< PreviousBAB II ~ Matriks491.Diketahui matriks-matriks:A = 2305−⎛⎞⎜⎟⎝⎠,B = 2153⎛⎞⎜⎟⎝⎠,C = 640123⎛⎞⎜⎟−⎝⎠,D = 205134⎛⎞⎜⎟−⎝⎠,E = 107234−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠,F = 351204⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠Tentukan matriks-matriks berikut jika mungkin dan berikan penjelasan jika tidakmungkin.a.5Ak.0Fb.2Cl.5(2A)c.3Dm.10Ad.5Fn.3(A + B)e.4A + 3Bo.3A + 3Bf.5B + 2Cp.2(C D)g.6C + 2Dq.(4 + 5)Fh.3E + Fr.9Fi.2A 3Bs.1Ej.7C 4D2.Diketahui matriks-matriks:A = ⎛⎞⎜⎟−⎝⎠3213 ,B = ⎛⎞⎜⎟⎝⎠4105 ,C = ⎛⎞⎜⎟−⎝⎠0641dan skalar: a = 2, b = 3.Dengan menghitung matriks-matriks berikut, tunjukkan bahwa:a.(a + b)C = aC + bCd.a(bC) = (ab)Cb.(a b)C = aC bCe.1A = Ac.a(B + C) = aB + aCf.0A = O3.Tentukan nilai x, y, dan z jika persamaan matriks berikut benar.321xy⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ 254zx⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 2111y⎛⎞⎜⎟−⎝⎠4.Diberikan matriks:A = 51289⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = 2305−⎛⎞⎜⎟⎝⎠Perlihatkan bahwa:a.(5A)t = 5Atb.(3A 2B)t = 3At 2BtLatihan 2.5.2Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa505.Jika diketahui:A = acbd⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = stuv⎛⎞⎜⎟⎝⎠serta m dan n merupakan sebarang skalar, tunjukkan bahwa:a.(mA)t = mAtb.(mA + nB)t = mAt + nBt2.5.3Perkalian Dua MatriksDi dalam subbab sebelumnya telah didefinisikan perkalian antara skalardengan matriks. Pertanyaan berikutnya adalah bagaimana definisi perkalianantara dua buah matriks? Dengan memperhatikan definisi penjumlahan duabuah matriks, maka cukup beralasan jika ada orang yang memikirkan bahwaperkalian dua buah matriks didefinisikan sebagai perkalian entri-entri yangseletak. Tetapi, definisi ini ternyata tidak begitu berguna untuk berbagai masalah.Berikut ini diberikan gambaran yang dapat memotivasi pendefinisian perkaliandua buah matriks. Perhatikan dua buah daftar berikut. Daftar pertamamenunjukkan daftar pembelian gula yang dilakukan oleh ibu Ani dan ibu Yulidalam bulan Januari dan bulan Februari. Daftar kedua menunjukkan harga gulaper kg dalam bulan Januari dan Februari.Daftar PertamaDaftar KeduaDari daftar di atas, diperoleh informasi bahwa:1.Uang yang dikeluarkan ibu Ani adalah:30 × Rp4.500,00 + 20 × Rp4.000,00 = Rp215.000,002.Uang yang dikeluarkan ibu Yuli adalah50 × Rp4.500,00 + 40 × Rp4.000,00 = Rp385.000,00Jika permasalahan tersebut disajikan dalam bentuk matriks, diperoleh bentuksebagai berikut.30205040⎛⎞⎜⎟⎝⎠ 4.5004.000⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 304.500204.000504.500404.000×+×⎛⎞⎜⎟×+×⎝⎠ = 215.000385.000⎛⎞⎜⎟⎝⎠Perhatikan bahwa setiap elemen baris ke-n (baris ke-1 atau baris ke-2) darimatriks pertama dikalikan dengan elemen-elemen pada kolom matriks kedua,kemudian dijumlahkan untuk mendapatkan matriks yang baru.Dengan memperhatikan permasalahan tersebut, para matematikawanmendefinisikan perkalian matriks sebagai berikut.JanuariFebruariIbu Ani 30 kg 20 kgIbu Yuli 50 kg 40 kg HargaJanuari Rp4.500,00Februari Rp4.000,00BAB II ~ Matriks51Definisi 2.5Jika A adalah matriks berordo m × r dan B adalah matriks berordo r × n,maka hasil kali AB adalah matriks berordo m × n yang elemen-elemennyaditentukan sebagai berikut. Elemen dalam baris ke-i dan kolom ke-j darimatriks AB diperoleh dengan menjumlahkan hasil kali elemen-elemenbaris ke-i dari matriks A dengan elemen-elemen kolom ke-j matriks B.Untuk memperjelas definisi di atas, berikut diberikan contoh perkaliandua buah matriks.Contoh 2.5.5Diberikan dua buah matriks:A = 107234−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ dan B = 214⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠Karena A merupakan matriks berordo 2 × 3 dan B matriks berordo 3 × 1, makamatriks hasil kali AB adalah matriks berordo 2 × 1. Untuk menentukan elemendalam baris pertama dan kolom pertama dari AB, kita dapat mengalikan elemen-elemen baris pertama dari matriks A dengan elemen-elemen kolom pertamamatriks B, sehingga diperoleh1(2) + 0(1) + (7)(4) = 2 + 0 28 = 26Untuk menentukan elemen dalam baris kedua dan kolom pertama dari AB, kitadapat mengalikan elemen-elemen baris kedua dari matriks A dengan elemen-elemen kolom pertama matriks B, sehingga diperoleh:2(2) + (3)(1) + 4(4) = 4 3 + 16 = 17Jadi, matriks hasil kali AB adalahAB = 2617−⎛⎞⎜⎟⎝⎠Karena matriks B mempunyai ordo 3 × 1 dan matriks A mempunyai ordo 2 × 3,berdasarkan definisi di atas, maka perkalian matriks BA tidak terdefinisi.Contoh 2.5.6Diberikan dua buah matriks:A = 132501−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠ dan B = 20741320⎛⎞⎜⎟−⎝⎠Karena A merupakan matriks berordo 3 × 2 dan B matriks berordo 2 × 4, maka ABmerupakan matriks berordo 3 × 4. Elemen-elemen dari matriks AB dapatditentukan sebagai berikut.Ø Elemen baris pertama dan kolom pertama adalah:1(2) + (3)(1) = 2 3 = 1Ø Elemen baris pertama dan kolom kedua adalah:1(0) + (3)(3) = 0 + 9 = 9Ø Elemen baris pertama dan kolom ketiga adalah:1(7) + (3)(2) = 7 6 = 1Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa52Ø Elemen baris pertama dan kolom keempat adalah:1(4) + (3)(0) = 4 + 0 = 4Ø Elemen baris kedua dan kolom pertama adalah:2(2) + 5(1) = 4 + 5 = 9Ø Elemen baris kedua dan kolom kedua adalah:2(0) + 5(3) = 0 15 = 15Ø Elemen baris kedua dan kolom ketiga adalah:2(7) + 5(2) = 14 + 10 = 24Ø Elemen baris kedua dan kolom keempat adalah:2(4) + 5(0) = 8 + 0 = 8Ø Elemen baris ketiga dan kolom pertama adalah:0(2) + (1)(1) = 0 1 = 1Ø Elemen baris ketiga dan kolom kedua adalah:0(0) + (1)(3) = 0 + 3 = 3Ø Elemen baris ketiga dan kolom ketiga adalah:0(7) + (1)(2) = 0 2 = 2Ø Elemen baris ketiga dan kolom keempat adalah:0(4) + (1)(0) = 0 + 0 = 0Jadi, matriks AB adalah:AB = 19149152481320−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠Dengan alasan yang sama dengan contoh sebelumnya, maka perkalian matriksBA tidak terdefinisikan.Contoh 2.5.7Diketahui matriks:A = 203145⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = 351204⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠Tentukan matriks AB dan matriks BA.Penyelesaian:Karena matriks A berordo 2 × 3 dan matriks B berordo 3 × 2 maka matriks ABberordo 2 × 2, sedangkan matriks BA berordo 3 × 3.Dengan perhitungan seperti contoh sebelumnya, diperoleh:AB = 203145⎛⎞⎜⎟⎝⎠ 351204⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠ = 6001001262340582077+++−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟+++−−⎝⎠⎝⎠danBA = 351204⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠ 203145⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 65020925112034220831048130401602041620+++⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟+++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−−−⎝⎠⎝⎠Tampak bahwa AB tidak sama dengan BA.WBAB II ~ Matriks53Contoh 2.5.8Diketahui A = 2153⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠. Tentukan matriks AB.Penyelesaian:AB = 2153⎛⎞⎜⎟⎝⎠xy⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 253xyxy+⎛⎞⎜⎟+⎝⎠WCatatan:1.Definisi perkalian matriks A dan B menyaratkan bahwa banyaknyakolom matrik A harus sama dengan banyaknya baris matriks B, untukmendapatkan matriks AB.Am × r Br × n = ABm × nJika syarat tersebut tidak dipenuhi, maka operasi perkalian tersebuttidak terdefinisi.2.Tidak seperti perkalian pada bilangan real yang berlaku sifatkomutatif, perkalian matriks tidak bersifat komutatif, yaitu untuksebarang matriks A dan B, AB tidak selalu sama dengan BA. Terdapattiga kemungkinan matriks AB tidak sama dengan matriks BA.ØKemungkinan I. Matriks AB terdefinisi, sedangkan matriks BAtidak terdefinisi, sebagai contoh jika matriks A berukuran 3 × 2dan B berukuran 2 × 4, maka matriks AB berukuran 3 × 4 sedangkanmatriks BA tidak terdefinisi.ØKemungkinan II. Matriks AB dan matriks BA terdefinisi, tetapimempunyai ukuran (ordo) yang berbeda, sebagai contoh jikamatriks A berukuran 3 × 2 dan B berukuran 2 × 3, maka matriks ABberukuran 3 × 3 sedangkan matriks BA berukuran 2 × 2.ØKemungkinan III. Matriks AB dan matriks BA terdefinisi danmempunyai ukuran (ordo) yang sama, tetapi elemen-elemen darimatriks AB dan BA berbeda. Berikut ini sebuah contoh yangmenggambarkan hal ini.Diberikan matriks A dan B:A = 1023−⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = 1230⎛⎞⎜⎟⎝⎠Dengan mengalikan kedua matriks tersebut, diperoleh:AB = 12114−−⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan BA = 3630⎛⎞⎜⎟−⎝⎠Jadi, AB ≠ BA.Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa54Berikut ini diberikan sifat-sifat perkalian dua buah matriks.Teorema 2.3Dengan menganggap bahwa operasi-operasi perkalian berikut terdefinisi,maka aturan-aturan perkalian matriks berikut berlaku.a.k(AB)= (kA)B (k sebarang skalar)b.A(BC)= (AB)C (sifat asosiatif terhadap perkalian)c.A(B + C)= AB + AC (sifat distributif kanan)d.(B + C)A= BA + CA (sifat distributif kiri)e.AI = IA= A (I matriks identitas)f.AO = OA= O (O matriks nol)Para siswa diharapkan mencoba membuktikan beberapa sifat di atasdengan memberikan contoh beberapa matriks yang berbeda-beda.1.Diketahui matriks:A = 231412325−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠ dan B = 304255421⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠Tentukan:a.baris pertama matriks ABe.kolom kedua matriks ABb.baris pertama matriks BAf.kolom kedua matriks BAc.baris ketiga matriks ABg.baris ketiga matriks AAd.baris ketiga matriks BAh.kolom ketiga matriks BB2.Diketahui matriks-matriks:A = 2305−⎛⎞⎜⎟⎝⎠ , B = 2153⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ,C = 640123⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ ,D = 205134⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ , E = 107234−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ , F = 351204⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠Tentukan matriks-matriks berikut jika mungkin dan berikan penjelasan jika tidakmungkin.a.ABe.A2b.BAf.CDc.ACg.EFd.CAh.FELatihan 2.5.3BAB II ~ Matriks55i.A(BC)m.5(AB)j.(AB)Cn.(5A)Bk.(A + B)Co.A(D + E)l.AC + BCp.AD + AE3.Diketahui matriks-matriks: A = 2305−⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ,I = 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ,O = 0000⎛⎞⎜⎟⎝⎠Tentukan matriks-matriks berikut.a.AIc.AOb.IAd.OA4.Carilah matriks A, B, dan C sedemikian hingga persamaan matriks berikut benar.a.32153⎛⎞⎜⎟⎝⎠ + A = 1230⎛⎞⎜⎟⎝⎠b.2107234−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ 3B = 205134⎛⎞⎜⎟−⎝⎠c.5C + 3351204⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠ = 254360⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠5.Diketahui matriks-matriks: A = 231412325−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠ ,B = xyz⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ , dan C = 123⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠a.Tentukan matriks AB.b.Jika AB = C, nyatakan persamaan matriks tersebut sebagai sistem persamaan linear.6.Nyatakan sistem persamaan linear berikut sebagai persamaan matriks.a.238510xyxy+=⎧⎨−=⎩b.52256xyxy+=−⎧⎨−=⎩c.23525834510xyzxyzxyz+−=⎧⎪−+=⎨⎪+−=⎩Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa567.Diberikan matriks:A = 51289⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = 2305−⎛⎞⎜⎟⎝⎠Perlihatkan bahwa:a.(AB)t = BtAtb.(BA)t = AtBt8.Buktikan bahwa jika B merupakan matriks simetrik (Bt = B), maka BBt juga merupakanmatriks simetrik.2.5.4Perpangkatan MatriksSeperti halnya di dalam operasi bilangan, di dalam matriks pun kita jugamengenal operasi perpangkatan. Karena perpangkatan merupakan operasiperkalian yang diulang-ulang, maka untuk melakukan perpangkatan syaratyang ada di dalam perkalian matriks harus dipenuhi pada operasi perpangkatan,yaitu banyaknya kolom matriks pertama harus sama dengan banyaknya barismatriks kedua. Di dalam perpangkatan, matriks pertama sama dengan matrikskedua, sehingga untuk melakukan perpangkatan harus dipenuhi bahwabanyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Ini berarti, untuk melakukanoperasi perpangkatan, matriknya harus merupakan matriks persegi.Untuk matriks persegi A, perpangkatan matriks A didefinisikan sebagaiberikut:faktornnAAAAA=L14243Untuk n = 0, didefinisikan A0 = I, dengan I adalah matriks identitas.Contoh 2.5.9Diketahui matriks A = 1230⎛⎞⎜⎟⎝⎠.a.Tentukan A2.b.Jika f(x) = 3x2 + 5x 2, tentukan f(A).Penyelesaian:a.A2= AA= 1230⎛⎞⎜⎟⎝⎠ 1230⎛⎞⎜⎟⎝⎠= ⋅+⋅⋅+⋅⎛⎞⎜⎟⋅+⋅⋅+⋅⎝⎠1123122031033200= 7236⎛⎞⎜⎟⎝⎠BAB II ~ Matriks57b.f(A) = 3A2 + 5A 2I = 37236⎛⎞⎜⎟⎝⎠ + 51230⎛⎞⎜⎟⎝⎠ 21001⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 216918⎛⎞⎜⎟⎝⎠ + 510150⎛⎞⎜⎟⎝⎠ 2002⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 24162416⎛⎞⎜⎟⎝⎠WCatatan:Dalam hal ini digunakan aturan bahwa jika f(x) = ax2 + bx + c, dengan a,b,cbilangan real, maka untuk sebarang matriks persegi A berlaku: f(A) = aA2 + bA2 + cI,dengan I matriks identitas dengan ordo sama dengan ordo dari A.1.Diketahui matriks:A = 2305−⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan I = 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠Hitunglah:a.A2b.A3c.A2 + 2A + I2.Diketahui matriks:B = 231112321⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠ dan I = 100010001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠Hitunglah:a.B2c.f(B), jika f(x) = x2 + 2x + 3b.B3d.g(B), jika g(x) = x3 x2 + x 13.Jika diketahui:A = 2305−⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan I = 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠tentukan nilai m dan n sedemikian hingga berlaku A2 = mA + nI.Latihan 2.5.4Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa584.Buktikan bahwa jika B = 1301⎛⎞⎜⎟⎝⎠dan n sebarang bilangan nonnegatif, maka berlaku Bn = 1301n⎛⎞⎜⎟⎝⎠.5.Jika A merupakan matriks persegi dan n bilangan bulat nonnegatif, apakah benar bahwa(An)t = (At)n? Apakah pernyataan tersebut juga benar untuk matriks A yang bukan matrikspersegi?2.6Determinan MatriksKita semua sudah cukup mengenal fungsi f(x) = x + 2, g(x) = x2 5x + 6, dan lain-lain, yaitu suatu fungsi yang mengawankan bilangan real x dengan bilangan real f(x).Fungsi demikian disebut fungsi bernilai real dari sebuah variabel real. Di dalam subbabini, kita akan mengkaji fungsi bernilai real dari sebuah variabel matriks. Ini berartibahwa daerah asal (domain) fungsinya adalah himpunan semua matriks persegi dandaerah kawan (kodomain) fungsinya adalah himpunan bilangan real. Fungsi iniselanjutnya akan disebut determinan.Berikut ini diberikan definisi determinan matriks persegi ordo 2 × 2.Definisi 2.6Jika A merupakan matriks persegi ordo 2 × 2, misalkan:A = abcd⎛⎞⎜⎟⎝⎠maka yang dimaksud dengan determinan dari A adalah bilangan real yangdidefinisikan dengan det(A) = ad bc.Untuk memudahkan mengingat rumus determinan matriks ordo 2 × 2, perhatikanbentuk berikut.Rumus determinan matriks A, det(A) diperoleh dengan mengalikan elemen-elemen padapanah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali elemen-elemen padapanah yang mengarah ke kiri.Determinan matriks A sering dituliskan dengan det(A) atau |A|. Jika det(A) = 0,maka matriks A disebut matriks singular, dan jika det(A) ≠ 0, maka matriks A disebutmatriks nonsingular.Untuk memahami definisi determinan, berikut ini diberikan beberapa contohmenghitung nilai determinan suatu matriks. a b c d (-) (+)Next >