< PreviousBAB III ~ Barisan dan Deret1295.Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikan bahwa:a.2n ≥ n untuk setiap bilangan asli nb.2n ≥ 2n untuk setiap bilangan asli nc.3n ≥ 2n + 1 untuk setiap bilangan asli n.3.9Aplikasi Deret Aritmetika dan GeometriDi dalam subbab ini akan dibahas beberapa permasalahan di dalam kehidupansehari-hari yang model matematikanya berupa deret aritmetika atau deret geometri.Permasalahan ISeorang buruh di sebuah perusahaan menerima gaji permulaan Rp800.000,00 per bulan.Setiap bulan dia mendapatkan kenaikan gaji sebesar Rp10.000,00. Tuliskan sebuah deretuntuk menunjukkan jumlah pendapatan dalam sepuluh bulan pertama dan jumlahkanderet-deret itu?Pembahasan:Pendapatan buruh tersebut merupakan barisan aritmetika dengan:gaji permulaan = a= 800.000besar kenaikan gaji = b= 10.000sehingga deret aritmetika yang diperoleh adalah:800.000 + 810.000 + 820.000 + ... +890.000danS10 = 102(2 · 800.000 + (10 1) 10.000) = 5(1.600.000 + 90.000) = 8.450.000Jadi, jumlah pendapatan buruh tersebut dalam sepuluh bulan pertama adalahRp8.450.000,00.Permasalahan IIPada awal tahun 2005, Tuan Adi Prabowo menabung uang di bank sebesarRp10.000.000,00. Setiap tahun Tuan Adi Prabowo mendapatkan bunga 10% dari sisatabungan terakhir dan bunga tersebut selalu menambah tabungan terakhir. Berapabesarnya tabungan Tuan Adi Prabowo pada tahun 2015?Pembahasan:Kita tidak dapat menggunakan pengertian deret aritmetika ataupun deret geometriuntuk menyelesaikan kasus di atas. Untuk kasus yang terakhir ini akan dijelaskandalam uraian berikut.3.9.1Bunga Tunggal dan Bunga MajemukDi dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai transaksi pinjam-meminjam uang, baik itu lewat bank ataupun lewat perorangan langsung.Terdapat beberapa model aturan yang diberlakukan di dalam proses pinjam-meminjam tersebut. Sebagai contoh, Pak Hasan meminjam uang kepada Pak Alisebesar Rp1.000.000,00. Kedua pihak telah membuat kesepakatan bahwa setiapbulan Pak Hasan akan memberikan bunga sebesar Rp100.000,00. Berapa yangharus dikembalikan Pak Hasan, jika dia dapat melunasi utangnya dalam 10bulan pertama? Tentu Pak Hasan harus mengembalikan pinjaman besertabunganya sebesar Rp1.000.000,00 + Rp100.000,00 + Rp100.000,00 + Rp100.000,00+ ... + Rp100.000,00 (dengan Rp100.000,00 sebanyak 10 suku).Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa130Apabila dituliskan dengan notasi sigma adalah: 1.000.000 + 101100.000i=∑ = 1.000.000 + 10 · 100.000 = 1.000.000 + 1.000.000 = 2.000.000Perhitungan bunga semacam ini disebut perhitungan bunga tunggal atau bungatetap. Jadi, yang dimaksud dengan bunga tunggal adalah bunga yang diberikansetiap jangka waktu pinjaman tertentu yang besarnya tetap. Sekarangbandingkan dengan permasalahan berikut. Ibu Yuli menabung uang di sebuahbank sebesar Rp1.000.000,00. Setiap bulan ibu Yuli mendapatkan bunga sebesar2% dari sisa tabungan terakhir dan bunga selalu ditambahkan ke sisa tabunganterakhir. Berapa besar tabungan ibu Yuli setelah sepuluh bulan pertama?1.Setelah 1 bulan, tabungan tersebut akan menjadi:1.000.000 + 2% · 1.000.000 = 1.000.000 (1 + 2%)2.Setelah 2 bulan, tabungan tersebut akan menjadi:1.000.000 (1 + 2%) + 2% · 1.000.000 (1 + 2%) = 1.000.000 (1 + 2%)23.Setelah 3 bulan, tabungan tersebut akan menjadi:1.000.000 (1 + 2%)2 + 2% · 1.000.000 (1 + 2%)2 = 1.000.000 (1 + 2%)3MM10.Setelah 10 bulan, tabungan tersebut akan menjadi:1.000.000 (1 + 2%)9 + 2% · 1.000.000 (1 + 2%)9 = 1.000.000 (1 + 2%)10Perhitungan bunga semacam ini disebut perhitungan bunga majemuk.Jadi, sebuah modal dikatakan diberi bunga majemuk jika setiap bunga yangdidapat pada setiap jangka waktu peminjaman terus digabungkan padamodalnya untuk juga mendapatkan bunga.a.Mencari Besar Modal TerakhirBerikut ini diberikan rumus umum untuk suatu modal yang diberikanbunga majemuk sesudah n periode pinjaman. Jika sebuah modal M rupiahdibungakan secara bunga majemuk dengan bunga p% setiap tahun, maka:1)Sesudah 1 tahun, modal tersebut akan menjadi:M + 100p M = M 1100p⎛⎞+⎜⎟⎝⎠2)Sesudah 2 tahun, modal tersebut akan menjadi: M1100p⎛⎞+⎜⎟⎝⎠ + 100pM 1100p⎛⎞+⎜⎟⎝⎠= 11100100ppM⎛⎞⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠= 21100pM⎛⎞+⎜⎟⎝⎠3)Sesudah 3 tahun, modal tersebut akan menjadi: 2211100100100pppMM⎛⎞⎛⎞+++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠= 211100100ppM⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠= 31100pM⎛⎞+⎜⎟⎝⎠BAB III ~ Barisan dan Deret131Akhirnya setelah n tahun, modal tersebut akan menjadi:Mn = 1100npM⎛⎞+⎜⎟⎝⎠Jika dimisalkan i = 100p, maka besarnya modal setelah n tahun adalah:Mn = M(1 + i)nUntuk perhitungan (1 + i)n dapat digunakan daftar logaritma atau daftar Iyang terdapat dalam daftar bunga. Jika digunakan daftar logaritma, makaketelitiannya hanya terbatas empat angka di belakang koma, sedangkanjika digunakan daftar bunga, ketelitiannya sampai delapan angka di belakangkoma. Berikut ini diberikan contoh cara menghitung besar modal setelah nperiode pinjaman.Contoh 3.9.1Sebuah modal sebesar Rp4.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk5% untuk setiap tengah tahun. Berapakah besarnya modal itu sesudah10 tahun?Pembahasan:Dari soal tersebut diketahui bahwa:M= Rp4.000.000,00i= 5% tiap tengah tahunn= 20 (karena 10 tahun = 20 periode bunga)Cara Idigunakan daftar logaritmaModal sesudah 10 tahun (= 20 periode bunga) adalah: M20= 4.000.000 (1 + 0,05)20⇔ log M20= log 4.000.000 + 20 log (1,05)⇔ log M20= 6 + log 4 + 20 (0,0212) (lihat daftar logaritma)⇔ log M20= 6 + 0,6021 + 0,4240⇔ log M20= 7,0261⇔ M20= 10.619.400,5 (lihat daftar antilogaritma)Jadi, besarnya modal setelah 10 tahun adalah Rp10.620.000,00.Cara IIdigunakan daftar bungaModal sesudah 10 tahun (= 20 periode bunga) adalah:M20 = 4.000.000 (1 + 0,05)20 = 4.000.000 (1,05)20 = 4.000.000 (2,65329771)(lihat daftar bunga) = 10.613.190,84Jadi, besarnya modal tersebut setelah 10 tahun adalahRp10.613.190,84.WMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa132Contoh 3.9.2Suatu modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan selama 3 tahun 3 bulandengan bunga majemuk 5% untuk setiap setengah tahun. Berapakah nilaiakhir modal tersebut?Penyelesaian:Dari soal tersebut diketahui bahwa:M=Rp1.000.000,00i=5% tiap tengah tahunn=126 (karena 3 tahun 3 bulan = 126 periode bunga)Di sini n diambil 6 terlebih dahulu, kemudian dihitung dengan daftar bunga,sedangkan yang 12 dihitung dengan bunga tunggal.Modal tersebut setelah 3 tahun (6 periode bunga) adalah:M6= 1.000.000 (1 + 0,05)6= 1.000.000 (1,05)6= 1.000.000 (1,34009564)(lihat daftar bunga)= 1.340.095,64Modal tersebut setelah 3 tahun 3 bulan (126 periode bunga) adalah:126M= M6 + 12 · 5% · M6= 1.340.095,64 + (0,5)(0,05)(1.340.095,64)= 1.340.095,64 + 33.502,391= 1.373.598,031Jadi, modal tersebut setelah 3 tahun 3 bulan adalah Rp1.373.598,031.WCatatan:Jika suatu modal M dibungakan dengan dasar bunga majemuk p% perperiode bunga, sedangkan jangka waktunya adalah (n + r) periodebunga, dengan 0 < r < 1, maka:Mn + r= Mn + r · p% · Mn= Mn (1 + r · p%)= M(1 + p%)n (1 + r · p%)Selanjutnya, jika p% = i, maka modal terakhir setelah dibungakan(n + r) periode bunga adalah: Mn + r = M(1 + i)n (1 + r · i)b.Mencari Besar Suku BungaDari hubungan Mn = M(1 + i)n, jika tiga unsur dari Mn, M, i, dan ndiketahui, maka satu unsur yang lain dapat dicari. Jadi, jika suatu modalawal diketahui dan setelah jangka waktu tertentu diketahui nilai akhirmodalnya, maka besar persentase bunga dapat dicari.BAB III ~ Barisan dan Deret133Berikut ini diberikan contoh cara menentukan besarnya persentase bunga.Contoh 3.9.3Suatu modal yang besarnya Rp2.000.000,00 dibungakan dengan dasar bungamajemuk. Sesudah 5 bulan modal itu menjadi Rp2.500.000,00. Berapakahbesar suku bunga per bulan?Penyelesaian:Dari soal tersebut diketahui bahwa:M= Rp2.000.000,00n= 5M5= Rp2.500.000,00Dari rumus Mn = M(1 + i)n, diperoleh:2.500.000 = 2.000.000 (1 + i)5 ⇔ (1 + i)5 = 2.500.0002.000.000 ⇔ (1 + i)5 = 54⇔ 5 log (1 + i)= log 5 log 4⇔ 5 log (1 + i)= 0,6990 0,6021⇔ 5 log (1 + i)= 0,0969⇔ log (1 + i)= 0,0194⇔ (1 + i)= 1,046⇔ i= 0,046Jadi, besar persentase bunganya adalah 4,6% per bulan.Wc.Mencari Lama Suatu Modal DibungakanJika unsur M, i, dan Mn dari Mn = M(1 + i)n diketahui, maka kita dapatmenentukan n. Jika nilai n tidak bulat, maka kita dapat menggunakan rumusinterpolasi, tetapi dapat juga dihitung dengan cara bunga tunggal untuksisa dari n yang terdekat yang telah diketahui dari daftar bunga.Contoh 3.9.4Dalam berapa tahunkah modal Rp2.000.000,00 menjadi Rp3.650.000,00dengan besar bunga 2% tiap 6 bulan?Penyelesaian:Dari soal tersebut diketahui bahwa:M= Rp2.000.000,00Mn= Rp3.650.000,00i= 2%Dari rumus Mn = M(1 + i)n, diperoleh:3.650.000 = 2.000.000 (1 + 2%)n ⇔ (1 + 2%)n = 3.650.0002.000.000 = 1,8250Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa134Jika dilihat dalam daftar bunga akan didapat 30 < n < 31. Jika n = 30, maka:M30= 2.000.000 (1 + 2%)30= 2.000.000 (1.81136158)= 3.622.723,16Padahal diketahui Mn = Rp3.650.000,00. Jadi, kelebihan bunga Rp27.276,84ini dihitung dengan cara bunga tunggal. Misalkan kelebihannya x hari, makabunga dalam x hari = 3.622.723,16⋅2100180x = 27.276,84sehingga diperoleh x = 65 (dibulatkan)Jadi, modal di atas dibungakan selama 30 tengah tahun dan 65 hari atau15 tahun 65 hari.Wd.Mencari Nilai TunaiDari rumus Mn = M(1 + i)n, jika diketahui Mn, i, dan n, maka kita dapatmenentukan besarnya modal awal atau nilai tunai M, yaitu:M = ()1nnMi+Di sini M adalah harga modal pada permulaan perhitungan, sehingga seringdisebut dengan nilai tunai atau harga kontan. Untuk selanjutnya, nilai tunaiM sering dituliskan dengan Nt dan besarnya Mn sudah diketahui, sehinggaindeks n tidak perlu lagi. Akibatnya, kita dapat menuliskan Mn dengan Msaja. Jadi, rumus untuk nilai tunai sering dituliskan dengan:Nt = ()1nMi+ atau Nt = ()11nMi+Dengan ()11ni+ untuk beberapa nilai i dan beberapa nilai n yang bulat dapatdilihat pada daftar bunga.Berikut ini diberikan suatu contoh untuk menghitung nilai tunai suatupinjaman jika besar pinjaman, suku bunga, dan lamanya pinjamandiketahui.Contoh 3.9.5Carilah nilai tunai suatu pinjaman sebesar Rp1.000.000,00 yang harusdibayar setelah 5 tahun kemudian, jika besarnya suku bunga adalah 5%setiap tahun?Penyelesaian:Dari soal tersebut diketahui bahwa:M = Rp1.000.000,00 i = 5% n = 5sehingga nilai tunai pinjaman tersebut adalah: Nt = ()11nMi+BAB III ~ Barisan dan Deret135= 511.000.0001,05= 1.000.000 · 0,78352617= 783.526,17Jadi, nilai tunai dari pinjaman sebesar Rp1.000.000,00 yang harus dibayar5 tahun kemudian adalah Rp783.526,17.W3.9.2AnuitasYang dimaksud dengan anuitas adalah jumlah pembayaran secaraperiodik yang tetap besarnya dan di dalamnya sudah terhitung pelunasan utangdan bunganya. Hal ini berarti anuitas terdiri atas dua bagian, yaitu bagianyang digunakan untuk melunasi pinjaman yang disebut angsuran dan bagianuntuk membayar bunga. Dalam setiap anuitas, jumlah angsuran dan bungaselalu tetap. Untuk memperjelas pengertian anuitas di atas, perhatikan contohberikut ini.Contoh 3.9.6Pinjaman sebesar Rp1.000.000,00 akan dilunasi dalam lima anuitas tahunan.Anuitas pertama dibayar satu tahun setelah penerimaan pinjaman denganbunga 4% per tahun. Tentukan besarnya tiap anuitas tersebut.Penyelesaian:Misalkan besarnya anuitas adalah A. Jadi, pada saat:a.Anuitas ke-1,sisa pinjaman tinggal:1.000.000 (1,04) Ab.Anuitas ke-2,sisa pinjaman tinggal:{1.000.000(1,04) A} (1,04) A = 1.000.000 (1,04)2 A(1,04) Ac.Anuitas ke-3,sisa pinjaman tinggal: {1.000.000 (1,04)2 A(1,04) A} (1,04) A = 1.000.000 (1,04)3 A(1,04)2 A(1,04) Ad.Anuitas ke-4,sisa pinjaman tinggal: {1.000.000 (1,04)3 A(1,04)2 A(1,04) A} (1,04) A = 1.000.000 (1,04)4 A(1,04)3 A(1,04)2 A(1,04) Ae.Anuitas ke-5,sisa pinjaman tinggal:{1.000.000 (1,04)4 A(1,04)3 A(1,04)2 A(1,04) A} (1,04) A= 1.000.000 (1,04)5 A(1,04)4 A(1,04)3 A(1,04)2 A(1,04) APada saat anuitas ke-5 pinjaman sudah lunas, sehingga sisa pinjaman samadengan nol. Jadi, diperoleh hubungan:1.000.000 (1,04)5 A(1,04)4 A(1,04)3 A(1,04)2 A(1,04) A = 0⇔ 1.000.000 (1,04)5 = A(1,04)4 + A(1,04)3 + A(1,04)2 + A(1,04) + AMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa136⇔ 1.000.000 = ()()()()2345111111,041,041,041,041,04A⎧⎫⎪⎪++++⎨⎬⎪⎪⎩⎭⇔ 1.000.000 = ()5111,04nnA=∑⇔ A = ()5111.000.00011,04nn=∑⇔ A = 1.000.000 (0,22462711)(lihat daftar bunga)⇔ A = 224.627,11Jadi, besarnya anuitas adalah Rp224.627,11.WDengan memperhatikan Contoh 3.9.6, sekarang akan diturunkan rumusumum untuk mencari besarnya anuitas yang harus dibayar setiap periodebunga. Jika pinjaman sebesar M akan dilunasi dengan n kali anuitas, dan anuitaspertama dibayar setelah satu periode bunga dengan suku bunga yangdiberlakukan adalah p% = i, maka besarnya anuitas adalah:A = ()1111nkkMi=∑+Contoh 3.9.7Sebuah pinjaman sebesar Rp2.000.000,00 dilunasi dalam 8 anuitas, tiap satutahun. Anuitas pertama dibayar setelah 1 tahun pinjaman. Tentukan besaranuitas itu, jika suku bunga yang berlaku 4% per tahun.Penyelesaian:Dari soal tersebut diketahui:M = Rp2.000.000,00i = 0,04n = 8Besarnya anuitas adalah:A= ()1111nkkMi=∑+= ()8112.000.00011,04kk=∑= 2.000.000 (0,14852783)(lihat daftar bunga)= 297.055,66Jadi, besarnya anuitas adalah Rp297.055,66.WBAB III ~ Barisan dan Deret137Seperti telah dijelaskan di awal subbab ini, dalam setiap anuitas sudahtermasuk di dalamnya pelunasan pinjaman dan pembayaran bunga. Karenadiberlakukan bunga majemuk, maka bunga dihitung berdasarkan sisa pinjaman.Dengan demikian, pembayaran bunga dalam tiap anuitas tidak akan samabesarnya, demikian juga bagian pelunasan pinjaman. Pembayaran bunga dalamtiap anuitas semakin lama semakin kecil dan bagian pelunasan pinjaman makinlama makin besar. Pertanyaan berikutnya, bagaimana mencari rumus umumuntuk pelunasan?Berikut ini diberikan cara mencari besarnya pelunasan setiap anuitas.Misalkan besarnya pinjaman adalah M dan besarnya anuitas A, serta suku bungayang berlaku i = p%. Jika pelunasan pada anuitas ke-1 = a1, pelunasan pada anuitaske-2 = a2, pelunasan pada anuitas ke-3 = a3, dan seterusnya, maka:1.Pada akhir tahun ke-1 (pada anuitas 1),A = a1 + iM dan sisa pinjaman = M a12.Pada akhir tahun ke-2,A = a2 + i(M a1) dan sisa pinjaman = M a1 a23.Pada akhir tahun ke-3,A = a3 + i(M a1 a2) dan sisa pinjaman = M a1 a2 a3dan seterusnya.Dari persamaan-persamaan di atas, diperoleh hubungan: a1 + iM = a2 + i(M a1) ⇔ a1 + iM = a2 + iM ia1⇔ a1 = a2 ia1⇔ a2 = a1 + ia1⇔ a2 = a1(1 + i)dan a2 + i(M a1) = a3 + i(M a1 a2) ⇔ a2 + iM ia1 = a3 + iM ia1 ia2⇔ a2 = a3 ia2⇔ a3 = a2 + ia2⇔ a3 = a2(1 + i)⇔ a3 = a1(1 + i) (1 + i) karena a2 = a1(1 + i)⇔ a3 = a1(1 + i)2.Dengan cara serupa dapat ditarik kesimpulan bahwa rumus umum untukpelunasan adalah:an = an 1 (1 + i) atau an = a1(1 + i) n 1Contoh 3.9.8Seseorang mempunyai pinjaman uang sebesar Rp1.000.000,00 yang akandilunasi dalam 12 anuitas tahunan. Anuitas pertama dibayar setahun setelahpenerimaan pinjaman. Suku bunga yang berlaku 3% setiap tahun. Tentukan:a.besarnya anuitasb.besarnya pelunasan pinjaman dalam anuitas ke-9c.besarnya sisa pinjaman setelah anuitas ke-9Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa138Penyelesaian:a.Dari soal tersebut diketahui:M = Rp1.000.000,00i = 0,03n = 12.Besarnya anuitas diperoleh dengan rumus, yaitu: A = ()1111nkkMi=∑+ = ()12111.000.000110,03kk=∑+ = 1.000.000 (0,10046209) = 100.462,09Jadi, besarnya anuitas adalah Rp100.462,09.b.Bunga dalam anuitas pertama adalah: b1 = 3% × 1.000.000 = 30.000Pelunasan pinjaman dalam anuitas pertama adalah: a1 = A b1 = 100.462,09 30.000 = 70.462,09Akibatnya, pelunasan pinjaman dalam anuitas ke-9 adalah: a9 = a1 (1 + i)91 = 70.462,09 (1,03)8 = 70.462,09 (1,26677008) = 89.259,27Jadi, besarnya pelunasan pada anuitas ke-9 adalah Rp89.259,27.c.Untuk mencari sisa pinjaman setelah anuitas ke-9, dicari lebih dahulu besarbunga pada anuitas ke-10. Padahal besar bunga pada anuitas ke-10 samadengan anuitas dikurangi pelunasan ke-10. Jadi, langkah yang pertama harusdicari lebih dahulu adalah pelunasan ke-10.a10 = a1 (1 + i)101 = 70.462,09 (1,03)9 = 70.462,09 (1,30477318) = 91.937,05b10 = A a10 = 100.462,09 91.937,05 = 8.525,04Bunga pada anuitas ke-10 (b10) ini dihitung dari sisa utang setelah anuitaske-9. Akibatnya,b10 = 3% · sisaSisa = 1003b10 = 10038.525,04Next >