< PreviousBAB III ~ Barisan dan Deret109Contoh 3.3.3Dalam sebuah deret aritmetika diketahui bahwa suku ke-3 adalah 21, jumlah sukuke-5 dan ke-7 adalah 30. Tentukan jumlah 10 suku yang pertama.Penyelesaian:Dari yang diketahui, diperoleh hubungan: u3 = 21⇔ a + 2b = 21 ⇔ 2a + 4b = 42 u5 + u7 = 30⇔ (a + 4b) + (a + 6b) = 30 ⇔ 2a + 10b = 30 6b = 12 atau b = 2Selanjutnya, diperoleh a + 2b = 21 atau a = 21 + 4 = 25.Jumlah sepuluh suku yang pertama adalah:S10 = (10){25 + 25 + (10 1)(2)} = 5(50 18) = 5(32) = 160WContoh 3.3.4a.Carilah jumlah bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 9.b.Carilah juga jumlah bilangan asli antara 1 dan 100 yang tidak habis dibagi 9.Penyelesaian:a.Bilangan-bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 9 adalah:9, 18, 27, ... , 99Bilangan-bilangan itu membentuk barisan aritmetika dan apabila dijumlahkanakan membentuk deret aritmetika. Dalam hal ini, diketahui a = 9, b = 9, dan un = 99,dengan un suku terakhir. Langkah pertama harus dicari lebih dahulu banyaknyabilangan atau n.Perhatikan bahwa:un = 99 ⇔ a + (n 1)b = 99 ⇔ 9 + (n 1)9 = 99 ⇔ 9n = 99 ⇔ n = 11Jadi, banyaknya bilangan antara 1 dan 100 yang habis dibagi 9 adalah 11.Akibatnya dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama, diperoleh:S11 = {}119992+ = (11)(54) = 594Jadi, diperoleh 9 + 18 + 27 + ... + 99 = 594.b.Jumlah bilangan-bilangan asli antara 1 dan 100 yang tidak habis dibagi 9 adalah:Sn = (2 + 3 + 4 + ... + 99) (9 + 18 + 27 + ... + 99)Kita telah menghitung di bagian (a) bahwa:9 + 18 + 27 + ... + 99 = 594Sekarang misalkan 2 + 3 + 4 + ... + 99 = p. Perhatikan bahwa jumlahan tersebutmerupakan deret aritmetika dengan suku pertama 2, beda 1, dan suku terakhir 99.Jumlah dari deret tersebut adalah: p= 12n (a + un)= 12 ⋅ 98 (2 + 99)= (49) (101)= 4.949Jadi, jumlah bilangan-bilangan asli antara 1 dan 100 yang tidak habis dibagi 9 adalah:Sn = (2 + 3 + 4 + ... + 99) (9 + 18 + 27 + ... + 99) = 4.949 594 = 4.355WMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa110Analisis1.Suku ke-n dari setiap deret aritmetika merupakan fungsi linear dari n dan jumlahke-n dari setiap deret aritmetika merupakan fungsi kuadrat dari n. Hal ini dapatditunjukkan sebagai berikut.un = a + (n1)b= bn + (ab)merupakan fungsi linear dari ndanSn = n{u1 + un} = n{a + bn + (ab)} = bn2 + (ab)nmerupakan fungsi kuadrat dari n2.Apabila dalam sebuah barisan suku ke-n merupakan fungsi linear dari n, makabarisan itu merupakan barisan aritmetika.Bukti:Karena suku ke-n merupakan fungsi linear dari n, maka un dapat dinyatakan dalambentuk: un = pn + q dan un 1 = p(n 1) + q. Akibatnya, un un 1 = p. Jadi, selisih dua sukuyang berurutan tak bergantung pada n. Ini berarti, deretnya merupakan deretaritmetika dengan beda, b = p.W3.Apabila jumlah suku ke-n merupakan fungsi kuadrat dari n yang tidak mempunyaisuku konstanta, maka deret ini merupakan deret aritmetika.Bukti:Karena Sn merupakan fungsi kuadrat dari n yang tidak mempunyai suku konstanta,maka Sn dapat dinyatakan dalam bentuk:Sn = pn2 + qn dan Sn 1 = p(n 1)2 + q(n 1) = p(n2 2n + 1) + qn qAkibatnya,Sn Sn 1 = pn2 + qn pn2 + 2pn p qn + q = 2pn + (q p)Padahal Sn Sn-1 = un.Jadi, un merupakan fungsi linear dari n, dan berdasarkan catatan sebelumnya dapatdisimpulkan bahwa deretnya merupakan deret aritmetika.W1.Manakah yang merupakan deret aritmetika dari deret berikut ini?a.1 + 2 + 3 + ...d.1 + 1 + 1 + 1 + ...b.12 + 22 + 32 + ...e.1 + 14 + 12 + 34 + ...c.2 + 5 + 8 + ...f.1 + (1) + 1 + (1) + ...2.Tentukan jumlah setiap deret aritmetika berikut ini.a.1 + 3 + 5 + 7 + ... + 41d.7, 4, 1, 2, ...sampai 10 sukub.5 + 10 + 15 + 20 + ... + 75e.8, 13, 18, 23, ...sampai 12 sukuc.9, 6, 3, 0, 3, ... , 30f.1 + 2 + 3 + 4, ...sampai 30 sukuLatihan 3.3BAB III ~ Barisan dan Deret1113.Tentukan nilai n, jika diketahui:a.1 + 2 + 3 + ... + n = 210c.1 + (1) + 1 + (1) + ... + (1)n 1 = 0b.2 + 4 + 6 + ... + 2n = 110d.5 + 10 + 15 + 20 + ... + 5n = 1804.Dari suatu deret aritmetika diketahui bahwa suku pertamanya adalah 6, bedanya 4,dan jumlahnya 160.a.Tentukan banyaknya suku dari deret aritmetika tersebut.b.Tentukan suku terakhirnya.c.Tentukan suku ke-15.5.a.Buatlah daftar bilangan-bilangan kelipatan 3 antara 100 dan 500.b.Jika bilangan-bilangan tersebut dijumlahkan akan membentuk deret jenis apa?c.Tentukan suku pertama deret tersebut.d.Tentukan beda deret tersebut.e.Tentukan suku terakhir deret tersebut.f.Tentukan banyaknya suku deret tersebut.g.Tentukan jumlah bilangan-bilangan tersebut.6.Carilah jumlah dari:a.bilangan asli antara 100 dan 1.000 yang habis dibagi 8b.bilangan asli antara 100 dan 1.000 yang tidak habis dibagi 8c.bilangan asli antara 100 dan 1.000 yang genap dan habis dibagi 57.Dari sebuah deret aritmetika diketahui Sn = n2 + 2n. Hitunglah:a.suku pertama dari deret tersebutb.beda dari deret tersebutc.suku ke-n dari deret tersebutd.suku ke-10 dari deret tersebut8.Seorang pegawai dengan gaji permulaan Rp500.000,00 per bulan dan setiap bulanmendapat kenaikan gaji sebesar Rp5.000,00 selama satu tahun pertama. Tuliskan suatuderet untuk menunjukkan jumlah gaji dalam satu tahun pertama tersebut, dan kemudianhitunglah jumlah deret tersebut.9.Suatu perusahaan memproduksi 1.000 satuan barang pada tahun pertama. Setiap tahunperusahaan menaikkan produksinya sebesar 200 satuan barang. Hitunglah besarnyaproduksi pada tahun ke-10, dan kemudian tentukan banyaknya hasil produksi selama10 tahun tersebut.10.Suatu perusahaan televisi memproduksi 5.000 unit televisi pada tahun pertama.Perusahaan tersebut setiap tahun mengalami penurunan produksi sebesar 500 unit.Kapan perusahaan tersebut tidak memproduksi lagi?3.4Barisan GeometriBerbeda dengan barisan aritmetika yang mempunyai beda atau selisih yangtetap, berikut ini akan disajikan barisan geometri.Definisi 3.4.1Barisan geometri adalah barisan bilangan yang antara dua suku berurutanmempunyai pembanding (rasio) tetap. Rasio dilambangkan dengan r.Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa112Jika barisan u1, u2, u3, ... , un, ... merupakan barisan geometri, maka berlaku:2341231nnuuuuuuuu−=====LL = konstantaKonstanta ini yang disebut pembanding (rasio) dari deret geometri tersebut, yangselanjutnya dinotasikan dengan r.Jika suku pertama, u1 dari deret geometri dinyatakan dengan a dan rasio denganr, maka diperoleh:u1 = a = ar0 u2 = r ⋅ u1 ⇒u2 = r ⋅ a = ar1 u3 = r ⋅ u2 ⇒u3 = r ⋅ ar = ar2 u4 = r ⋅ u3 ⇒u4 = r ⋅ ar2 = ar3 dan seterusnya.Jadi, bentuk baku barisan geometri adalah:a, ar, ar2, ar3, , arn-1, ...Bentuk baku suku ke-n dari barisan geometri adalah:un = arn-1dengan:un = suku ke-nr = rasioa = suku pertamaContoh 3.4.1Diberikan barisan geometri: 4, 8, 16, ... . Tentukan rasio (r) dan suku ke-8 (u8).Penyelesaian:Rasio (r) = 21uu = 2, sedangkan suku ke-8 (u8) = 4 (2)7 = 4(128) = 512.WContoh 3.4.2Diketahui bahwa suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah un = 5 · 2n-1. Tentukanrasio dari barisan geometri ini, dan kemudian tentukan suku ke-7.Penyelesaian:Karena un = 5 · 2n 1, maka un 1 = 5 · 2n 2. Akibatnya, rasio (r) = −1nnuu = 2.Suku pertama dari barisan ini adalah a = u1 = 5 · 21 1 = 5 · 1 = 5, sedangkan suku ke-7 daribarisan geometri ini adalah:u7 = a · r7 1 = 5 · 26 =5(64) = 320WContoh 3.4.3Dari suatu barisan geometri diketahui bahwa suku keempatnya adalah 12 dan sukupertamanya adalah 4. Tentukan rasio dan barisan tersebut.Penyelesaian:Diketahui u1 = a = 4 dan u4 = 12. Akibatnya, ar3 = 12 atau 4r3 = 12.BAB III ~ Barisan dan Deret113Jadi, r3 = 18 atau r = 12. Barisan geometri yang ditanyakan adalah 4, 2, 1, 12, ... .WContoh 3.4.4Tiga buah bilangan merupakan tiga suku pertama dari suatu barisan geometri. Jumlahketiga bilangan tersebut adalah 28 dan hasil kali tiga bilangan tersebut adalah 512.Tentukan tiga bilangan tersebut.Penyelesaian:Misalkan bilangan-bilangan tersebut adalah:ar, a, arDari yang diketahui, diperoleh:1.ar, a, ar = 512 ⇔ a3 = 512 ⇔ a3 = 83 ⇔ a = 82.ar + a + ar = 28 ⇔ 8r + 8 + 8r = 28 ⇔ 8 + 8r + 8r2 = 28r ⇔ 8r2 20r + 8 = 0 ⇔ 2r2 5r + 2 = 0 ⇔ (2r 1)(r 2) = 0 ⇔r = 12 atau r = 2Untuk a = 8 dan r = 12, diperoleh tiga bilangan tersebut adalah:16, 8, 4Untuk a = 8 dan r = 2, diperoleh tiga bilangan tersebut adalah:4, 8, 16WCatatan:Perhatikan bahwa dalam Contoh 3.4.4, kita tidak mengambil pemisalan a, ar, ar2.Siswa yang penasaran tentang hal ini dapat mencoba dengan pemisalan ini,tentu akan diperoleh perhitungan yang tidak sesederhana jika kita memisalkanar, a, arDengan kasus ini dapat dimengerti bahwa tiga bilangan, a, b, dan c, membentukbarisan geometri jika berlaku b2 = ac (Bandingkan dengan a2 = arar).Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa114Contoh 3.4.5Tentukan nilai k agar bilangan k 3, k 1, dan 2k + 1 membentuk tiga suku pertama daribarisan geometri.Penyelesaian:Bilangan k 3, k 1, dan 2k + 1 membentuk barisan geometri, jika: (k 1)2 = (k 3)(2k + 1) ⇔ k2 2k + 1 = 2k2 5k 3 ⇔ k2 3k 4 = 0 ⇔ (k + 1)(k 4) = 0 ⇔ k = 1 atau k = 4Untuk k = 1, diperoleh barisan geometri: 4, 2, 1, ... .Untuk k = 4, diperoleh barisan geometri: 1, 3, 9, ... .WContoh 3.4.6Sebuah perusahaan pada tahun pertama memproduksi 1.000 unit barang. Setiap tahunperusahaan tersebut menaikkan produksinya sebesar 25%. Berapakah banyaknyaproduksi perusahaan tersebut pada tahun ke-5?Penyelesaian:Produksi tahun pertama = 1.000 unit.Produksi tahun kedua adalah (1.000 + 25% × 1.000) = 1.000114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠Produksi tahun ketiga adalah:1.000114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠ + 25% × 1.000 114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠ = 1.000114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠ = 1.0002114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠Produksi tahun keempat adalah:1.0002114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠ + 25% × 1.0002114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠= 1.0002114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠ 114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠= 1.0003114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠Produksi tahun kelima adalah:1.0003114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠ + 25% × 1.0003114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠= 1.0003114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠ 114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠= 1.0004114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠Banyaknya produksi perusahaan tersebut membentuk suatu barisan geometri sebagaiberikut.1.000, 1.000114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠, 1.0002114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠, 1.0003114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠, 1.0004114⎛⎞+⎜⎟⎝⎠, ...WBAB III ~ Barisan dan Deret1151.Tentukan mana yang merupakan barisan geometri dari barisan berikut.a.2, 4, 8, 16, ...d.1, 12, 14, 18, ...b.1, 3, 5, 7, ...e.1, 1, 1, 1, ...c.1.000, 100, 10, 1, ...f.2, 22, 4, 42, ...2.Tentukan rasio dan rumus suku ke-n dari barisan geometri berikut ini.a.128, 64, 32, 16, ...d.3, 6, 12, 24, ...b.1, 1, 1, 1, ...e.10, 100, 1.000, 10.000, ...c.2, 1, 12, 14, ...f.2, 32, 92, 272, ...3.Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ke-10 dari barisan geometri yang disajikandalam bentuk rumus suku ke-n berikut ini.a.un = 3nd.un = 5nb.un = 5 ⋅ 2n 1e.un = 10n 1c.un = (1)nf.un = 12n⎛⎞⎜⎟⎝⎠4.Tiga buah bilangan merupakan tiga suku pertama dari suatu barisan geometri. Jumlahketiga bilangan itu adalah 63 dan hasil kalinya adalah 1.728. Tentukan bilangan-bilangantersebut.5.Tentukan nilai x agar tiga bilangan, x + 4, 3x + 3, dan 7x + 1, merupakan tiga suku pertamadari suatu barisan geometri, kemudian tentukan suku ke-10 dari barisan tersebut.6.Diketahui bahwa banyaknya penduduk Indonesia pada tahun 2000 adalah 220 juta.Setiap tahun penduduk Indonesia bertambah 3%. Berapakah banyaknya pendudukIndonesia pada tahun 2010?7.Sebuah tabungan sebesar Rp1.000.000,00 mendapatkan bunga 10% setiap tahun.Berapakah besarnya tabungan tersebut setelah 10 tahun?8.Sebuah perusahaan pada tahun pertama memproduksi sebanyak 1.000 unit barang.Setiap tahun perusahaan tersebut mengalami penurunan produksi sebesar 10%. Padatahun ke berapakah perusahaan tersebut hanya memproduksi kurang dari 100 unitbarang?3.5Deret GeometriSeperti halnya deret aritmetika diperoleh dari penjumlahan bilangan-bilangandi dalam barisan aritmetika, definisi untuk deret geometri juga serupa.Definisi 3.5.1Jika u1, u2, u3, ... , un, ... merupakan barisan geometri, maka bentuk jumlahan: u1 +u2 + u3 + ... + un + ... disebut deret geometri.Latihan 3.4Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa116Karena bentuk baku barisan geometri dinyatakan dalam bentuk: a, ar, ar2, ar3, ... ,arn-1, ... , maka bentuk baku untuk deret geometri dinyatakan sebagai:a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn 1 + ...Jika jumlah n buah suku pertama deret geometri dinyatakan dengan Sn, maka rumusuntuk Sn adalah:Sn = (1),11narrr−≠− dan r < 1atauSn = (1),11narrr−≠− dan r > 1dengan:Sn: jumlah n buah suku pertamaa: suku pertamar: rasion: nomor sukuRumus jumlah n buah suku pertama tersebut dapat diturunkan dari perhitunganberikut.Sn= a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-2 + arn-1rSn= ar + ar2 + ar3 + ... + arn-2 + arn-1 + arn Sn rSn= a arn(1-r)Sn= a(1 rn)Jadi,Sn = (1),11narrr−≠−Apabila pembilang dan penyebut dari Sn = (1),11narrr−≠− dikalikan dengan 1, diperoleh:Sn = (1),11narrr−≠−Contoh 3.5.1Tentukan S10 dari deret geometri: 3, 6, 12, 24, ... .Penyelesaian:Dari yang diketahui, diperoleh bahwa a = 3 dan rasio r = 2. Jumlah 10 suku pertama darideret ini adalah:S10 = 103(21)21−− = 3(1.024 1) = 3.069WContoh 3.5.2Tiga buah bilangan merupakan barisan geometri, yang jumlahnya sama dengan 65.Jika suku tengahnya sama dengan 15, tentukan bilangan-bilangan tersebut.Penyelesaian:Misalkan bilangan-bilangan tersebut adalah a, ar, ar2. Diketahui bahwa ar = 15 dan a +ar + ar2 = 65, akibatnya a + ar2 = 50 dan a = 15r. Selanjutnya, 15r + 15r = 50 atau 3r + 3r = 10.BAB III ~ Barisan dan Deret117Jadi, diperoleh persamaan: 3r2 10r + 3 = 0 atau (3r 1)(r 3) = 0. Ini berarti, r = 3r ataur = 3.Untuk r = 3r, diperoleh barisan geometri: 45, 15, 5.Untuk r = 3, diperoleh barisan geometri: 5, 15, 45.WContoh 3.5.3Jumlah n suku dari suatu deret adalah Sn = 5n 1.a.Tunjukkan bahwa deret tersebut merupakan deret geometri.b.Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ke-5.Penyelesaian:a.Dari rumus Sn, diperoleh bahwa:Sn = 5n 1 dan Sn 1 = 5n 1 1Dari hubungan un = Sn Sn 1, diperoleh:un = (5n 1) (5n 1 1) = 5n 5n 1 = 5n 1(5 1) = 4 · 5n 1Akibatnya,−−⋅=⋅114545nnnnuu= 5Karena 1nnuu− merupakan bilangan yang tetap, maka deret tersebut merupakan deretgeometri.b.Suku pertama,u1 = 4 · 50 = 4 · 1 = 4.Rasio,r = 1nnuu− = 5.Suku ke-5,u5 = ar5 1 = 4 · 54 = 4 · 625 = 2.500.WContoh 3.5.4Tiap-tiap awal bulan, Ani menabung uang di bank sebesar Rp.100.000,00. Bank tersebutmemberikan bunga sebesar 2% setiap bulan. Pada akhir bulan ke-10, semua uang Anidiambil. Berapakah uang Ani tersebut?Penyelesaian:Uang Ani pada akhir bulan pertama adalah:S1= 100.000 + 2% · 100.000= 100.000 (1 + 0,02)= 100.000 (1,02)Uang Ani pada akhir bulan kedua adalah:S2= 100.000 (1,02)+ 2% · 100.000 (1,02)= 100.000 (1,02) (1 + 0,02)= 100.000 (1,02 + 1,022)Dengan cara serupa diperoleh bahwa uang Ani pada akhir bulan kesepuluh adalah:S10= 100.000 (1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024 + ... + 1,0210)Perhatikan bahwa jumlahan: 1,02 + 1,022 + 1,023 + ... + 1,0210 merupakan deret geometridengan suku pertama, a = 1 dan rasio, r = 1,02.Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa118Tugas MandiriAkibatnya, S10= 100.000 101,02(1,021)1,021−−= 100.000 ⋅ 11,16871542(lihat daftar bunga tabel III)= 1.116.871,54Jadi, jumlah uang Ani pada akhir bulan ke-10 adalah Rp1.116.871,54.WDengan menggunakan paket pengolah angka Microsoft Excel, buatlah tabel kondisikeuangan Ani, pada Contoh 3.5.4, setiap awal bulan dan akhir bulannya.1.Tentukan mana yang merupakan deret geometri dari deret berikut.a.1 + 3 + 9 + 12 + ...d.1 + (1) + 1 + (1) + ...b.4 + 8 + 16 + 32 + ...e.1 + 2 + 3 + 4 + ...c.10 + 100 + 1.000 + 10.000 + ...f.1 + 12 + 14 + 18 + ...2.Tentukan rasio dan suku ke-10 dari deret geometri berikut ini.a.64 + 16 + 4 + 1 + ...d.1 + 14 + 116+ 164 + ...b.1 3 + 9 27 + ...e.1,01 + 1,012 + 1,013 + ...c.5 + 52 + 53 + 54 + ...f.2 + 22 + 4 + 42 + ...3.Suku pertama dan suku ketiga dari suatu deret geometri adalah 81 dan 9. Tentukan sukuke-8 dan jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut.4.Suku ke-4 dan suku ke-9 dari suatu deret geometri adalah 8 dan 256. Tentukan sukupertama, rasio, suku ke-12, dan jumlah 12 suku pertama dari deret tersebut.5.Dari suatu deret geometri diketahui bahwa jumlah dua suku pertama adalah 12 danjumlah empat suku pertama adalah 93. Tentukan suku ke-8 dan jumlah 8 suku pertama.6.Diketahui bahwa jumlah n suku pertama dari suatu deret adalah Sn = 2n 1.a.Buktikan bahwa deret tersebut merupakan deret geometri.b.Berapakah suku pertama, rasio, dan suku ke-8 deret tersebut.7.Tiap-tiap awal bulan, Hasan menabung uang di bank sebesar Rp200.000,00. Bank tersebutmemberikan bunga sebesar 3% setiap bulan. Pada akhir bulan ke-8, semua uang Hasandiambil. Berapakah jumlah uang Hasan tersebut?8.Sebuah perusahaan pada tahun pertama memproduksi sebanyak 1.000 unit barang.Setiap tahun perusahaan tersebut mengalami penurunan produksi sebesar 10%.Berapakah total produksi perusahaan tersebut pada 10 tahun pertama?Latihan 3.5Next >