< PreviousBAB II ~ Matriks39Berikut ini diberikan beberapa contoh matriks persegi.A = 1430⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ matriks persegi ordo 2B = 304255421⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠ matriks persegi ordo 3b.Matriks DiagonalJika diberikan matriks persegiA = abcdefghijklmnop⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠maka elemen-elemen a, f, k, dan p disebut elemen-elemen yang terletak pada diagonalutama matriks A. Sebuah matriks persegi dinamakan matriks diagonal, jika semuaelemen di luar diagonal utama adalah nol. Berikut ini diberikan beberapa contohmatriks diagonal.A = 2001⎛⎞⎜⎟⎝⎠B = 100010000⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠C = 4000020000300005⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠Suatu matriks disebut matriks segitiga atas, jika semua elemen di bawah elemendiagonal utama adalah nol. Berikut ini beberapa contoh matriks segitiga atas.P = 3102−⎛⎞⎜⎟⎝⎠Q = 502013004⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠Suatu matriks disebut matriks segitiga bawah, jika semua elemen di atas elemendiagonal utama adalah nol. Berikut ini beberapa contoh matriks segitiga bawah.S = 200410305−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠T = 4000720080102305⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠c.Matriks IdentitasSebuah matriks diagonal dinamakan matriks identitas atau matriks satuan,jika setiap elemen pada diagonal utama dari matriks diagonal tersebut adalah 1.Matriks identitas sering dilambangkan dengan In, dengan n melambangkan ordo dari matriks identitas tersebut. Matriks identitas juga sering dinotasikandengan I saja.Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa40Berikut ini diberikan contoh matriks identitas.I2 = 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠I3 = 100010001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠d.Matriks NolSebuah matriks dikatakan matriks nol jika setiap elemen dari matriks tersebutadalah nol. Matriks nol sering dituliskan dengan O. Berikut ini diberikan beberapacontoh matriks nol.0000⎛⎞⎜⎟⎝⎠ , 000000000⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ , 0000000000000000⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ , dan ()0000e.Matriks BarisSebuah matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut matriks baris.Berikut ini beberapa contoh matriks baris.( 1 2 3),(1 4 7 8),dan(9 0 8 5 7 6 4)f.Matriks KolomSebuah matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom.Berikut ini beberapa contoh matriks kolom.20⎛⎞⎜⎟⎝⎠ , 110−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ , dan 1637⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠1.Apakah matriks nol selalu merupakan matriks persegi?2.Apakah matriks identitas selalu merupakan matriks persegi?3.Apakah matriks diagonal selalu matriks persegi?4.Apakah matriks nol merupakan matriks diagonal?5.Apakah matriks identitas merupakan matriks diagonal?6.Apakah matriks nol persegi merupakan matriks diagonal?Latihan 2.3BAB II ~ Matriks417.Berikan contoh matriks nol yang juga merupakan matriks baris?8.Berikan sebuah contoh matriks nol yang juga matriks kolom.9.Adakah matriks yang sekaligus merupakan matriks baris dan juga matriks kolom?10.Apakah matriks identitas merupakan matriks segitiga atas?11.Apakah matriks identitas merupakan matriks segitiga bawah?12.Apakah ada matriks yang merupakan matriks segitiga atas sekaligus juga merupakanmatriks segitiga bawah?13.Apakah matriks nol yang persegi juga merupakan matriks segitiga atas?2.4Transpose MatriksTranspose matriks A, ditulis dengan At, adalah matriks yang elemen-elemennyadiperoleh dari elemen-elemen matriks A dengan mengubah setiap elemen baris ke-ndari matriks A menjadi elemen kolom ke-n dari matriks At dan setiap elemen kolomke-m matriks A menjadi elemen baris ke-m dari matriks At. Jika A merupakan matrikspersegi ordo n, maka matriks At juga matriks persegi ordo n, tetapi jika A matriksberordo m × n, maka matriks At merupakan matriks berordo n × m. Berikut ini diberikancara menentukan transpose suatu matriks.Contoh 2.4.1Jika diberikan matriks-matriks:A = 107234−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠,B = 120231015⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,danC = 0110−⎛⎞⎜⎟⎝⎠maka transpose dari matriks-matriks tersebut adalah:At = 120374⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,Bt = 120231015⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,dan Ct = 0110⎛⎞⎜⎟−⎝⎠WDengan memperhatikan definisi transpose matriks di atas, dapat disimpulkanbahwa transpose matriks mempunyai sifat (At)t = A. Selanjutnya, sebuah matriks yangmempunyai sifat At = A disebut matriks simetris, sedangkan sebuah matriks yangmempunyai sifat At = A disebut matriks skew-simetris, dengan A adalah matriksyang entri-entrinya adalah negatif dari entri-entri matriks A.Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa421.Tentukan transpose dari matriks-matriks berikut.A = 200410305−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠,B = 502013004⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,C = 1637⎛⎞⎜⎜⎜−⎜⎜−⎝⎠,D = 304255421⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠,E = 543071−−−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠,F = (1 4 7 8),G = 0000000000000000⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠,H = 100010001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠2.Berikan beberapa contoh matriks yang menunjukkan bahwa (At)t = A.3.Berikan beberapa contoh matriks simetris.4.Berikan beberapa contoh matriks skew-simetris.5.Apakah matriks identitas merupakan matriks simetris?6.Apakah matriks nol yang persegi merupakan matriks simetris?7.Apakah (At) = (A)t? Berikan beberapa contoh.8.Apakah matriks simetris harus merupakan matriks persegi?9.Apakah matriks skew-simetris harus merupakan matriks persegi?10.Adakah matriks simetris yang sekaligus matriks skew-simetris? Jika ada berikancontohnya.2.5Operasi Aljabar Dua MatriksUntuk mengoptimalkan peranan matriks dalam berbagai persoalan, dalamsubbab ini akan dibahas ilmu hitung matriks yang meliputi penjumlahan duamatriks, pengurangan dua matriks, perkalian skalar dengan matriks, dan perkaliandua matriks.2.5.1Penjumlahan dan Pengurangan Dua MatriksBerikut ini diberikan daftar penerimaan tiga barang dagangan dari sebuahtoko bahan kebutuhan pokok yang diperoleh dari tiga orang penyalur (penyalurAmir, Budi, dan Siti) pada bulan Januari dan bulan Februari.Latihan 2.4BAB II ~ Matriks43Daftar Penerimaan Barang Bulan JanuariDaftar Penerimaan Barang Bulan FebruariDari dua daftar penerimaan barang tersebut, pemilik toko membuat daftarpenerimaan barang total dua bulan dari tiga penyalur tersebut, sehinggadiperoleh daftar penerimaan barang sebagai berikut.Daftar Penerimaan Barang Bulan Januari dan FebruariPerhatikan bahwa tabel ketiga diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen pada sel yang seletak dari tabel pertama dan tabel kedua. Dari persoalantersebut muncul ide untuk menjumlahkan dua buah matriks. Berikut inidiberikan definisi penjumlahan dua buah matriks yang mempunyai ordo sama.Untuk dua matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan.Penyalur Amir BudiSitiBeras 100 150125Gula 50 75 60Minyak 75 50 80Nama BarangPenyalur Amir BudiSitiBeras 75 100100Gula 75 50150Minyak 100 80 75Nama BarangPenyalur Amir BudiSitiBeras 175 250225Gula 125 125210Minyak 175 130155Nama BarangMatematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa44Definisi 2.2Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang mempunyai ordo sama,maka jumlah dua matriks A + B adalah matriks yang diperoleh denganmenambahkan bersama-sama elemen-elemen yang bersesuaian darikedua matriks tersebut.Contoh 2.5.1Jika diketahui matriks-matriks:A = 107234−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠, B = 543071⎛⎞⎜⎟−⎝⎠, dan C = 120231015⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,makaA + B = 15047320374(1)++−+⎛⎞⎜⎟+−++−⎝⎠ = 644243−⎛⎞⎜⎟⎝⎠sedangkan A + C dan B + C tidak dapat dijumlahkan atau tidak didefinisikankarena matriks A dan C serta matriks B dan C tidak mempunyai ordo yangsama.Jika B merupakan sebarang matriks, maka B adalah matriks yang elemen-elemennya adalah negatif dari elemen-elemen matriks B yang seletak, sebagaicontoh jikaB = 543071⎛⎞⎜⎟−⎝⎠makaB = 543071−−−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠WDefinisi 2.3Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang mempunyai ordo sama,maka selisih dua buah matriks, A B adalah matriks yang merupakanjumlah dari matriks A dan (B) atau A B = A + (B).Contoh 2.5.2Jika diketahui matriks-matriks:A = 107234−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ dan B = 543071⎛⎞⎜⎟−⎝⎠BAB II ~ Matriks45maka A B = A + (B) = 107234−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ + 543071−−−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ = 44102105−−−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠Perhatikan bahwa A B dapat diperoleh secara langsung denganmengurangkan elemen-elemen B dari elemen-elemen A yang seletak.Berikut ini diberikan sifat-sifat operasi penjumlahan dua buah matriks.Teorema 2.1Jika A, B, dan C merupakan matriks-matriks dengan ordo yang sama,maka berlaku:a.A + B = B + A(sifat komutatif terhadap penjumlahan)b.A + (B + C) = (A + B) + C(sifat asosiatif terhadap penjumlahan)c.Terdapat matriks nol O, sehingga:A + O = O + A = Ad.Terdapat matriks (A), sehingga:A + (A) = (A) + A = OBerikut ini diberikan contoh untuk memberikan gambaran dari teorema di atas.Contoh 2.5.3Jika diberikan matriks:A = 107234−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ dan B = 543071⎛⎞⎜⎟−⎝⎠makaA + B = 107234−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ + 543071⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ = 644243−⎛⎞⎜⎟⎝⎠,sedangkanB + A = 543071⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ + 107234−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ = 644243−⎛⎞⎜⎟⎝⎠Dari contoh ini jelas bahwa A + B = B + A.WPara siswa diharapkan dapat menunjukkan sifat-sifat yang lain denganmemberikan contoh-contoh.Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa461.Perusahaan Adi Prabowo mempunyai dua anak cabang perusahaan, yaitu AdiPrabowo I dan Adi Prabowo II, masing-masing mempunyai produk mesin jenis S, T,dan U. Banyaknya produksi pada bulan Januari, Februari, dan Maret disajikan dalamtabel berikut.a.Nyatakan data banyaknya produksi anak cabang perusahaan Adi Prabowo Isebagai matriks A.b.Nyatakan data banyaknya produksi anak cabang perusahaan Adi Prabowo IIsebagai matriks B.c.Berapa ordo matriks A dan berapa ordo matriks B?d.Nyatakan data-data pada tabel di atas sebagai penjumlahan matriks.2.Berikan sebuah contoh penyajian data yang ada di sekitar Anda, yang menunjukkanadanya operasi penjumlahan matriks.3.Diberikan matriks:A = 51289⎛⎞⎜⎟⎝⎠,B = 2305−⎛⎞⎜⎟⎝⎠,C = 5230−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠, D = 204153⎛⎞⎜⎟⎝⎠,E = 2106851−⎛⎞⎜⎟⎝⎠Tentukan matriks-matriks berikut jika mungkin, dan berikan alasan jika tidak mungkin.a.A + Bk.A Cb.A + Cl.D Ec.B + Cm.C Ad.B + An.E De.A + Eo.D Af.D + Ep.E + (-E)g.(A)q.(A + B) + Ch.(B)r.A + (B + C)i.A Bs.(A + C) + Bj.B Ct.A + (C + B)Latihan 2.5.1Adi Prabowo IAdi Prabowo IIAdi Prabowo S T U S T US T UJanuari200150 175 250100 50 450250 225Februari100 75 125 100100 75 200175 200Maret150125 100 125150 125 275275 225BulanBAB II ~ Matriks474.Diberikan matriks-matriks:P = 340161203528⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠ dan O = 000000000000⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠Tentukan matriks-matriks berikut.a.(P)e.O + Pb.P + (P)f.O Pc.(P) + Pg.P Od.P + O5.Tentukan nilai x, y, dan z jika diketahui:21xy⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ + 54zx⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 213y⎛⎞⎜⎟⎝⎠6.Tentukan nilai a, b, dan c jika diketahui:aacb⎛⎞⎜⎟⎝⎠ + 0bbc−⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 10613⎛⎞⎜⎟⎝⎠7.Apakah terdapat nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan berikut.111110acabacabc++−⎛⎞⎜⎟+++⎜⎟⎜⎟⎝⎠ = 232321111⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠8.Tentukan matriks A dan matriks B sedemikian hingga berlaku:a.205134⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ + A = 640123⎛⎞⎜⎟−⎝⎠b.815074−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ B = 254360⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠9.Jika diketahui matriks:A = 204153⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = 2106851−⎛⎞⎜⎟⎝⎠maka perlihatkan bahwa:a.(A + B)t = At + Btb.(A B)t = At Bt10.a.Buktikan bahwa jika A matriks simetrik (At = A), maka matriks (A + At) juga matrikssimetrik.b.Buktikan bahwa jika B matriks skew-simetrik (At = -A), maka matriks (B Bt) jugaskew-simetrik.Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa482.5.2Perkalian Skalar dengan MatriksJika c suatu skalar yang merupakan elemen dari bilangan real dan A suatumatriks, maka kita dapat melakukan operasi perkalian cA yang didefinisikansebagai berikut.Definisi 2.4Jika A suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali cA adalah matriksyang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen dari Adengan c.Contoh 2.5.4Jika diberikan matriksA = 107234−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠maka2A = 2014468−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ dan 3A = 30216912−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠WBerikut ini diberikan beberapa sifat perkalian skalar dengan matriks.Teorema 2.2Dengan menganggap bahwa operasi-operasi penjumlahan berikutterdefinisi, maka aturan-aturan perkalian skalar berikut berlaku.a.(km)A= k(mA)(k dan m sebarang skalar)b.(k + m)A= kA + mA(k dan m sebarang skalar)c.k(A + B)= kA + kB(k sebarang skalar)d.1A= Ae.0A= O(O matriks nol)Next >