< PreviousBAB III ~ Barisan dan Deret1193.6Deret Geometri KonvergenPertama-tama kita perhatikan barisan-barisan geometri berikut ini.1.1, 2, 4, 8, ...3.4, 2, 1, 12, ...2.3, 9, 27, 81, ...4.100, 10, 1, 110−, ...-Barisan (1) mempunyai rasio 2, sehingga suku-suku dari barisan tersebut semakinmembesar.-Barisan (2) mempunyai rasio (3) (nilai mutlak dari rasio adalah 3), sehingga nilaimutlak dari suku-suku barisan tersebut juga semakin membesar.-Barisan (3) mempunyai rasio 12, sehingga suku-suku dari barisan tersebut semakinkecil.-Barisan (4) mempunyai rasio 110−, nilai mutlak dari rasio adalah 110, sehingganilai mutlak dari suku-suku barisan tersebut semakin kecil.Barisan (1) dan barisan (2) yang nilai mutlak suku-sukunya semakin membesar disebutbarisan divergen, sedangkan barisan (3) dan (4) yang nilai mutlak suku-sukunyasemakin kecil disebut barisan konvergen. Dari contoh-contoh seperti di atas, dapatdisimpulkan bahwa agar barisan geometri merupakan barisan konvergen, maka nilaimutlak dari rasionya harus lebih kecil 1.Dari barisan konvergen dapat dibentuk deret konvergen. Pada deret konvergen,jumlah semua suku tidak akan melebihi suatu harga tertentu, walaupun banyaknyasuku tak hingga. Sekarang kita perhatikan deret geometri berikut.1 + 111112482n−+++++LLDeret ini mempunyai suku pertama, a = 1 dan rasio, r = 12. Jumlah n suku pertama darideret ini adalah:Sn = 1112112n⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠− = 1212n⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠Diketahui bahwa 112⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 12, 212⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 14, 312⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 18, ... 12n⎛⎞⎜⎟⎝⎠ nilainya semakin kecil jika ndiambil semakin besar. Selisih antara 12n⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dengan 0 dapat diambil sekecil-kecilnya.Deret geometri yang demikian disebut deret konvergen. Dari keterangan di atas, dapatdisimpulkan bahwa suatu deret geometri tak hingga dikatakan konvergen, jika |r| < 1dan r ≠ 0. Jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen ini adalah:S∞ = 1ar−Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa120Contoh 3.6.1Hitunglah jumlah dari deret geometri yang konvergen berikut.a.16 + 8 + 4 + 2 + ...b. 3 2 + 4839−+LPenyelesaian:a.Dari barisan yang diberikan diketahui a = 16 dan r = 12 < 1.Jadi, jumlah dari deret geometri tak hingga tersebut adalah:S∞ = 1ar− = 16112− = 32b.Dari barisan yang diberikan diketahui bahwa a = 3 dan r = 23−.Jadi, jumlah dari deret geometri tak hingga tersebut adalah:S∞ = 1ar− = 392513=⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠WContoh 3.6.2Suku pertama dari suatu deret geometri tak hingga adalah 3 dan jumlahnya sampaitak berhingga suku adalah 6. Carilah rasio, dan kemudian tunjukkan deret geometritak hingga tersebut.Penyelesaian:Diketahui S∞ = 1ar− = 6 dengan a = 3, sehingga diperoleh hubungan: 31r− = 6 ⇔ 6 6r = 3 ⇔ 6r = 3 ⇔ r = 12Jadi, rasio dari deret geometri tak hingga tersebut adalah 12, sedangkan deret yangditanyakan adalah:3 + 32 + 34 + 38 + ...WContoh 3.6.3Rumus suku ke-n dari deret geometri adalah un = 113n−. Tentukan n terkecil sedemikianhingga |S∞ - Sn| < 0,001.BAB III ~ Barisan dan Deret121Penyelesaian:Dari soal tersebut diketahui a = u1 = 1 dan u2 = 13. Akibatnya, rasionya adalah r = 13.Selanjutnya, juga diperoleh:S∞ = 1ar− = 1113− = 32danSn = 1113(1)1113nnarr⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠−⎝⎠=−− = 31123n⎛⎞−⎜⎟⎝⎠Akhirnya,| S∞ Sn| = 32 31123n⎛⎞−⎜⎟⎝⎠ = 1123n−⋅dan |S∞ Sn| < 0,001 ⇔1123n−⋅ < 11.000 ⇔113n− < 1500 ⇔3n 1 > 500 ⇔n 1 > 5(karena 35 = 243 dan 36 = 729) ⇔n > 6Jadi, n terkecil agar |S∞ - Sn| < 0,001 adalah 6.W1.Tunjukkan mana dari deret geometri tak hingga berikut yang konvergen dan mana yangdivergen.a.2 + 1 + 12 + 14 + ...d.16 8 + 4 2 + ...b.1.000 + 100 + 10 + 1 + ...e.10 + 102 + 103 + 104 + ...c.3 + 9 + 27 + 81 + ...f.2 + 22 + 4 + 42 + ...2.Hitunglah S∞ dari deret geometri tak hingga berikut (bila ada) dan berikan penjelasanjika tidak ada.a.6 + 3 + 32 + 34 + ...d.9 3 + 1 13+ ...b.1,01 + (1,01)2 + (1,01)3 + (1,01)4 + ...e.1 + 1 + 13+ 19 + 127 + ...c.105 + 104 + 103 + 102 + ...f.30 + 15 + 172 + 334 + ...Latihan 3.6Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa1223.Rumus suku ke-n dari suatu deret geometri adalah un = 115n+. Tentukan suku pertama,rasio, dan jumlah tak hingga suku dari deret geometri tersebut.4.Suatu deret geometri tak hingga diketahui mempunyai rasio, r = 34 dan jumlah takberhingga sukunya adalah 6. Tentukan suku pertama dan deret geometri tersebut.5.Suatu deret geometri tak hingga mempunyai suku pertama 81 dan suku ke-5 adalah 1.Tentukan rasio dan jumlah tak hingga dari deret geometri tersebut.6.Rumus suku ke-n dari deret geometri adalah un = 134n−. Tentukan n terkecil sedemikianhingga |S∞ - Sn| < 0,001.7.Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 32 m. Setelah memantul di tanah, bola tersebutmencapai ketinggian 34 kali ketinggian sebelumnya, begitu seterusnya. Berapa meterkahjarak yang ditempuh bola tersebut sampai berhenti?8.Di dalam sebuah persegi dengan sisi 8 cm dibuat persegi kedua dengan menghubungkantitik-titik tengah sisi persegi pertama. Kemudian, dibuat persegi ketiga denganmenghubungkan titik-titik tengah sisi persegi kedua, begitu seterusnya. Berapakahjumlah semua luas persegi yang dibuat?3.7Notasi SigmaDi dalam operasi penjumlahan sering dijumpai penjumlahan dari beberapabilangan, sebagai contoh jika kita ingin mengetahui jumlah dari 10 bilangan asli yangpertama, maka kita tuliskan dengan:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10Jika bilangan yang dijumlahkan tidak terlalu banyak, cara penulisan di atas tidak akanmenimbulkan masalah, tetapi jika yang dijumlahkan terlalu banyak, misal 200 bilangan,maka penulisan di atas tidak efisien dan tidak praktis. Untuk kasus ini biasanyapenulisannya disingkat dengan menyisipkan tanda titik tiga .... Sebagai contoh, jikakita akan menuliskan jumlahan 200 bilangan asli yang pertama, maka kita tuliskandengan:1 + 2 + 3 + ... + 200Dengan cara yang sama penulisan 10 bilangan asli ganjil pertama ditulis dengan:1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19dapat disingkat dengan:1 + 3 + 5 + ... + 19Apabila yang dijumlahkan n buah bilangan asli genap pertama, maka penulisansingkatnya adalah:2 + 4 + 6 + ... + 2(n 1) + 2nCara lain untuk menuliskan suatu penjumlahan secara singkat, selain denganmenyisipkan tanda titik tiga ... adalah dengan menggunakan tanda sigma atau notasisigma. Tanda sigma dituliskan dengan lambang ∑. Lambang ini merupakan hurufbesar Yunani dari perkataan asing Sum yang artinya jumlah. Tanda sigma banyakdijumpai pada pelajaran-pelajaran lain, seperti pada ekonomi dan fisika.BAB III ~ Barisan dan Deret123Ketentuan umum penggunaan notasi sigma didasarkan pada definisi berikut.1niia=∑ = a1 + a2 + a3 + ... + anyang dibaca dengan jumlah ai untuk i = 1 sampai i = n.dengan: i adalah indeks penjumlahan 1 adalah indeks pertama n adalah indeks terakhir, dengan n adalah bilangan bulat positifCatatan:1.Indeks pertama dalam notasi sigma tidak harus 1 dan indeks terakhir bolehtak hingga (lihat pada deret geometri tak hingga).2.Sebelum menuliskan penjumlahan ke dalam notasi sigma perlu ditentukanlebih dahulu rumus umum suku ke-n dan indeks pertama serta indeksterakhir.Jika nilai ai di dalam notasi sama, untuk setiap i = 1, 2, ... , n, katakan a, maka:1niia=∑ = a + a + a + ... + a = naDalam hal ini, kita juga sering menggunakan notasi sigma dengan tidakmenggunakan indeks, sebagai contoh:123niin=++++∑LContoh 3.7.1Nyatakan ke dalam notasi sigma dari beberapa penjumlahan berikut.a.u1 + u2 + u3 + ... + u100c. a + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + a25b.2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2d. 1,01 + 1,012 + 1,013 + ... + 1,0120Penyelesaian:a.Suku ke-n dari penjumlahan tersebut adalah un, indeks pertama 1, dan indeksterakhir adalah 100. Jadi,u1 + u2 + u3 + ... + u100 = =∑1001iiub.Suku ke-n dari penjumlahan tersebut adalah 2, indeks pertama 1, dan indeks terakhiradalah 8. Jadi,2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = =∑812ic.Suku ke-n dari penjumlahan tersebut adalah an, indeks pertama 1, dan indeksterakhir adalah 25. Jadi,a + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + a25 = =∑251iiaMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa124d.Suku ke-n dari penjumlahan tersebut adalah 1,01n, indeks pertama 1, dan indeksterakhir adalah 20. Jadi,1,01 + 1,012 + 1,013 + ... + 1,0120 = =∑201(1,01)iiWContoh 3.7.2Tuliskan notasi sigma berikut ke dalam bentuk penjumlahan biasa.a.51(53)ii=+∑b. 7213ii=∑c. 10111,02ii=∑Penyelesaian:a.51(53)ii=+∑= [5(1) + 3] + [5(2) + 3] + [5(3) + 3] + [5(4) + 3] + [5(5) + 3]= 8 + 13 + 18 + 23 + 28b.7213ii=∑= 234567111111333333+++++c.10111,02ii=∑= 231011111,021,021,021,02++++LWUntuk menentukan nilai suatu penjumlahan perlu diingat kembali rumusjumlah suatu deret. Jika deretnya merupakan deret aritmetika, maka rumus jumlah nsuku pertama adalah:Sn = ()2nnau+dengan a menyatakan suku pertama dari deret aritmetika tersebut dan un suku ke-ndari deret itu. Selanjutnya, jika deretnya merupakan deret geometri, maka rumusjumlah n suku pertamanya adalah:Sn = (1),11narrr−≠− atau Sn = (1),11narrr−≠−dengan a menyatakan suku pertama dan r merupakan rasio dari deret geometri tersebut.Akhirnya, jika deretnya merupakan deret geometri tak hingga yang konvergen, makajumlah tak hingga sukunya adalah:S∞ = 1ar−Contoh 3.7.3Tuliskan notasi sigma berikut ke dalam penjumlahan biasa, dan kemudian hitunglahhasilnya.a.521(1)ii=+∑c.5123nn−=∑b.251(21)kk=+∑d.112ik∞=∑BAB III ~ Barisan dan Deret125Penyelesaian:a.521(1)ii=+∑ = 2 + 5 + 10 + 17 + 26 = 60b.251(21)kk=+∑ = 3 + 5 + 7 + ... + 51Jumlahan ini merupakan deret aritmetika dengan suku pertama = 3, beda = 2, banyaksuku = 25, dan suku terakhir = 51, sehingga hasil jumlahan tersebut adalah:S25 = ()2535125272+=⋅= 675c.5123nn−=∑ = 3 + 32 + 33 + 34Jumlahan ini merupakan deret geometri dengan a = 3, r = 3, dan n = 4, sehingga hasiljumlahan tersebut adalah:S9 = 43(31)31−− = ⋅3802 = 120d.112ik∞=∑ = 23111222+++LJumlahan ini merupakan deret geometri tak hingga dengan a = 12 dan r = 12, sehinggajumlah tak hingga dari deret geometri ini adalah:S∞ = 1ar− = 12112− = 1WContoh 3.7.4Hitunglah:a.101ii=∑b. 1021ii=∑c. 1032ii=∑Penyelesaian:a.101ii=∑ = 10(101)2+ = 55b.1021ii=∑ = 10(101)(201)6++ = 385c.1032ii=∑ = 1031ii=∑ 13 = 210(101)2+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1 = 3.025 1 = 3.024WMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa126Latihan 3.7Dengan kenyataan bahwa operasi penjumlahan bersifat linear, maka dapatditunjukkan notasi sigma juga bersifat linear, berarti notasi sigma mempunyai sifat-sifat:1.11nniiiikaka===∑∑2. 111()nnniiiiiiiabab===+=+∑∑∑1.Nyatakan jumlahan berikut ke dalam notasi sigma.a.1 + 2 + 3 + ... + 99d.2 4 + 6 8 + ... 100b.1 + 3 + 5 + ... + 99e.c3 + c5 + c7 + ... + c79c.1 + 12 + 13 + ... + 150f.f(x1) + f(x2) + f(x3) + ... + f(x20)2.Nyatakan notasi sigma berikut ke dalam penjumlahan biasa, dan kemudian tentukanhasil penjumlahannya.a.51(21)kk=−∑d.611(1)3nii−=−∑b.621(1)nn=+∑e.51(10,02)jj=+∑c.5231kkk==∑+f.61253kk−=∑3.Selidiki deret-deret berikut apakah merupakan deret aritmetika, deret geometri, atauderet tak hingga, kemudian tentukan jumlah dari deret tersebut.a.201(31)kk=−∑d.10113ik=∑b.8125nn−=∑e.1135nn∞+=∑c.123(23)kk=−∑f.101(1,03)jj=∑4.Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikan bahwa:a.1nii=∑ = 1 + 2 + 3 + ... + n = (1)2nn+b.31nii=∑ = 13 + 23 + 33 + + n3 = 2(1)2nn+⎡⎤⎢⎥⎣⎦c.20(1),11nnknkararaarararrr=−=++++=≠∑−LBAB III ~ Barisan dan Deret1275.Hitunglah:a.101(3)iii=−∑b.1001(23)ii=−∑c.101(1)(23)kkk=++∑d.10322(2)iii=−∑3.8Pembuktian dengan Induksi MatematikaPada subbab ini kita akan membahas kebenaran rumus untuk jumlah dari nbilangan asli pertama, jumlah dari n kuadrat bilangan asli pertama, dan jumlah npangkat tiga bilangan asli pertama, yaitu:1.1nii=∑ = 1 + 2 + 3 + ... + n = (1)2nn+2.21nii=∑ = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = (1)(21)6nnn++3.31nii=∑ = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 2(1)2nn+⎡⎤⎢⎥⎣⎦Untuk rumus-rumus yang kebenarannya berlaku untuk setiap bilangan asli,kita dapat membuktikan bahwa rumus-rumus ini benar dengan menggunakan PrinsipInduksi Matematika, yang mengatakan bahwa jika {Pn} merupakan barisan pernyataanyang memenuhi kondisi:(i)P1 adalah pernyataan benar(ii)kebenaran Pi mengakibatkan kebenaran Pi + 1maka Pn adalah pernyataan benar untuk semua bilangan asli n.Sekarang kita akan menggunakan prinsip induksi matematika untukmembuktikan rumus (2). Untuk setiap bilangan asli n, misalkan Pn adalah pernyataan:Pn : 12 + 22 + 32 + ... + n2 = (1)(21)6nnn++Kita perhatikan bahwa:P1: 12 = 1(11)(21)6++merupakan pernyataan yang benar.Sekarang diasumsikan bahwa Pi merupakan pernyataan benar, sehingga berlaku:Pi: 12 + 22 + 32 + ... + i2 = (1)(21)6iii++Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa128Latihan 3.8Dengan kebenaran Pi, kemudian ditunjukkan bahwa Pi +1 juga benar. Perhatikan bahwa: 12 + 22 + 32 + ... + i2 + (i + 1)2 = (1)(21)6iii++ + (i + 1)2 = (i + 1) 22666iii+++ = (i + 1) 22766ii++ = (1)(2)(23)6iii+++Jadi, Pi + 1 juga benar. Akibatnya, dengan menggunakan prinsip induksi matematika,maka dapat disimpulkan bahwa Pn adalah pernyataan benar untuk semua bilanganasli n.1.Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikan bahwa:a.2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)d.13 + 23 + 33 + ... + n3 = 2(1)2nn+⎡⎤⎢⎥⎣⎦b.1 + 3 + 5 + ... + (2n 1) = n2e.2 + 22 + 23 + ... + 2n = 2(2n 1)c.1 + 2 + 3 + ... + n = (1)2nn+f.a + ar + ar2 + ... + arn = (1)1narr−−, r ≠ 12.Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikan bahwa:a.32n 1 habis dibagi 8 untuk setiap bilangan asli nb.52n 1 habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli nc.n (n + 1) (n + 2) habis dibagi 6 untuk setiap bilangan asli nd.n2 (n + 1)2 habis dibagi 4 untuk setiap bilangan asli ne.34n 1 habis dibagi 80 untuk setiap bilangan asli n3.Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikan bahwa:a.11(21)(21)21nknkkn==∑−++c.11(32)(31)31nknkkn==∑−++b.1(53)(51)2nknnk=+−=∑4.Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikan bahwa:a.nnabab−− = an-1 + an-2b + an-3b2 + ... + abn-2 + bn-1b.2121nnabab++++ = a2n a2n-1b + a2n-2b2 + ... + ab2n-1 + b2nc.sin22sinnαα = cos α + cos 3α + cos 5α + ... + cos (2n 1) α.Next >