< PreviousBAB I ~ Program Linear19Tugas MandiriTitik potong garis x + 2y = 8 dan garis x + y = 6 ditentukan sebagai berikut.x + 2y = 8 x + y = 6 _ y = 2 dan akibatnya x = 6 2 = 4Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah (4,2).Himpunan penyelesaian atau daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan(i) (iii) dapat digambarkan sebagai berikut.Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear (i) (iii) adalah daerah yangdibatasi oleh segi empat OABC.Nilai maksimum dari fungsi tujuan pada daerah penyelesaian dapat ditentukandengan menyelidiki nilai f(x,y) = 3x + 2y di titik-titik sudut dari segi empat OABC.Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan f(x,y) = 3x + 2y adalah 18 terjadi di titik A(6,0) ataudi x = 6 dan y = 0.WCarilah informasi di internet yang terkait dengan persoalan program linear, kemudianbuatlah laporan dan diskusikan dengan teman-teman Anda. Selanjutnya presentasikanhasil diskusi tersebut di depan kelas.x + y = 6 x 0 6 y 6 0(x,y) (0,6) (6,0)x + 2y = 8 x 0 8 y 4 0(x,y) (0,4) (8,0) TitikO(0,0)A(6,0)B(4,2)C(0,4) x 0 6 4 0 y 0 0 2 4 3x + 2y 0 18 16 8YX O(0,0) A(6,0) (8,0)(0,6)B(4,2)x + 2y = 8x + y = 6C(0,4)Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa201.Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis barang yaitu barang jenis P dan Q. Keduabarang tersebut dibuat dengan menggunakan dua mesin yaitu mesin I dan mesin II.Untuk membuat barang P diperlukan 2 jam pada mesin I dan 3 jam di mesin II, sedangkanuntuk membuat barang Q diperlukan 4 jam di mesin I dan 2 jam di mesin II. Mesin Idapat bekerja 20 jam setiap hari dan mesin II dapat bekerja 18 jam setiap hari. Jika darisetiap barang P diperoleh laba Rp5.000,00 dan dari setiap barang Q diperoleh labaRp8.000,00, tentukan banyaknya barang jenis P dan barang jenis Q yang harus dibuatagar diperoleh keuntungan yang maksimum. Hitunglah keuntungan maksimumnya.2.Sebuah perusahaan roti memerlukan 250 gram tepung dan 150 gram mentega untukmembuat roti jenis A, sedangkan untuk membuat roti jenis B diperlukan 150 gram tepungdan 100 gram mentega. Perusahaan tersebut mempunyai persediaan tepung sebanyak30 kg tepung dan 15 kg mentega. Berapakah banyaknya masing-masing jenis roti darikedua jenis tersebut dapat dibuat agar diperoleh banyaknya roti dari kedua jenis tersebutmaksimal?3.Sebuah pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 400 penumpang.Setiap penumpang kelas eksekutif boleh membawa barang di bagasi maksimum 60 kg,sedangkan penumpang kelas ekonomi bagasinya dibatasi 20 kg. Pesawat itu hanya dapatmembawa bagasi tidak lebih dari 12.000 kg. Bila tiket untuk setiap penumpang kelaseksekutif Rp800.000,00 dan tiket untuk kelas ekonomi Rp300.000,00, tentukan berapabanyaknya penumpang masing-masing kelas tersebut agar diperoleh pendapatansebanyak-banyaknya.4.Carilah nilai x dan y yang memaksimumkan fungsi tujuan:f(x,y) = 5x + 4ydengan syarat-syarat: 3x + 2y ≤ 12 x + 3y ≤ 9x ≥ 0, y ≥ 05.Carilah nilai x dan y yang meminimumkan fungsi tujuan:f(x,y) = 3x + 2ydengan syarat-syarat:3 x + y ≥ 6 x + y ≥ 4x ≥ 0, y ≥ 01.5Penggunaan Garis Selidik untuk Nilai OptimumDi dalam subbab ini dikenalkan cara baru untuk menentukan nilai maksimumatau nilai minimum fungsi tujuan atau fungsi objektif f(x,y) = ax + by pada daerahpenyelesaian dengan menggunakan suatu garis yang disebut garis selidik. Secaraumum, garis selidik dinyatakan dalam bentuk ax + by = k. Jadi, yang dimaksud dengangaris selidik ax + by = k adalah suatu garis yang berfungsi untuk menyelidiki danmenentukan nilai maksimum atau nilai minimum fungsi tujuan f(x,y) = ax + by padadaerah penyelesaiannya.Latihan 1.4BAB I ~ Program Linear21Langkah-langkah penggunaan garis selidik ax + by = k dilakukan sebagai berikut.1.Gambarlah garis ax + by = ab pada sistem koordinat Cartesius yang memotongsumbu X di titik (b,0) dan memotong sumbu y di titik (0,a). Garis ini sebagai patokanawal. Garis ax + by = ab dapat digeser-geser sejajar dengan garis tersebut sehingganilai f(x,y) = ax + by juga akan berubah-ubah. Nilai f(x,y) akan semakin bertambahjika garis tersebut digeser ke kanan dan akan berkurang jika digeser ke kiri.2.Buatlah garis-garis yang sejajar dengan garis ax + by = ab, dengan memperhatikanketentuan-ketentuan sebagai berikut.a.Jika garis ax + by = k merupakan garis yang sejajar dengan garis ax + by = ab danmemotong tepat satu titik daerah penyelesaian di bagian paling atas atau palingkanan, maka f(x,y) = ax + by = k merupakan nilai maksimum dari fungsi tujuan.Titik potong tersebut merupakan titik yang menyebabkan nilai tujuan tersebutmaksimum.b.Jika garis ax + by = k merupakan garis yang sejajar dengan garis ax + by = ab danmemotong tepat satu titik daerah penyelesaian di bagian paling bawah ataupaling kiri, maka f(x,y) = ax + by = k merupakan nilai minimum dari fungsi tujuan.Titik potong tersebut merupakan titik yang menyebabkan nilai tujuan tersebutminimum.c.Jika garis ax + by = k merupakan garis yang sejajar dengan garis ax + by = ab danberimpit dengan salah satu garis pembatas dari daerah penyelesaian di bagianpaling atas atau paling kanan, maka f(x,y) = ax + by = k merupakan nilaimaksimum dari fungsi tujuan. Setiap titik pada garis tersebut dan yangberirisan dengan daerah penyelesaian merupakan titik-titik yangmenyebabkan nilai tujuan tersebut maksimum. Hal ini disebabkan karena nilaif(x,y) pada garis yang beririsan tersebut nilainya sama dan merupakan nilaimaksimum dari fungsi tujuan f(x,y) pada daerah penyelesaian.d.Jika garis ax + by = k merupakan garis yang sejajar dengan garis ax + by = ab danberimpit dengan salah satu garis pembatas dari daerah penyelesaian di bagianpaling bawah atau paling kiri, maka f(x,y) = ax + by = k merupakan nilai minimumdari fungsi tujuan. Setiap titik pada garis tersebut dan yang beririsan dengandaerah penyelesaian merupakan titik-titik yang menyebabkan nilai tujuantersebut minimum. Hal ini disebabkan karena nilai f(x,y) pada garis yangberirisan tersebut nilainya sama dan merupakan nilai minimum dari fungsitujuan f(x,y) pada daerah penyelesaian.Contoh 1.5.1Tentukan nilai x dan y yang memaksimumkan fungsi tujuan:f(x,y) = x + 2ydengan syarat-syarat: 2x + y ≤ 8 x + 3y ≤ 9x ≥ 0, y ≥ 0Penyelesaian:Titik potong kedua garis:6x + 3y = 24 x + 3y = 9 _5x = 15 x = 3 dan y = 2YXC(0,3)x + 2y = 2B(3,2)A(4,0)2x + y = 8x + 2y = 7x + 3y = 9(9,0)(0,8)O(0,0)Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa22Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear di atas adalah daerah segiempat OABC. Jika dibuat garis-garis x + 2y = k, dengan k sebarang bilangan real, makagaris tersebut sejajar dengan garis x + 2y =2. Ternyata makin jauh kedudukan garistersebut dengan titik O, maka nilai k semakin besar. Karena nilai k bersesuaian dengannilai dari fungsi tujuan, maka k terbesar sedemikian hingga garis x + 2y = k masihmemotong daerah penyelesaian merupakan nilai maksimum dari fungsi tujuan, dannilai k terkecil sedemikian hingga garis x + 2y =k masih memotong daerah penyelesaianmerupakan nilai minimum dari fungsi tujuan. Perhatikan gambar di atas, bahwa garisx + 2y =7 merupakan garis paling kanan yang masih memotong daerah penyelesaian.Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan f(x,y) = x + 2y pada daerah penyelesaian tersebutadalah 7 dicapai pada titik B(3,2).WContoh 1.5.2Tentukan nilai x dan y sedemikian hingga fungsi tujuan:f(x,y) = 3x + 5y minimumdengan syarat-syarat:3 x + y ≥ 9 x + y ≥ 5x ≥ 0, y ≥ 0Penyelesaian:Titik potong kedua garis:3x + y = 9 x + y = 5 _2x = 4 x = 2 dan y = 3Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear di atas adalah daerah yangdiarsir. Jika dibuat garis-garis 3x + 5y = k, dengan k sebarang bilangan real, maka garistersebut sejajar dengan garis 3x + 5y =15. Ternyata makin jauh kedudukan garis tersebutdengan titik O, maka nilai k semakin besar. Karena nilai k bersesuaian dengan nilai darifungsi tujuan, maka k terbesar sedemikian hingga garis 3x + 5y = k masih memotongdaerah penyelesaian merupakan nilai maksimum dari fungsi tujuan, dan nilai k terkecilsedemikian hingga garis 3x + 5y = k masih memotong daerah penyelesaian merupakannilai minimum dari fungsi tujuan. Perhatikan gambar di atas, bahwa garis 3x + 5y =15merupakan garis paling kiri yang masih memotong daerah penyelesaian, yaitu di titikA(5,0).Jadi, nilai minimum fungsi tujuan f(x,y) = 3x + 5y pada daerah penyelesaiantersebut adalah 15 dicapai pada titik A(5,0).YXO(0,0) (3,0) A(5,0)C(0,9)(0,5)3x + y = 9B(2,3)x + y = 53x + 5y = 153x + 5y = 25BAB I ~ Program Linear23YXO(0,0) (14,0) A(20,0)C(0,14)(0,8)5x + 8y = 40x + y = 145x + 8y = 822x + 5y = 40B(10,4)Seperti pembahasan subbab sebelumnya, bahwa beberapa persoalan programlinear belum diketahui model matematikanya, sehingga langkah pertama harusmenyusun lebih dahulu model matematikanya. Sedangkan langkah keduamenyelesaikan model matematika dan langkah yang terakhir adalah meng-interpretasikan penyelesaian model matematika ke penyelesaian program linearnya.Berikut diberikan sebuah contoh yang menggambarkan tentang hal ini.Contoh 1.5.3Sebuah rombongan anggota OSIS yang terdiri dari 40 orang ingin mengadakan studibanding ke sekolah di luar kota. Untuk itu mereka harus menyewa penginapan.Penginapan melati mempunyai dua tipe kamar, yaitu tipe A dan tipe B. Tipe A dapatditempati 2 orang dan tipe B dapat ditempati 5 orang. Pemilik penginapan menghendakirombongan menyewa kamar paling sedikit 14 kamar. Harga per kamar tipe A adalahRp25.000,00 dan harga per kamar tipe B adalah Rp40.000,00. Berapa banyaknya kamarharus disewa agar semua anggota rombongan dapat ditampung dan dengan biayasemurah-murahnya?Penyelesaian:Misalkan: banyaknya kamar tipe A yang disewa adalah x kamar dan banyaknya kamar tipe B yang disewa adalah y kamarBerdasarkan persoalan program linear tersebut di atas, diperoleh model matematikasebagai berikut.Minimumkan fungsi tujuan:f(x,y) = 25.000x + 40.000ydengan syarat-syarat:2x + 5y ≥ 40 x + y ≥ 14x ≥ 0, y ≥ 0Titik potong kedua garis:2x + 5y = 402x + 2y = 28 _ 3y = 12 y = 4 dan x = 10Garis tujuannya adalah 25.000x + 40.000y = k atau 5x + 8y = p, dengan p = k5.000.Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear di atas adalah daerah di atasgaris x + y = 14, garis 2x + 5y = 40, dan sumbu X serta di sebelah kanan sumbu Y.Kemudian dibuat garis-garis selidik 5x + 8y = p, dengan p suatu bilangan real. Garistersebut sejajar dengan garis 5x + 8y = 40. Garis selidik paling kiri atau paling bawahyang masih memotong daerah penyelesaian adalah garis 5x + 8y = 82. Garis selidiktersebut memotong daerah penyelesaian di titik B(10,4). Ini berarti nilai x = 10 dany = 4 merupakan penyelesaian dari model matematika di atas.Jadi, banyaknya kamar tipe A yang disewa adalah 10 kamar dan tipe B yangdisewa adalah 4 kamar, dengan biaya sewa adalah Rp 410.000,00.WMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa24Tugas MandiriJika garis selidik sejajar/berimpit dengan salah satu garis batas, bagaimana menentukannilai optimumnya?1.Dengan menggunakan garis selidik, carilah nilai x dan y sedemikian hinggafungsi tujuan:f(x,y) = 5x + 3y maksimumdengan syarat-syarat: 2x + y ≤ 3 x + y ≤ 2x ≥ 0, y ≥ 02.Dengan menggunakan garis selidik, carilah nilai x dan y sedemikian hinggafungsi tujuan:f(x,y) = 8x + 6y minimumdengan syarat-syarat: 2x + y ≥ 30 x + 2y ≥ 24x ≥ 0, y ≥ 03.Dengan menggunakan garis selidik, carilah nilai x dan y sedemikian hinggafungsi tujuan:f(x,y) = 5x + 4y maksimumdengan syarat-syarat: 2x + 3y ≤ 12 2x + y ≤ 8x ≥ 0, y ≥ 04.Dengan menggunakan garis selidik, carilah nilai x dan y sedemikian hinggafungsi tujuan:f(x,y) = 3x + 4y minimumdengan syarat-syarat: 2x + y ≥ 20 4x + 3y ≥ 48 x ≥ 0, y ≥ 0Latihan 1.5BAB I ~ Program Linear255.Dengan menggunakan garis selidik, selesaikan persoalan program linear berikut. Untukmemproduksi suatu barang tipe A diperlukan bahan baku 30 kg dan waktu kerja mesin18 jam, sedangkan untuk memproduksi barang tipe B diperlukan bahan baku 20 kg danwaktu kerja mesin 24 jam. Waktu kerja mesin yang tersedia adalah 720 jam danbanyaknya bahan baku yang tersedia adalah 750 kg. Jika harga penjualan 1 unit barangA adalah Rp5.000,00 dan harga 1 unit barang B adalah Rp4000,00, tentukan banyaknyaproduksi perusahaan tersebut agar diperoleh hasil penjualan maksimum.6.Sebuah perusahaan roti ingin membuat dua buah macam roti, yaitu roti tipe A dan rotitipe B. Bahan baku yang tersedia adalah telur 190 kg, gula 300 kg, tepung 380 kg, danmentega 240 kg. Untuk membuat satu buah roti tipe A diperlukan 0,3 kg telur, 0,2 kggula, 0,2 kg tepung, dan 0,3 kg mentega. Untuk membuat satu buah roti tipe B diperlukan0,1 kg telur, 0,2 kg gula, 0,5 kg tepung, dan 0,2 kg mentega. Harga jual satu buah roti tipeA adalah Rp20.000,00 dan harga jual satu buah roti tipe B adalah Rp15.000,00. Berapakahbanyaknya roti tipe A dan roti tipe B harus dibuat agar diperoleh hasil penjualan yangmaksimal?1.Sistem pertidaksamaan linearSistem pertidaksamaan linear yaitu suatu koleksi beberapa pertidaksamaan linearyang membentuk satu kesatuan. Titik (s,t) merupakan penyelesaian dari suatu sistempertidaksamaan linear jika kita substitusikan x = s dan y = t pada setiappertidaksamaan linear pada sistem pertidaksamaan linear tersebut menghasilkanpernyataan yang bernilai benar.Langkah-langkah untuk menentukan daerah penyelesaian suatu sistem per-tidaksamaan linear adalah:a.Gambarlah persamaan garis yang bersesuaian dengan sistem pertidaksamaanyang dimaksud.b.Ambil sebuah titik uji, kemudian periksa apakah memenuhi pertidaksamaanatau tidak.c.Tandai bagian yang memenuhi pertidaksamaan yang dimaksud.2.Model matematikaModel matematika, yaitu rumusan dari permasalahan-permasalahan real ke dalambentuk matematika, sehingga persoalan tersebut dapat diselesaikan secara matematis.3.Persoalan program linearPersoalan program linear, yaitu persoalan menentukan nilai optimum (maksimumatau minimum) dari suatu fungsi objektif terhadap fungsi-fungsi kendala yangdiberikan, sehingga persoalan program linear selalu terdiri dari dua bagian, yaitu:a.Fungsi tujuan/objektif (memaksimumkan atau meminimumkan).b.Fungsi kendala (berupa sistem pertidaksamaan linear).4.Menentukan nilai optimum fungsi objektifAda beberapa cara untuk menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum)suatu fungsi objektif, antara lain dapat digunakan:a.cara uji titik pojokb.cara garis selidikRangkumanMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa26Rene Descartes dikenal sebagai ahli filsafatmodern pertama yang besar. Ia juga penemubiologi, ahli fisika dan matematikawan.Descartes lahir di Touraine, Perancis, putraseorang ahli hukum. Pada umur 20 tahun, diamendapatkan gelar sarjana hukum. Karyamatematikanya yang paling populer adalah laGeometrie, yang diterbitkan tahun 1637. Inimerupakan penggabungan geometri danaljabar, selanjutnya dikenal sebagai geometrianalitik atau geometri koordinat. Program linearmenggunakan geometri analitik atau geometrikoordinat dalam penyelesaiannya.Gambar 1.9 Rene DescartesSumber: kevinstilley.comMath InfoBAB I ~ Program Linear27A.Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 15, pilihlah satu jawaban yangpaling tepat! Kerjakan di buku tugas Anda!1.Persamaan garis lurus yang melalui titik (0,6) dan (8,0) adalah ... .A.4x + 3y = 24D.4y + 3x = 24B.4x 3y = 24E.4y 3x = 24C.4x + 3y = 242.Titik potong antara garis x + y = 10 dan x 2y = 4 adalah ... .A.(2,8)D.(2,8)B.(8,2)E.(8,2)C.(8,2)3.Diketahui sistem pertidaksamaan linear:4x + 3y ≤ 122x + 5y ≥ 10x ≥ 0, y ≥ 0Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear di atas adalah daerahyang diarsir dari gambar ... .A.D.B.E.C.Uji Kompetensi423 5YX0423 5YX0423 5YX0423 5YX0423 5YX0Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa284.Daerah yang diarsir pada diagram Cartesius di bawah ini merupakan daerahpenyelesaian sistem pertidaksamaan ... .A. x + y ≤ 4D. x + y ≥ 4 x + 2y ≥ 4 x + 2y ≥ 4 x 2y ≤ 4 x 2y ≤ 42x y ≥ 42x y ≤ 4B. x + y ≤ 4E. x + y ≤ 4 x + 2y ≥ 4 x + 2y ≥ 4 x 2y ≥ 4 x 2y ≥ 42x y ≤ 42x y ≤ 4C. x + y ≤ 4 x + 2y ≤ 4 x 2y ≤ 42x y ≤ 45.Sebuah pedagang buah jeruk mempunyai 1.000 buah jeruk dan 80% di antara-nya dijual di pasar. Dalam perjalanan ke pasar, kendaraannya mengalamikecelakaan sehingga 250 jeruk yang dibawa rusak. Jika q menyatakan banyakyajeruk yang masih baik, maka model matematikanya adalah ... .A.q = 80% × (1000 250)D.q 250 = 80% × 1000B.q + 250 = 80% × 1000E.80% × q + 250 = 1000C.q = 80% × (1000 + 250)6.Seorang pengusaha angkutan mempunyai dua jenis angkutan, yaitu jenis Adan B dan mendapatkan order untuk mengirimkan barang sebanyak minimal1.200 kotak. Angkutan jenis A mampu memuat 40 kotak dan angkutan jenis Bmampu memuat 60 kotak. Jika x menyatakan banyaknya kendaraan Amengangkat barang dan y menyatakan banyaknya kendaraan B mengangkatbarang, maka model pertidaksamaan linear yang sesuai dengan persoalan iniadalah ... .A.2x + 3y ≥ 60D.3x + 2y ≥ 60B.2x + 3y ≤ 60E.3x + 2y ≤ 60C.2x + 3y = 607.Seorang pengusaha tempat parkir mempunyai lahan perparkiran seluas 1.000m2. Tempat tersebut dipakai untuk tempat parkir bis dan mobil taxi. Jika bismemerlukan tempat seluas 30 m2 dan mobil taxi memerlukan tempat 15 m2,maka model pertidaksamaan linear yang sesuai dengan persoalan ini adalah ... .A.6x + 3y ≥ 200D.3x + 6y ≥ 200B.3x + 6y ≤ 200E.6x + 3y = 200C.6x + 3y ≤ 200420 2 4YX(4,4)Next >