< PreviousBAB III ~ Barisan dan Deret139 = 8.525,04 = 284.168Jadi, sisa pinjaman setelah anuitas ke-9 adalah Rp284.168,00.W1.Carilah nilai akhir sebuah modal sebesar Rp1.000.000,00 yang dibungakan dengan bungamajemuk dalam waktu 10 tahun, jika diperhitungkan bunga 6% per tahun.2.Modal Rp5.000.000,00 dibungakan dengan dasar bunga majemuk per tahun. Setelah10 tahun, modal tersebut menjadi Rp7.500.000,00. Berapa persen suku bunganya?3.Sebuah modal ditabung di bank selama 5 tahun dengan suku bunga majemuk sebesar6% per setengah tahun. Jika modal tersebut menjadi Rp1.250.000,00, berapakah modalawalnya?4.Modal disimpan pada sebuah bank selama 5 tahun dengan bunga majemuk 123% pertahun dan kemudian dipindahkan ke bank lain dengan suku bunga 4% per tahun selama6 tahun. Akhirnya modal tersebut menjadi Rp7.513.900,00. Berapakah besar modalawal yang disimpan tersebut?5.Sebuah utang sebesar Rp15.000.000,00 dengan bunga 4% dilunasi dengan 12 anuitas.Hitunglah besarnya tiap-tiap anuitas.6.Sebuah pinjaman sebesar Rp25.000.000,00 akan diangsur dengan anuitas tahunan.Besarnya tiap anuitas Rp210.000,00. Berapakah lama pinjaman itu diangsur, jika sukubunga yang berlaku adalah 3% per tahun?7.Sebuah pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan 10 anuitas tahunan.Anuitas pertama dibayar setelah 1 tahun. Suku bunga yang berlaku 5% per tahun.Tentukan besar tiap anuitas dan sisa utang setelah dibayar anuitas ke-8.1.Barisan dan Deret Aritmetikaa.Pengertian Barisan AritmetikaBarisan u1, u2, u3, ... disebut barisan aritmetika, jika berlaku b = un un 1 samauntuk setiap bilangan asli n. Selanjutnya b dinamakan beda dari barisantersebut.b.Rumus Suku ke-n Barisan AritmetikaJika a merupakan suku pertama, b merupakan beda, dan un suku ke-n, maka:un = a + (n 1)bLatihan 3.9RangkumanMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa140c.Deret AritmetikaJika u1, u2, u3, ... merupakan barisan aritmetika, maka u1 + u2 + u3 + ... disebut deretaritmetika. Jika a merupakan suku pertama, b merupakan beda, dan Sn merupakanjumlah n suku pertama, maka:()[]212nanb+−2.Barisan dan Deret Geometria.Pengertian Barisan GeometriBarisan u1, u2, u3, ... disebut barisan geometri, jika berlaku r = 1nnuu− sama untuksetiap bilangan asli n. Selanjutnya r dinamakan rasio dari barisan geometritersebut.b.Rumus Suku ke-n Barisan GeometriJika a merupakan suku pertama, r merupakan rasio, dan un suku ke-n, maka:un = arn 1c.Deret GeometriJika u1, u2, u3, ... merupakan barisan geometri, maka u1 + u2 + u3 + ... disebut deretgeometri. Jika a merupakan suku pertama, r merupakan rasio, dan Sn merupakanjumlah n suku pertama maka:()−=−11nnarSrd.Deret geometri tak hinggaAgar suatu deret geometri tak hingga konvergen, maka |r| < 1 dan jumlahnyaadalah:1aSr∞=−3.Notasi Sigma121...nniiuuuu==+++∑4.Sifat-sifat Notasi Sigmaa.1nic=∑ = ncb.1niiku=∑ = 1niiku=∑c.()1niiuvi=+∑ = 11nniiiiuv==+∑∑BAB III ~ Barisan dan Deret141Math Info5.Prinsip Induksi MatematikaMisalkan diberikan suatu pernyataan Pn untuk setiap bilangan asli n. Untukmembuktikan kebenaran pernyataan tersebut dilakukan langkah-langkah sebagaiberikut.a.Dibuktikan Pn benar untuk n = 1. b.Dianggap pernyataan Pn benar untuk n = k, kemudian dibuktikan pernyataan Pnbenar untuk n = k + 1.Banyak nama yang dikaitkan dengan deret tak hingga,antara lain: Newton, Leibniz, Bernaulli, Taylor,Maclaurin, Euler, dan Lagrange, semuanyamenggunakan deret dalam karyanya. Tetapi, Cauchymerupakan orang pertama yang memberikan definisiyang tepat tentang kekonvergenan, kemudian KarlWeierstrass melengkapi sifat-sifat dari deret fungsidan menyusun kebenaran operasi-operasi yang terkaitdengan teori deret, khususnya yang terkait denganintegrasi antara turunan dengan deret dan integraldengan deret. Weierstras adalah seorang pemikirmetodis yang cermat. Ia bekerja dengan keras padakevalidan yang lengkap di semua matematika danmenetapkan pembakuan-pembakuan yang diakui dandigunakan sampai sekarang.Gambar 3.2 Karl WeierstrassSumber: www.wias-berlin.deMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa142A.Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 15, pilihlah satu jawaban yangpaling tepat! Kerjakan di buku tugas Anda!1.Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = 2n + 5. Suku ke-6 daribarisan tersebut adalah ... .A.12D.25B.17E.30C.182.Jika suatu barisan aritmetika diketahui suku pertamanya a = 5 dan beda b = 3,maka suku ke-8 dari barisan aritmetika tersebut adalah ... .A.16D.10B.14E.7C.123.Diketahui barisan aritmetika dengan U5 = 13 dan U10 = 33. Nilai suku pertamadan beda dari barisan aritmetika tersebut adalah ... .A.4 dan 3D.3 dan 4B.4 dan 3E.3 dan 4C.4 dan 34.Diketahui barisan aritmetika dengan jumlah n suku pertamanya adalah Sn =3n2 n. Suku ke-8 dari barisan tersebut adalah ... .A.20D.38B.32E.44C.525.Diketahui barisan aritmetika dengan U8 = 5 dan U3 = 10. Nilai suku pertamabarisan tersebut adalah ... .A.18D.12B.17E.10C.166.Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika dengan jumlah 21. Apabila hasilkali ketiga bilangan tersebut adalah 168, maka selisih antara bilangan terbesardengan yang terkecil adalah ... .A.10D.5B.8E.3C.67.Jika rasio dari suatu barisan geometri adalah 3 dan suku ke-6 adalah 486, makasuku pertama barisan tersebut adalah ... .A.6D.3B.5E.2C.4Uji KompetensiBAB III ~ Barisan dan Deret1438.Tiga buah bilangan merupakan tiga suku pertama dari suatu barisan geometri.Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 21 dan hasil kali tiga bilangan tersebut216. Selisih bilangan terbesar dengan terkecil adalah ... .A.9D.3B.6E.2C.49.Tiga bilangan, p 3, p 1, dan 2p + 1, membentuk tiga suku pertama dari suatubarisan geometri. Jumlah lima suku pertama dari barisan tersebut adalah ... .A.82D.121B.39E.182C.1310.Setiap awal bulan, Susi menabung sejumlah uang di bank dengan besar yangselalu naik. Bulan pertama menabung Rp10.000,00, bulan kedua Rp12.000,00bulan ketiga Rp14.000,00, dan seterusnya. Jumlah tabungan Susi setelah 10bulan tanpa bunga adalah ... .A.Rp28.000,00D.Rp280.000,00B.Rp38.000,00E.Rp380.000,00C.Rp190.000,0011.Jika diketahui bahwa x0, x1, x2, ... , xn adalah titik-titik pada interval [a,b] denganaturan a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, maka nilai dari ()11niiixx−=−∑ adalah ... .A.a + bD.a bB.aE.b aC.b12.Nilai dari deret: 113ii∞=∑ = 23111...333+++ adalah ... .A.13D.1B.12E.3C.2313.Sebuah perusahaan yang memproduksi mainan anak-anak, pada tahunpertama memproduksi 1.000 unit mainan. Setiap tahun perusahaan tersebutmenaikkan produksinya sebesar 10%. Banyaknya produksi perusahaantersebut pada tahun ke-10 dapat dinyatakan sebagai ... .A.1.000 × (1,1)10D.1.000 × (1,1)9B.1.000 × (1,01)10E.10.000C.1.0001014.Diketahui deret geometri: 1 + (2x 5) + (2x 5)2 + ... .Nilai x yang memenuhi agar deret tersebut konvergen adalah ... .A.2 < x < 3D.4 < x < 6B.1 < x < 2E.3 < x < 2C.6 < x < 4Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa14415.Modal sebesar Rp100.000.000,00 diinvestasikan dengan dasar bunga majemuksebesar 8% per tahun. Nilai akhir modal tersebut setelah 10 tahun adalah ...rupiah.A.(100.000.000 × 1,08)9D.(100.000.000 × 1,08)10B.100.000.000 × (1,08)9E.100.000.000 × (1,08)10C.100.000.000 × (1,08)11B.Untuk soal nomor 16 sampai dengan nomor 20, kerjakan dengan langkah-langkah yang tepat!16.Suku ke-n suatu barisan memiliki rumus: Un = 5n3 + 3n2 + 2n 4. Gunakan paketaplikasi pengolah angka MS Excel untuk menentukan:a.suku ke-1 hingga suku ke-100 dari barisan tersebutb.jumlah 100 suku pertama dari barisan tersebut17.Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama 11 dan suku ke-10 adalah16. Tentukan:a.beda dan suku ke-n dari barisan tersebutb.jumlah n suku pertama dari barisan tersebut18.Tentukan hasil dari jumlahan berikut.a.()102125iii=++∑b.()()1011kkiFxFx−=⎡⎤−∑⎣⎦19.Anita menginvestasikan modal sebesar Rp200.000.000,00 di sebuah bank yangmenggunakan sistem bunga majemuk. Jika pihak bank memberikan bungasebesar 10% per tahun, berapakah besar modal setelah 10 tahun?20.Pak Ali meminjam uang sebesar Rp50.000.000,00 di sebuah bank dan akandilunasi dengan anuitas setiap akhir bulan selama 30 bulan. Suku bunga yangberlaku di bank tersebut adalah 121% per bulan.a.Tentukan besar anuitas setiap bulan.b.Tentukan besar angsuran ke-10.c.Buatlah tabel rencana angsuran tersebut dengan menggunakan paketaplikasi pengolah angka Microsoft Excel.1.Maman berutang kepada Yayuk sebesar Rp100.000,00. Maman berjanji untukmengembalikan utangnya setiap bulan Rp10.000,00 ditambah dengan bunganya2% per bulan dari sisa pinjamannya. Berapa jumlah bunga yang dibayarkansampai utangnya lunas?2.Selama 5 bulan berturut-turut, jumlah penduduk Kota Damai berbentuk deretgeometri. Pada tahun terakhir jumlah penduduknya 4 juta, sedangkan jumlahtahun pertama dan ketiga sama dengan 141 juta. Berapakah jumlah pendudukKota Damai pada tahun ke-4?Soal AnalisisBAB III ~ Barisan dan Deret145AktivitasNama: ..................................................Tanggal: .........................................................Kelas: XIIMateri Pokok: Barisan dan DeretKelompok: ..................................................Semester: 2 (dua)Kegiatan: Memotong tali sehingga membentuk barisan aritmetikaTujuan: Menentukan rumus suku ke-n barisan aritmetikaA.Alat dan Bahan yang Digunakan1.Tali rafia dengan panjang 875 cm4.Alat pencatat2.Meteran5.Buku catatan3.GuntingB.Cara Kerja1.Buatlah kelompok yang terdiri dari 4 atau 5 siswa.2.Tali akan dipotong menjadi 10 bagian, sehingga membentuk barisan aritmetika.3.Anggap panjang tali sebagai jumlah n suku pertama dari deret aritmetika.4.Pertama, potonglah tali sepanjang 20 cm. Anggap ini sebagai suku pertamadari barisan aritmetika.5.Untuk memotong tali berikutnya, tetapkan dahulu nilai dari n, a, dannS.C.Analisis1.Dari hasil percobaan Anda, berapakah beda dari barisan aritmetika di atas?2.Berapakah panjang potongan ke-10 tali itu?Aktivitas ProyekMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa146Bujur Sangkar MagisPerhatikan gambar di bawah ini.Bujur sangkar di atas disebut bujur sangkar magis atau ajaib (magic square) derajat 3,karena ada 32 atau 9 bujur sangkar yang kecil-kecil dan jumlah bilangan-bilangan itumenurut baris, lajur, dan diagonalnya sama, yaitu 15.Untuk bujur sangkar magis derajat n, Anda dapat menghitung jumlah bilangan-bilangan menurut baris, lajur, atau diagonal. Dalam bujur sangkar magis derajat n, adan2 buah bujur sangkar kecil. Bila bilangan yang paling kecil dalam kotak-kotak kecil itu1, maka bilangan yang paling besar ialah n2. Jadi Anda harus menjumlahkan 1, 2, 3, ... ,n2 dulu, lalu membaginya dengan n. Dengan menggunakan rumus deret hitung (a = 1, b= 1, dan banyaknya suku n2),Dn2 = 12n2 (1 + n2)Jadi, n2 (1 + n2) itu ialah jumlah seluruh bilangan dari n2 buah bujur sangkar kecil-kecil.Karena itu jumlah dalam 1 baris saja, 1 lajur saja, atau satu diagonal saja sama denganDn2 : natau()22112nnn+ = ()2112nn+Dengan rumus itu, Anda dapat menghitung jumlah bilangan menurut baris ataumenurut lajur atau menurut diagonal dalam setiap bujur sangkar magis, bila bilanganpertama dan bilangan-bilangan berikutnya diketahui.Sekarang coba lengkapilah bujur sangkar magis derajat 4 berikut.8 1 63 5 74 9 216 2 10 8 9 15 1Teka-Teki MatematikaLatihan Ulangan Umum Semester 2147A.Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 30, pilihlah satu jawaban yang palingtepat! Kerjakan di buku tugas Anda!1.Diketahui barisan sebagai berikut.1111,,,,...251017Rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah ... .A.11n+D.211n−B.13n+E.213n+C.211n+2.Rumus suku ke-n dari barisan: 2, 4, 8, 16, ... adalah ... .A.(2)nD.(2)nB.(2)n 1E.2nC.(2)n3.Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = 3n + 5. Suku ke-10 daribarisan tersebut adalah ... .A.12D.25B.17E.35C.184.Jika suatu barisan aritmetika diketahui suku pertamanya adalah a = 8 dan bedanyab = 3, maka suku ke-12 dari barisan aritmetika tersebut adalah ... .A.41D.20B.36E.18C.335.Diketahui barisan aritmetika dengan U5 = 13 dan U10 = 33. Nilai suku pertama danbeda dari barisan aritmetika tersebut adalah ... .A.4 dan 3D.3 dan 4B.4 dan 3E.3 dan 4C.4 dan 36.Diketahui barisan aritmetika dengan jumlah n suku pertamanya adalah Sn = 3n2 n.Suku ke-8 dari barisan tersebut adalah ... .A.20D.38B.32E.44C.36Latihan Ulangan Umum Semester 2Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa1487.Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-7 adalah 4 dan suku ke-11 adalah 28.Suku pertama dan beda dari barisan tersebut adalah ... .A.5 dan 3D.32 dan 6B.2 dan 3E.38 dan 6C.3 dan 28.Suku ke-n dari deret geometri adalah 2n, dengan n adalah bilangan asli. Jika Sn > 200,maka banyaknya suku paling sedikit adalah ... .A.6D.9B.7E.10C.89.Untuk suatu nilai k, bilangan k 3, k 1, dan 2k + 1 membentuk tiga suku pertamadari barisan geometri. Suku kelima dari barisan geometri tersebut adalah ... .A.1D.81B.4E.243C.910.Sepuluh tahun yang lalu umur Budi dua kali umur Ani, lima tahun kemudian umurBudi menjadi 121 kali umur Ani. Umur Budi sekarang adalah ... tahun.A.40D.25B.35E.20C.3011.Dari suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-4 adalah 7 dan suku ke-10 adalah25. Suku ke-15 barisan aritmetika ini adalah ... .A.43D.37B.40E.36C.3912.Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = n2 2n. Suku ke-10 darideret tersebut adalah ... .A.15D.63B.16E.80C.1713.Sisi-sisi suatu segitiga siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika. Jika sisimiringnya 40 cm, maka sisi siku-siku yang terpendek adalah ... cm.A.8D.24B.16E.32C.2014.Penjumlahan 4 + 7 + 10 + ... + 25 dapat dinyatakan dalam notasi sigma dengan ... .A.()7031ii=+∑D.()8131ii=+∑B.()8031ii=+∑E.()7043ii=−∑C.()7051ii=+∑Next >