.000,00 dan harga sebuah es krim adalahRp1.500,00.W2.9.2Sistem Persamaan Linear dengan Tiga VariabelKita ingat kembali definisi determinan matriks persegi ordo 3 × 3,jikaA = 111213212223313233aaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠maka determinan dari A adalah bilangan real yang didefinisikan dengandet(A) = a11⋅a22⋅a33 + a12⋅a23⋅a31 + a13⋅a21⋅a32 - a13⋅a22⋅a31 - a11⋅a23⋅a32 - a12⋅a21⋅a33.Untuk mengingat rumus determinan matriks ordo 3 × 3 ini, kitaperhatikan bentuk berikut.Dengan menggunakan rumus determinan matriks ordo 3 × 3, kitaakan menyelesaikan sistem persamaan linear dengan tiga persamaan dantiga variabel. Bentuk umum dari sistem persamaan linear ini adalah:111213212223313233axayazpaxayazqaxayazr++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩Jika dimisalkan:Δ = 111213111221222321223132333132aaaaaaaaaaaaaaaa11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 () () () (+) (+) (+) Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa78Δx = 121312222322323332paapaqaaqaraaraΔy = 111311212321313331apaapaqaaqaraarΔz = 111211122122212231323132aapaaaaqaaaaraamaka penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga persamaan dantiga variabel di atas adalah:x = xΔΔ, y = yΔΔ, dan z = xΔΔCara penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara di atas disebutpenyelesaian cara determinan atau sering disebut juga cara aturanCramer.Contoh 2.9.5Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaanlinear berikut.22134323xyzxyzxyz++=−⎧⎪++=⎨⎪++=⎩Penyelesaian:Kita hitung lebih dahulu:Δ = 122121311313213 = 6 + 2 + 6 6 3 4 = 1Δx = 122124314333233−− = 6 + 6 + 24 18 + 3 16 = 7Δy = 112111411413213−− = 8 1 + 6 8 3 + 2 = 4Next >