< PreviousBAB I ~ Program Linear298.Perusahaan Adi Prabowo memproduksi 2 jenis mesin yaitu jenis A dan jenisB, masing-masing memerlukan dua bahan yaitu bahan I dan bahan II. Untukmesin jenis A memerlukan bahan I sebanyak 2 satuan dan bahan II sebanyak0,25 m. Untuk mesin jenis B memerlukan bahan I sebanyak 1 satuan dan bahanII sebanyak 0,5 satuan. Bahan I tersedia 30 satuan dan bahan II tersedia 12satuan. Jumlah kedua mesin yang dapat dibuat sebanyak-banyaknya adalah ... .A.15D.30B.24E.26C.289.Daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut.Nilai maksimum fungsi tujuan f(x,y) = 3x + 2y untuk daerah yang diarsir di atasadalah ... .A.0D.9B.18E.8C.32810.Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear 2x y ≥ 0, x + y ≥ 3,dan 4x + y ≤ 12 mempunyai daerah yang berbentuk ... .A.segi empat sembarangD.trapesiumB.persegi panjangE.segi limaC.segitiga11.Diketahui daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear sebagaiberikut.Persamaan garis selidik memotong satu titik daerah penyelesaian dan menye-babkan fungsi tujuan f(x,y) = 5x + 4y maksimum, dengan nilai maksimum ... .A.36D.14B.30E.10C.16YX420 3 6YX02 643Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa3012.Nilai minimum fungsi f(x,y) = 8x + 6y pada daerah penyelesaian sistempertidaksamaan linear: 2x + y ≥ 30, x + 2y ≥ 24, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ... .A.192D.132B.180E.72C.14213.Setiap bulan seseorang membutuhkan bahan makanan yang mengandung zatkimia jenis A tidak kurang dari 30 satuan dan jenis B tidak kurang dari 24satuan. Untuk memenuhi kebutuhan tersebut terdapat 2 macam jenis makanan,yaitu makanan jenis M1 dan M2. Makanan jenis M1 setiap 1 kg mengandung 2satuan zat kimia jenis A dan 2 satuan zat kimia jenis B. Makanan jenis M2 setiap1 kg mengandung 2 satuan zat kimia jenis A dan 1 satuan zat kimia jenis B.Harga makanan jenis M1 adalah Rp8.000,00 per kg dan harga makanan jenis M2adalah Rp5.000,00 per kg. Besarnya biaya minimal yang harus dikeluarkanorang tersebut agar kebutuhan zat kimia tersebut terpenuhi adalah ... .A.Rp60.000,00D.Rp96.000,00B.Rp75.000,00E.Rp93.000,00C.Rp120.000,0014.Sebuah pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 300 pe-numpang. Setiap penumpang kelas eksekutif boleh membawa barang di bagasimaksimum 60 kg, sedangkan penumpang kelas ekonomi bagasinya dibatasi20 kg. Pesawat itu hanya dapat membawa bagasi tidak lebih dari 12.000 kg.Bila tiket untuk setiap penumpang kelas eksekutif Rp800.000,00 dan tiket untukkelas ekonomi Rp500.000,00, maka banyaknya penumpang masing-masing kelastersebut agar diperoleh pendapatan sebanyak-banyaknya adalah ... .A.Rp195.000.000,00D.Rp240.000.000,00B.Rp160.000.000,00E.Rp300.000.000,00C.Rp150.000.000,0015.Nilai x dan y yang memaksimumkan fungsi tujuan: f(x,y) = 5x + 4y pada daerahhimpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan: 3x + y ≤ 15, x + y ≤ 9, x ≥ 0, dany ≥ 0 adalah ... .A.38D.36B.45E.25C.60B.Untuk soal nomor 16 sampai dengan nomor 20, kerjakan dengan langkah-langkah yang tepat!16.Jika f(x,y) = 5x + 2 y dan g(x,y) = 2x + 3y serta x, y adalah bilangan-bilangan bulatpositif, tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi f dan g padamasing-masing sistem pertidaksamaan linear berikut.a.2x + y ≤ 4, x + 6y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0b.x + 2y ≤ 10, 5x + 2y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 017.Luas daerah parkir adalah 500 m2. Luas rata-rata untuk sebuah mobil box10 m2 dan untuk sebuah truk 15 m2. Daerah parkir tersebut tidak bolehmenampung lebih dari 40 kendaraan. Jika tarif parkir untuk mobil box dantruk masing-masing adalah Rp4.000,00 dan Rp5.000,00, hitunglah banyaknyamobil box dan truk masing-masing harus parkir agar diperoleh pendapatanmaksimum dan tentukan pendapatan maksimum tersebut.BAB I ~ Program Linear3118.Suatu kapal laut mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 500 orang. Setiappenumpang kelas eksekutif boleh membawa barang paling banyak 60 kg, sedanguntuk kelas ekonomi boleh membawa barang sebanyak 40 kg. Kapal tersebuthanya dapat membawa barang tidak lebih dari 18. 000 kg. Bila tiket untuksetiap penumpang kelas eksekutif Rp400.000,00 dan kelas ekonomi Rp200.000,00,berapa banyaknya penumpang masing-masing kelas agar diperolehpendapatan sebanyak-banyaknya? Buatlah model matematika untuk persoalanini dan selesaikan.19.Seorang petani menginginkan tanamannya tidak terserang hama. Agarkeinginannya tersebut terlaksana, tanaman tersebut harus diberi pupuk yangmengandung unsur kimia jenis X, Y, dan Z masing-masing paling sedikit 24, 22,dan 36 satuan unsur kimia tersebut. Dua jenis pupuk, A dan B, diberikan padatanaman tersebut. Satu kg pupuk jenis A mengandung unsur kimia jenis X, Y,dan Z masing-masing sebesar 2, 1, dan 1 satuan. Sedangkan satu kg pupukjenis B mengandung unsur kimia jenis X, Y, dan Z masing-masing sebesar 1, 1,dan 2 satuan. Harga satu kg pupuk jenis A dan B masing-masing adalahRp8.000,00 dan Rp6.000,00. Tentukan biaya minimum yang dikeluarkan petaniagar keinginannya tercapai.20.Sebuah perusahaan roti ingin membuat dua buah macam roti, yaitu roti tipe Adan roti tipe B. Bahan baku yang tersedia adalah telur 400 kg, gula 500 kg,tepung 800 kg, dan mentega 200 kg. Untuk membuat satu buah roti tipe Adiperlukan 0,2 kg telur, 0,2 kg gula, 1 kg tepung, dan 0,3 kg mentega. Untukmembuat satu buah roti tipe B diperlukan 0,1 kg telur, 0,2 kg gula, 0,8 kg tepung,dan 0,2 kg mentega. Harga jual satu buah roti tipe A adalah Rp12.000,00 danharga jual satu buah roti tipe B adalah Rp10.000,00. Berapakah banyaknya rotitipe A dan roti tipe B harus dibuat agar diperoleh hasil penjualan yang maksimal?1.Seorang pasien disarankan mengkomsumsi sedikitnya 16 unit vitamin Adan 12 unit vitamin B per hari. Ia dapat minum vitamin tambahan dalambentuk pil atau kapsul. Tiap butir pil mengandung 2 unit vitamin A dan3 unit vitamin B, sedangkan tiap butir kapsul mengandung 4 unit vitamia Adan 2 unit vitamin B. Jika harga pil dan kapsul berturut-turut Rp400,00 danRp300,00 per butir, berapakah tiap hari harus ia minum agar pengeluaranuntuk membeli obat minimum?2.Seorang pemilik toko ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki palingsedikit 100 pasang dan sepatu wanita 150 pasang. Toko tersebut dapatmemuat 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-lakiRp1.000,00 dan setiap pasang sepatu wanita Rp500,00. Jika banyaknyasepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, berapakah keuntunganyang terbesar yang dapat diperoleh?3.Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpangkelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, sedang kelas ekonomi 20 kg.Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1.440 kg. Harga tiket kelas utamaRp150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00. Agar pendapatan daripenjual tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, berapakahjumlah tempat duduk kelas utama?Soal AnalisisMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa32AktivitasNama: ..................................................Tanggal: .........................................................Kelas: XIIMateri Pokok: Program LinearKelompok: ..................................................Semester: 1 (satu)Kegiatan: Survei persoalan program linear di dalam kehidupan sehari-hariTujuan: Menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) fungsi tujuanA.Alat dan bahan yang digunakan1.Alat tulis3.Daftar isian atau lembar kerja2.Buku catatan4.Wilayah yang disurveiB.Cara kerja1.Buatlah kelompok yang terdiri 4 atau 5 siswa.2.Ambillah wilayah survei di sekitar tempat tinggal Anda. Lakukan surveiterhadap kehidupan di sekitar Anda yang terkait dengan persoalan programlinear.3.Masing-masing kelompok diharapkan dapat menemukan minimal satupersoalan program linear maksimisasi dan satu persoalan program linearminimisasi.4.Lakukan diskusi untuk menemukan fungsi tujuan dan fungsi kendala darimasing-masing persoalan program linear yang Anda temukan. Hasil diskusidiisikan sesuai tabel berikut ini.5.Berdasarkan data yang Anda peroleh tentang persoalan program linear yangtelah disajikan di dalam tabel di atas, lakukan diskusi untuk menentukanpenyelesaian dari masing-masing persoalan program linear tersebut.6.Buatlah laporan kelompok berdasarkan hasil diskusi dan mempersiapkanpresentasi di depan kelas.7.Salah satu wakil kelompok mempresentasikan hasil diskusi di depan kelas,anggota kelompok lain menanggapi, sedangkan anggota kelompok yangpresentasi memberikan penjelasan terhadap tanggapan/pertanyaan daripeserta diskusi.C.AnalisisBerdasarkan data yang telah Anda diskusikan tadi, buatlah analisis tentang setiappersoalan program linear yang Anda temukan.Aktivitas ProyekNo.1.2.3.4.Persoalan NyataFungsi KendalaFungsi TujuanModel MatematikaBAB II ~ Matriks33MATRIKSIIBABTujuan PembelajaranPengantarSetelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat:1.menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matrikspersegi merupakan invers dari matriks persegi yang lain,2.menentukan determinan dan invers matriks,3.menggunakan determinan dan invers matriks dalam menyelesaikan sistempersamaan linear dua variabel.Gambar 2.1 Kantor kelurahanJika Anda pergi ke kantor kelurahan atau desa, Anda pasti akan menjumpai datastatistik penduduk yang menyajikan data tentang jumlah penduduk berdasarkanpekerjaan, tingkat pendidikan, agama, umur, dan lain-lain. Data tersebut pasti disajikansecara rapi dan jelas dibaca. Tampilan data tersebut dinamakan matriks. Anda akanmempelajari pengertian matriks dan sifat-sifatnya di dalam bab ini.Sumber: jakartawater.orgMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa34Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat menggunakan sifat-sifatdan operasi-operasi matriks untuk menentukan invers matriks persegi dan untukmenyelesaikan sistem persamaan linear. Selanjutnya dapat juga menyelesaikanpersoalan-persoalan sehari-hari yang melibatkan matriks. Untuk memahami materibab ini, Anda perlu memahami lagi operasi dan sifat-sifat aljabar pada sistem bilanganreal dan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakaneliminasi dan substitusi.Untuk menunjang pencapaian tujuan di atas, di dalam bab ini akan dibahasberturut-turut pengertian matriks, kesamaan matriks, jenis-jenis matriks, transposematriks, operasi aljabar pada matriks, determinan matriks, invers matriks, danaplikasinya pada penyelesaian sistem persamaan linear.2.1Pengertian, Notasi, dan Ordo MatriksDalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai suatu informasi yang terdiri darisusunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom dalam bentuk persegipanjang. Berikut ini beberapa contoh tentang hal ini.Contoh 2.1.1Di dalam kelas sering dijumpai papan presensi kehadiran siswa dalam seminggu, sepertitampak pada tabel berikut.WContoh 2.1.2Bagi siswa yang tertarik pada sepak bola liga Inggris, berikut sebuah data tentanghasil klasemen sementara 4 besar liga Inggris.WContoh 2.1.3Harga karcis masuk pameran pembangunan adalah:WHariHadirAbsenBanyak SiswaSenin 42 3 45Selasa 44 1 45Rabu 45 0 45Kamis 43 2 45Jumat 45 0 45Sabtu 44 1 45Klub MainMenang SeriKalahNilaiChelsea 17 12 4 1 40Everton 17 11 3 3 36Arsenal 17 10 5 2 35Man. United 16 8 6 2 30Hari BiasaHari Minggu (Rp) (Rp)Anak-anak 2.000 2.500Dewasa 3.000 4.000BAB II ~ Matriks35Masih banyak lagi contoh informasi seperti di atas yang dapat dijumpai di dalamkehidupan sehari-hari. Sekarang kita perhatikan Contoh 2.1.3, jika kepala lajur dankepala baris dihilangkan, maka akan tampak sebagai berikut.2.000 2.5003.000 4.000Susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang seperti di atas dikatakanmembentuk suatu matriks, dan selanjutnya matriks ini sering dinotasikan sebagaiberikut.2000250030004000⎛⎞⎜⎟⎝⎠ atau 2000250030004000⎡⎤⎢⎥⎣⎦Secara umum, pengertian matriks didefinisikan sebagai berikut.Definisi 2.1Sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dankolom dalam bentuk persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebutdisebut elemen atau entri atau unsur dalam matriks.Contoh 2.1.4Susunan-susunan berikut adalah suatu matriks.21303247,71065⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠⎜⎟−⎝⎠ , (1 3 0), (8)Seperti ditunjukkan pada Contoh 2.1.4, terdapat berbagai macam ukuran matriks.Ukuran (ordo) matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris dan banyaknyakolom yang ada dalam matriks tersebut. Jika sebuah matriks mempunyai m baris dann kolom, maka dikatakan bahwa ukuran (ordo) dari matriks tersebut adalah m × n.Ordo m × n berbeda dengan ordo n × m. Matriks pertama dalam Contoh 2.1.4 mempunyaiordo 3 × 3, matriks ke-2 mempunyai ordo 4 × 1, matriks ke-3 mempunyai ordo 1 × 3, danmatriks yang terakhir mempunyai ordo 1 × 1. Untuk matriks ordo 1 × 1 sering dituliskantanpa tanda kurung. Jadi, matriks (8) biasa ditulis dengan 8 saja.Nama matriks akan diberikan dengan notasi huruf besar dan elemen-elemennyaakan dilambangkan dengan huruf kecil, sebagai contohA = 306124451⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠ atau B = ⎛⎞⎜⎟⎝⎠abcdefDari matriks A diperoleh keterangan-keterangan sebagai berikut.Ordo matriks A adalah 3 × 3 karena mempunyai 3 baris dan 3 kolom.Elemen-elemen pada baris ke-1 adalah 3, 0, dan 6.Elemen-elemen pada baris ke-2 adalah 1, 2, dan 4.Elemen-elemen pada baris ke-3 adalah 4, 5, dan 1.Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa36Elemen-elemen pada kolom ke-1 adalah 3, 1, dan -4.Elemen-elemen pada kolom ke-2 adalah 0, 2, dan 5.Elemen-elemen pada kolom ke-3 adalah 6, 4, dan 1.Dari matriks B diperoleh keterangan-keterangan sebagai berikut.Ordo matriks B adalah 2 × 3 karena mempunyai 2 baris dan 3 kolom.Elemen-elemen pada baris ke-1 adalah a, b, dan c.Elemen-elemen pada baris ke-2 adalah d, e, dan f.Elemen-elemen pada kolom ke-1 adalah a dan d.Elemen-elemen pada kolom ke-2 adalah b dan e.Elemen-elemen pada kolom ke-3 adalah c dan f.W1.Bentuklah matriks dari keterangan-keterangan yang ada di dalam tabel berikut, dankemudian tentukan ordo dari matriks yang Anda peroleh.a.Tabel berikut menunjukkan hasil operasi penjumlahan pada jam limaan.b.Tabel berikut menyajikan nilai tugas dan nilai ujian dari Amir dan Ani, untuk matapelajaran Agama, Bahasa Indonesia, Matematika, dan Bahasa Inggris.c.Tabel berikut menunjukkan harga jual tiga kebutuhan pokok pada bulan Januari,Februari, dan Maret dalam satuan kilogram.Latihan 2.1+01234001234112340223401334012440123 Amir A n i Tugas UjianTugasUjianAgama 90 85 90 75Bahasa Indonesia 85 90 80 85Matematika 90 85 70 75Bahasa Inggris 75 85 85 80Mata Pelajaran BerasGula Minyak Goreng (Rp) (Rp) (Rp)Januari3.0004.500 6.500Februari2.7504.300 6.250Maret2.8004.250 6.400BulanBAB II ~ Matriks372.Carilah informasi atau keterangan di sekitar lingkungan Anda yang dinyatakan dalambentuk tabel bilangan, kemudian buatlah daftar matriksnya. Berapakah ordo darimatriks yang Anda peroleh?3.Diberikan matriks:A = 80221135452⎛⎞−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠a.Tentukan ordo matriks A.b.Tentukan elemen-elemen pada baris pertama.c.Tentukan elemen-elemen pada kolom ketiga.d.Tentukan elemen pada baris kedua dan kolom keempat.e.Tentukan elemen pada baris pertama dan kolom kelima.4.Buatlah daftar penjumlahan dan perkalian dalam jam empatan, kemudian buatlah daftarmatriknya, dan tentukan ordo matriks yang Anda peroleh.2.2Kesamaan Dua MatriksDua buah matriks, A dan B, dikatakan sama, ditulis A = B, jika kedua matrikstersebut mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak)sama.Contoh 2.2.1Tinjaulah matriks-matriks berikut.A = 3101⎛⎞⎜⎟⎝⎠ B = 1103⎛⎞⎜⎟⎝⎠ C = 211033⎛⎞⎜⎟⎝⎠ D = 11229⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠Walaupun ordo matriks A dan ordo matriks B sama juga elemen-elemennya sama,tetapi tidak semua elemen-elemen yang seletak sama, maka A ≠ B. Karena ordo matriksA tidak sama dengan ordo matriks C, maka A ≠ C. Ordo matriks B sama dengan ordomatriks D dan elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks ini juga sama, makaB = D.WContoh 2.2.2Diketahui matriks A = 01ab⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ dan B = 203bcc⎛⎞⎜⎟⎝⎠. Jika A = B, tentukan nilai-nilai daria, b, dan c.Penyelesaian:Dari A = B diperoleh hubungan:01ab⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ = 203bcc⎛⎞⎜⎟⎝⎠Berdasarkan sifat kesamaan dua buah matriks, diperoleh: a = 2b, 1 = c,b = 3cDari persamaan-persamaan ini, diperoleh: c = 1, b = 3c = 3(-1) = 3, dan a = 2b = 2(3) = -6WMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa38Contoh 2.2.3Diketahui matriks A = cossinsincosαααα⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ dan B = 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠. Jika A = B, tentukan nilai α.Penyelesaian:Karena A = B, maka cos α = 1 dan sin α = 0. Dari hubungan cos α = 1, diperoleh nilaiα = 0 + 2kπ . Dari hubungan sin α = 0, diperoleh α = 0 + kπ. Jadi, α = 0 + 2kπ.W1.Diketahui ordo matriks A adalah m × n dan ordo matriks B adalah p × q. Jika A = B, apayang Anda ketahui tentang hubungan antara m, n, p, dan q?2.Jika ordo dari matriks A sama dengan ordo matriks B, apakah A = B? Jika jawaban Andaya, jelaskan, tetapi jika tidak berikan contohnya.3.Jika matriks A sama dengan matriks B, apakah ordo matriks A sama dengan ordo matrikB? Berikan penjelasan.4.Jika matriks A dan matriks B mempunyai ordo m × n dan A = B, apa yang Anda ketahuitentang hubungan antara m dan n?5.Tentukan nilai x dan y sedemikian hingga 2345xyxy−⎛⎞⎜⎟+⎝⎠ = 157⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.6.Tentukan nilai x dan y sedemikian hingga 34255xyxy+⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ = 11258⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.7.Apakah ada nilai x dan y sedemikian hingga 012xyxy+⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ = 3110⎛⎞⎜⎟⎝⎠?8.Diketahui matriks A = cossinsincosαααα−⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = 1132211322⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠. Jika A = B, tentukan nilai α.2.3Jenis-Jenis MatriksBerikut ini diberikan jenis-jenis matriks yang mempunyai sifat-sifat khusus.a.Matriks PersegiJika suatu matriks mempunyai banyak baris sama dengan banyak kolom,maka matriks demikian disebut matriks persegi. Jika banyaknya baris pada matrikspersegi adalah n, maka matriks tersebut disebut matriks persegi ordo n × n atausering disebut matriks persegi ordo n.Latihan 2.2Next >