< PreviousBAB III ~ Barisan dan Deret99BARISAN DANDERETIIIBABTujuan PembelajaranSetelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat:1.menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri,2.merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret,3.menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret danpenafsirannya.Gambar 3.1 PerumahanJika Anda punya tabungan, maka Anda ingin mengetahui berapa besar tabunganAnda pada akhir tahun. Juga apabila orang tua Anda mengambil kredit untukperumahan atau kendaraan, tentunya Anda ingin mengetahui berapa besar angsurandan sisa kredit setelah selama waktu tertentu. Agar Anda dapat menyelesaikanpersoalan-persoalan di atas, maka Anda harus memahami isi dari bab ini dengan baik.Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat memahami sifat-sifatbarisan dan deret aritmetika serta barisan dan deret geometri, yang selanjutnya dapatmerumuskan masalah-masalah nyata yang model matematikanya berbentuk deret,menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh.PengantarSumber: serpong.files.wordpressMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa100Untuk menunjang pencapaian tujuan tersebut di atas, di dalam bab ini akandisajikan berturut-turut pengertian barisan dan deret, barisan aritmetika, deretaritmetika, pengertian barisan geometri, deret geometri, dan deret geometri tak hingga,notasi sigma, dan pembuktian dengan induksi matematika. Sebagai prasyarat untukmempelajari bab ini, Anda harus paham operasi-operasi pada sistem bilangan realbeserta sifat-sifatnya.3.1Pengertian Barisan dan DeretApabila kita berkendaraan di jalan yang menghubungkan dua kota besar seringdijumpai tugu-tugu kecil yang ditulisi suatu bilangan yang menujukkan jarak antaratempat tugu itu berada dengan kota yang akan kita tuju. Bilangan tersebut akanberkurang satu setiap kita menempuh jarak satu kilometer.Demikian juga, jika kita berjalan-jalan di suatu perumahan, maka kita akanmenjumpai barisan bilangan yang menunjukkan nomor rumah. Sering didapati nomor-nomor genap untuk rumah-rumah di sebelah kanan jalan dan nomor-nomor ganjiluntuk rumah-rumah di sebelah kiri jalan. Nomor-nomor tersebut menunjukkan adanyasusunan bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Jika diperhatikan nomor-nomor rumah di sebelah kanan jalan, maka didapat bahwa nomor pertama adalah 2,nomor yang ke dua adalah 4, nomor ke tiga adalah 6, dan seterusnya. Dengan demikianterdapat suatu pemetaan antara bilangan asli dengan bilangan genap. Di dalam subbab ini akan dibahas suatu fungsi khusus yang daerah asalnyahimpunan bilangan asli ()¥ dan daerah hasilnya adalah himpunan bagian (subset)dari himpunan bilangan real ()¡.Definisi 3.1Yang dimaksud dengan barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang daerahasalnya himpunan bilangan asli dan daerah hasilnya adalah himpunan bagiandari ¡.Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah susunan bilangan real yangdibentuk menurut aturan tertentu. Jelas aturan tententu yang dimaksud adalah definisidari fungsinya.Sekarang perhatikan suatu fungsi yang dirumuskan sebagai berikut.()f⋅ : →¥¡ , dengan f(n) = 3n + 1Untuk:n = 1 → f(1) = 3 ⋅ 1 + 1 = 4n = 2 → f(2) = 3 ⋅ 2 + 1 = 7n = 3 → f(3) = 3 ⋅ 3 + 1 = 10Mn = n → f(n) = 3n + 1MJadi, untuk n = 1, 2, 3, ... , n, ... kita mendapatkan nilai fungsi f(1), f(2), f(3), ... f(n), ...atau dalam hal ini 4, 7, 10, ... , (3n + 1), ... . Untuk selanjutnya, penulisan nilai fungsi f(1),f(2), f(3), ... , f(n), ... , sering dituliskan dengan notasi f1, f2, f3, ... , fn, ... . Susunan bilangan diatas merupakan contoh suatu barisan. Untuk barisan di atas, diketahui bahwa sukuke-1 adalah f1 = 4, suku ke-2 adalah f2 = 7, suku ke-3 adalah f3 = 10, ... , suku ke-n adalah fn= 3n + 1.BAB III ~ Barisan dan Deret101Terdapat beberapa metode untuk menggambarkan suatu barisan, antara lain:1.Metode pertama dengan mendaftar beberapa suku pertama hingga aturan untukmenentukan suku berikutnya jelas. Sebagai contoh, barisan (7, 11, 15, 19, 23, ...)adalah barisan yang suku ke-n-nya adalah (4n + 3), sedangkan barisan (1, 2, 4, 8, ...)adalah barisan yang suku ke-n-nya adalah 2n 1.2.Metode kedua adalah dengan menuliskan rumus untuk suku ke-n dari barisannya.Sebagai contoh, untuk barisan (3, 5, 7, 9, ...) dapat dituliskan sebagai (un) dengan un= 2n + 1 atau dapat dituliskan dengan (2n + 1).3.Metode ketiga adalah dengan memberikan n suku pertamanya, dan suku ke-(n + 1)ditentukan sebagai fungsi dari n suku pertamanya. Sebagai contoh, untuk barisanbilangan Fibonacci diberikan oleh (un) dengan u1 = 1, u2 = 2, dan un+1 = un + un-1 untukn ≥ 2. Jika dituliskan dengan cara mendaftar barisan Fibonacci ini dapat dituliskandengan (1, 1, 2, 3, 5, ...). Dengan kata lain, barisan Fibonacci adalah barisan bilanganyang setiap suku sesudah suku kedua merupakan jumlah dari dua suku yangmendahuluinya.Karena pada dasarnya barisan merupakan fungsi, maka kita mempunyai definisiuntuk kesamaan dua barisan.Definisi 3.2Dua barisan, (un) dan (vn), dikatakan sama, ditulis dengan (un) = (vn), jika un = vnuntuk semua bilangan asli n.Untuk barisan tak hingga (un), kita akan memperhatikan jumlah dari semua sukudari barisan tak hingga (un).u1 + u2 + u3 + ... + un + ...Definisi 3.3Jika (un) merupakan suatu barisan bilangan real, maka bentuk:u1 + u2 + u3 + ... + un + ...disebut deret tak hingga. Bilangan un disebut suku ke-n dari deret dan bilangan:Sn = u1 + u2 + u3 + ... + undisebut jumlah n buah suku pertama dari deret.Untuk memahami pengertian barisan dan deret lebih mendalam, berikut inidiberikan beberapa contoh barisan dan deret.Contoh 3.1.1Jika diberikan suatu susunan bilangan1111,,,,,23nLLmaka susunan bilangan ini merupakan barisan dengan suku umum (suku ke-n) adalah1n, sedangkan bentuk jumlahan bilangan-bilangan ini adalah:Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa102111123n+++++LLadalah suatu deret tak hingga, dengan suku ke-n adalah 1n dan jumlah n buah sukupertama adalah:Sn = 111123n++++LJadi, untuk deret ini diperoleh suku ke-15 adalah 115, dan jumlah 15 buah suku pertamaadalah:S15 = 11112315++++LWContoh 3.1.2Jika diberikan susunan bilangan: 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... , maka susunan bilangan inimerupakan barisan dan bentuk: 1 + (1) + 1 + (1) + 1 + (1) + ... adalah suatu deret takhingga dengan suku ke-n adalah 1 jika n ganjil dan 1 jika n genap, dan jumlah n sukupertama adalah 0 jika n genap dan 1 jika n ganjil.WContoh 3.1.3Tuliskan tiga suku lagi dari setiap barisan yang diberikan berikut ini, kemudiantentukan rumus suku ke-n.a.5, 7, 9, ...b. 1, 10, 100, c. 111,,,246LPenyelesaian:a.Tiga suku berikutnya dari barisan tersebut adalah 11, 13, 15, sedangkan rumusuntuk suku ke-n adalah un = 2n + 3.b.Tiga suku berikutnya untuk barisan tersebut adalah 1.000, 10.000, 100.000,sedangkan rumus untuk suku ke-n adalah un = 10n 1.c.Tiga suku berikutnya untuk barisan tersebut adalah 111,,81012, sedangkan rumusuntuk suku ke-n adalah un = 12n.WContoh 3.1.4Tuliskan tiga suku pertama dari barisan yang diketahui rumus suku ke-n berikut ini.a.un = 3n + 1b. un = n2 1c. un = n(n + 1)Penyelesaian:a.Diketahui un = 3n + 1, maka diperoleh:u1 = 3(1) + 1 = 4, u2 = 3(2) + 1 = 7, dan u3 = 3(3) + 1 = 10.b.Diketahui un = n2 1, maka diperoleh:u1 = (1)2 1 = 0, u2 = (2)2 1 = 3, dan u3 = (3)2 1 = 8.c.Diketahui un = n(n + 1), maka diperoleh:u1 = 1(1 + 1) = 2, u2 = 2(2 + 1) = 6, dan u3 = 3(3 + 1) = 12.WBAB III ~ Barisan dan Deret103Contoh 3.1.5Rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah un = n2 2n.a.Tuliskan tiga suku pertamanya.b.Bilangan 48 merupakan suku yang ke berapa?Penyelesaian:a.Diketahui un = n2 2n, maka diperoleh:u1 = (1)2 2(1) = 1 2 = -1u2 = (2)2 2(2) = 4 4 = 0u3 = (3)2 2(3) = 9 6 = 3b.Diketahui un = 48, berarti n2 2n = 48 atau n2 2n 48 = 0. Dengan cara pemfaktorandiperoleh (n + 8) (n 6) = 0. Ini berarti, n = 8 atau n = 6. Karena n suatu bilangan asli,maka diperoleh n = 6.Jadi, 48 adalah suku ke-6.W1.Tuliskan tiga suku berikutnya dari barisan bilangan berikut ini.a.5, 15, 25, 35, ...d.2, 3, 5, 8, 12, ...b.150, 125, 100, 75, ...e.1, 4, 9, 25, ...c.1, 1, 1, 1, ...f.1, 2, 4, 8, 16, ...2.Tuliskan tiga suku berikutnya dari barisan Fibonacci berikut ini.a.3, 5, 8, 13, ...d.5, 10, 15, 25, ...b.0, 1, 1, 2, ...e.2, 7, 9, 16, ...c.1, 1, 0, 1, ...f.5, 5, 0, 5, ...3.Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan berikut ini.a.6, 11, 16, 21, ...d.2, 5, 10, 17, ...b.0, 2, 6, 12, ...e.1111,,,,24816Kc.4, 8, 12, 16, ...f.0, 1, 0, 2, ...4.Diketahui barisan dengan rumus suku ke-n adalah un = n2 + 2n + 1.a.Tuliskan empat suku pertamanya.b.Bilangan 100 merupakan suku yang ke berapa dari barisan tersebut?5.Diketahui barisan dengan rumus suku ke-n adalah un = 3n 1.a.Tuliskan empat suku pertamanya.b.Bilangan 243 merupakan suku yang ke berapa dari barisan tersebut?6.Dari barisan yang dituliskan rumus suku ke-n berikut ini, tentukan u1, u10, dan u2n.a.un = 4n + 3d.un = 2n+1b.un = 5n 3e.un = 21nc.un = n2 3nf.un = (1)2nn−Latihan 3.1Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa1047.Diketahui barisan dengan rumus suku ke-n adalah un = 2n2 - 16n.a.Tuliskan empat suku pertamanya.b.Suku ke berapakah sama dengan nol?c.Tentukan S1, S3, dan S5. (Ingat: Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un)8.Diketahui barisan dengan rumus suku ke-n adalah un = 2n-1 3n.a.Tuliskan empat suku pertamanya.b.Mungkinkan barisan tersebut mempunyai suku nol?c.Tentukan S1, S3, dan S5.9.Dengan menggunakan paket komputer pengolah angka MS Excel, tentukan suku ke-1sampai suku ke-100 dari barisan yang suku ke-n dinyatakan dalam bentuk:11nnun⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠Kemudian tentukan juga jumlah 100 suku pertama.10.Gunakan komputer pengolah angka MS Excel untuk membuat data barisan 1:nn∈⎛⎞⎜⎟⎝⎠¥,dan kemudian tentukan bilangan asli k sehingga setiap n ≥ k, berlaku xn ≤ 0,0001.3.2Barisan AritmetikaDi dalam subbab sebelumnya telah dijelaskan pengertian barisan dan deret,sekarang kita akan membahas barisan yang mempunyai sifat-sifat khusus, yang akandisebut dengan barisan aritmetika.Definisi 3.4Suatu barisan u1, u2, u3, ... , un, ... disebut barisan aritmetika, jika dipenuhi u2 u1 =u3 u2 = u4 u3 = ... = un un-1 = ... . Selisih yang tetap ini disebut beda (b) dari barisanarimatika, berarti b = un un-1.Dengan kata lain, barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyaiselisih atau beda antara suku-suku yang berurutan tetap. Barisan aritmetika seringjuga disebut barisan hitung. Berikut ini diberikan beberapa contoh barisan aritmetikadan barisan yang bukan barisan aritmetika.Contoh 3.2.1Barisan 2, 4, 6, 8, ... merupakan barisan aritmetika karena u2 u1 = u3 u2 = u4 u3 = ...dengan beda b = u2 u1 = 2. Barisan 125, 120, 115, 110, ... juga merupakan barisanaritmetika dengan beda, b = 120 125 = 5. Tetapi, barisan 1, 0, 1, 0, ... bukan merupakanbarisan aritmetika karena u2 u1 = 1 tidak sama dengan u3 u2 = 1. Demikan jugabarisan 1, 2, 4, 7, 11, ... bukan barisan aritmetika karena u2 u1 = 1 tidak sama denganu3 u2 = 2.WBAB III ~ Barisan dan Deret105Berdasarkan definisi di atas, jika u1 = a, maka bentuk umum dari suatu barisanaritmetika dapat ditulis sebagai:u1 = au2 = a + bu3 = a + 2bu4 = a + 3b M un = a + (n1)bdengan suku ke-n adalah un = a + (n-1)b. Karena a = u1, maka bentuk umum suku ke-nadalah:un = u1 + (n 1)bApabila banyak sukunya berhingga, maka kita dapat menentukan sifat-sifat yang lebihkhusus, yaitu jika banyak sukunya ganjil, maka banyak sukunya dapat dinyatakandengan (2n + 1) , untuk suatu bilangan asli n. Akibatnya, kita dapat menentukan sukutengahnya, yaitu:ut = un + 1 = u1 + nb = 12(u1 + u2n + 1)Sedangkan jika banyak sukunya genap, maka banyak sukunya dapat dinyatakandengan 2n, untuk suatu bilangan asli n, dan untuk kasus ini diperoleh hubungan:u1 + u2n = u2 + u2n 1 = = un + un + 1Berikut ini diberikan beberapa contoh menentukan suku ke-n barisan aritmetikajika diketahui suku pertama dan bedanya.Contoh 3.2.2Tentukan suku ke-51 dari barisan aritmetika: 3, 1, 5, 9, ... .Penyelesaian:Dari barisan aritmetika yang diberikan diketahui bahwa u1 = a = 3 dan b = 1 (3) =4. Suku ke-51 dapat ditentukan sebagai berikut.u50 = u1 + (51 1) 4 = 3 + 200 = 197WContoh 3.2.3Diberikan suatu barisan aritmetika: 126, 120, 114, ... . Suku yang ke berapakahmerupakan bilangan nol?Penyelesaian:Dari barisan yang diberikan diketahui u1 = 126 dan b = 120 126 = 6. Jika diketahuiun = 0, maka diperoleh: un = 0⇔ u1 + (n1)b = 0⇔ 126 + (n1)(6) = 0⇔ 126 6n + 6 = 0⇔ 6n = 132⇔ n = 1326 = 22Jadi, suku ke-22 adalah bilangan nol atau u22 = 0.WMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa106Contoh 3.2.4Dari suatu barisan aritmetika yang banyak sukunya ganjil diketahui bahwa u5 = 18,ut = 14, dan suku yang terakhir adalah 26. Tentukan banyak suku dan barisan tersebut.Penyelesaian:Karena banyak sukunya ganjil, maka banyak sukunya dapat dinyatakan dengan(2n + 1), sehingga suku terakhirnya dapat dituliskan dengan u2n + 1 = a + 2nb dan sukutengahnya dapat dituliskan: ut = a + nb. Akibatnya, diperoleh hubungan-hubungan:a + 2nb = 262a + 2nb = 28 _ a = 2Diperoleh a = 2. Selanjutnya dari u5 = 18, diperoleh a + 4b = 18 dan akibatnya 4b = 18 2 atau b = 4. Kemudian dari a + nb = 14 , diperoleh 2 + 4n = 14 atau n = 3. Jadi, banyaksuku dari barisan tersebut adalah 2 · 3 + 1 = 7 dan barisan tersebut adalah:2, 6, 10, 14, 18, 22, 26WContoh 3.2.5Diketahui bahwa tiga bilangan membentuk tiga suku pertama dari suatu barisanaritmetika. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 24 dan hasil kalinya 440. Tentukanbilangan-bilangan itu.Penyelesaian:Misalkan bilangan-bilangan itu adalah p b, p, p + b.Dari soal, diketahui:(i)(p b) + p + (p + b)= 24⇔ 3p= 24⇔ p= 8(ii)(p b) (p) (p + b)= 440⇔ p(p2 b2) = 440⇔ 8 (64 b2) = 440⇔ 64 b2 = 55⇔ b2 9 = 0⇔ (b 3)(b + 3) = 0⇔ b = 3 atau b = 3Untuk p = 8 dan b = 3, diperoleh barisan aritmetika 5, 8, 11, ... .Untuk p = 8 dan b = 3, diperoleh barisan aritmetika 11, 8, 5, ... .WPada Contoh 3.2.5, kita juga dapat memisalkan tiga bilangannya adalah a, a + b, a + 2b,tetapi perhitungannya tidak akan sederhana jika kita memisalkan p b, p, p + b (Silakandiskusi dengan teman Anda). Anda dapat juga memisalkan tiga bilangan tersebut adalahx, y, dan z, tetapi pemisalan ini akan menghasilkan perhitungan yang lebih rumit lagi.Dari kasus ini dapat dimengerti bahwa tiga bilangan, s, t, dan u, membentuk barisanaritmetika jika berlaku 2t = s + u. Dengan cara yang sama, empat bilangan, s, t, u, dan v,membentuk barisan aritmetika jika berlaku s + u = t + v (Buktikan dalam kelompokdiskusi Anda).Tugas KelompokBAB III ~ Barisan dan Deret1071.Selidikilah apakah barisan berikut ini merupakan barisan aritmetika atau bukan (berikanpenjelasan).a.1, 3, 5, 7, ...d.1, 0, 1, 0, ...b.4, 7, 10, 13, ...e.1, 4, 9, 16, ...c.50, 40, 30, 20, ...f.5, 1, 3, 7, ...2.Tentukan beda dari barisan aritmetika berikut ini.a.4, 9, 14, 19, ...d.75, 100, 125, 150, ...b.8, 5, 2, 1, ...e.311,,,0,424Kc.5, 1, 3, 7, ...f.a, 2a, 3a, 4a, ...3.Tuliskan rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika yang disajikan pada no. 2.4.Tentukan suku ke-10 dan suku ke-15 dari masing-masing barisan aritmetika berikut.a.7, 10, 13, 16, ...d.1130,,,,424Kb.5, 3, 1, 1, ...e.3a, 5a, 7a, 9a, ...c.15, 10, 5, 0, ...f.p + q, p + 3q, p + 5q, p + 7q, ...5.Dari suatu barisan aritmetika diketahui bahwa suku ke-8 adalah 25 dan suku ke-12adalah 45. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut, kemudian tentukanjuga barisannya.6.Dari suatu barisan aritmetika diketahui bahwa suku ke-5 adalah 32 dan suku ke-10adalah 12. Tentukan suku ke-20 dari barisan aritmetika tersebut.7.Diketahui bahwa tiga bilangan membentuk tiga suku pertama dari suatu barisanaritmetika. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 60 dan hasil kalinya 7.500. Tentukanbilangan-bilangan itu.8.Suku ke-5 dari suatu barisan aritmetika adalah 16, jumlah tiga suku pertamanya adalah21. Tentukan beda dan suku ke-10 dari barisan tersebut.9.Tentukan x apabila bilangan-bilangan berikut membentuk suatu barisan aritmetika.a.x 2, x + 1, dan 5xc.2x2 + 1, 3x2 1, dan 5x2 x + 3b.3x 1, 3x + 1, dan 4x 310.Dalam sebuah barisan aritmetika diketahui u1 = 3, un = 87, dan u6 + u7 = 39. Tentukan beda(b), n, dan u50.3.3Deret AritmetikaDi dalam subbab sebelumnya telah dijelaskan beda antara barisan dan deret,juga telah dibahas barisan aritmetika. Pada subbab ini akan dibahas deret aritmetikaatau deret hitung dengan banyak suku hingga. Dalam hal ini akan dihitung jumlahke-n dari suatu deret aritmetika, sehingga kita hanya menghitung jumlah n sukupertama, Sn.Latihan 3.2Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa108Definisi 3.5Jika u1, u2, u3, ..., un, ... merupakan barisan aritmetika, maka bentuk: u1 + u2 + u3 + ...+ un + ... disebut deret aritmetika. Jika jumlah ke-n dari deret tersebut dinotasikandengan Sn, maka Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un.Jika suku pertama, u1 = a dan beda dari deret aritmetika tersebut b = u2 u1, makaSn dapat dituliskan sebagai:Sn = a + a + b + a + 2b + ... + a + (n2)b + a + (n1)batauSn = a +(n1)b + a + (n2)b + a + (n3)b + ... + a + b + a +2Sn = 2a + (n-1)b + 2a + (n-1)b + 2a + (n-1)b + ... + 2a + (n-1)b + 2a + (n1)b = n {2a + (n1)b}Jadi,Sn = {}(1)2naanb++− atau Sn = {}12nnuu+Dengan cara seperti di atas, juga diperoleh:Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un-1 + unSn-1 = u1 + u2 + u3 + ... + un-1Jadi, dapat disimpulkan bahwaSn Sn-1 = unContoh 3.3.1Tentukan suku ke-26 dan jumlah ke-26 dari deret aritmetika berikut. 5 + 8 + 11 + 14 + ...Penyelesaian:Dari deret aritmetika tersebut diketahui bahwa a = 5, b = 8 5 = 3, dan n = 26, sehinggadiperoleh u26 = a + (26-1)b = 5 + 25(3) = 5 + 75 = 80.Akibatnya,S26 = {}126262uu+ = 13(5 + 80) = 13(85) = 1.105WContoh 3.3.2Tentukan jumlah semua bilangan bulat di antara 50 dan 500 yang habis dibagi 6.Penyelesaian:Bilangan-bilangan tersebut adalah 54, 60, 66, 72, ... , 492, 498.Jadi, yang ditanyakan adalah Sn = 54 + 60 + 66 + 72 + ... + 492 + 498.Dari deret ini, diperoleh suku pertamanya a = 54, un = 498, dan beda b = 60 54 = 6.Dari hubungan un = a + (n1)b, diperoleh 498 = 54 + (n1)6 atau 6n = 450, sehinggabanyaknya suku adalah n = 75.Jadi,S75 = 75(54498)2+ = 75(276) = 20.700WNext >