< PreviousBAB II ~ Matriks59Contoh 2.6.1Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut.a.A = 3142⎛⎞⎜⎟−⎝⎠b.B = 1243kk−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠c.C = 7500⎛⎞⎜⎟⎝⎠Penyelesaian:a.det(A) = (3) ⋅ (2) (1) ⋅ (4) = 6 4 = 10.b.det(B) = (k 1)(k 3) (2)(4) = k2 4k + 3 8 = k2 4k 5.c.det(C) = (7)(0) (5)(0) = 0 0 = 0.WContoh 2.6.2Tentukan semua nilai k sedemikian hingga det(A) = 0, jika A = 1214kk−−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.Penyelesaian:det(A) = 0 ⇔ (k 1)(k 4) (2)(1) = 0 ⇔ k2 5k + 4 + 2 = 0 ⇔ k2 5k + 6 = 0 ⇔ (k 3)(k 2) = 0 ⇔ k 3 = 0 atau k 2 = 0 ⇔ k = 3 atau k = 2WSekarang kita berikan definisi determinan matriks persegi berordo 3 × 3.Definisi 2.7Jika A merupakan matriks persegi ordo 3 × 3, misalkan:A =111213212223313233aaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠maka yang dimaksud dengan determinan dari A, ditulis dengan det(A), adalahbilangan real yang didefinisikan dengan:det(A) = a11⋅a22⋅a33 + a12⋅a23⋅a31 + a13⋅a21⋅a32 - a13⋅a22⋅a31 - a11⋅a23⋅a32 - a12⋅a21⋅a33.Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa60Untuk memudahkan mengingat rumus determinan matriks ordo 3 × 3, perhatikanbentuk berikut.Langkah pertama kita menyalin kolom pertama dan kolom kedua, dan diletakkan padasisi sebelah kanan dari matriks seperti tampak pada gambar di atas. Langkah keduamenjumlahkan hasil kali elemen-elemen pada panah yang mengarah ke kanan danmengurangkan hasil kali elemen-elemen pada panah-panah yang mengarah ke kiri.Hasil tersebut adalah determinan yang dimaksud.Contoh 2.6.3Tentukan determinan matriks-matriks berikut.a.A = 123456789⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠b.B = 103405309⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠Penyelesaian:a.det(A)= 123124564578978−−−−= (1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8) (3)(5)(7) (1)(6)(8) (2)(4)(9)= 45 + 84 + 96 105 + 48 + 72= 240b.det(B)= 103104054030930= (1)(0)(9) + (0)(5)(3) + (3)(4)(0) (3)(0)(3) (1)(5)(0) (0)(4)(9)= 0 + 0 + 0 0 0 0= 0Wa11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 (-) (-) (-) (+) (+) (+) BAB II ~ Matriks611.Hitunglah determinan dari matriks-matriks ordo 2 × 2 berikut ini.a.A = 1213⎛⎞⎜⎟⎝⎠d.D = 1243kk−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠b.B = 6234−⎛⎞⎜⎟⎝⎠e.E = 2465kk−−⎛⎞⎜⎟−+⎝⎠c.C = 51036⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠2.Tentukan nilai k sedemikian hingga det(A) = 0, jika:A = 3285kk+−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠3.Tentukan nilai k sedemikian hingga det(A) = 5, jika:A = 1243kk−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠4.Hitunglah determinan matriks ordo 3 × 3 berikut ini.a.A = 131221403⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠c.C = 401221345kkk−⎛⎞⎜⎟+−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠b.B = 186401203⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠5.Tentukan nilai k sedemikian hingga det(A) = 0, jika:A = 60001042kkk−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠6.Buktikan bahwa jika matriks A berordo 2 × 2 mempunyai baris yang elemen-elemennyabilangan nol, maka det(A) = 0.7.Buktikan bahwa jika matriks A berordo 3 × 3 mempunyai kolom yang elemen-elemennyabilangan nol, maka det(A) = 0.8.Buktikan bahwa jika matriks A berordo 2 × 2 mempunyai baris kedua yang elemen-elemennya dua kali baris pertama, maka det(A) = 0.9.Dengan memberikan contoh, tunjukkan bahwa det(A) = det(At).10.Dengan memberikan contoh, tunjukkan bahwa jika matriks A berordo 2 × 2, makadet(kA) = k2 det(A).Latihan 2.6Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa622.7Invers MatriksDalam teori bilangan, kita mengenal bahwa kebalikan (invers) bilangan 2terhadap perkalian yaitu bilangan 12, sebab (2)12⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 1. Demikian juga kebalikan (invers)bilangan 35 adalah 53 sebab 35⎛⎞⎜⎟⎝⎠53⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 1. Sekarang kita akan memperhatikan inversdari suatu matriks persegi.Definisi 2.8Matriks A disebut invers matriks B, jika berlaku AB = BA = I, dengan I merupakanmatriks identitas.Catatan:1.Invers matriks B dituliskan dengan B-1.2.Jika A merupakan invers matriks B, maka dituliskan bahwa B-1 = A.3.Jika A invers matriks B, maka B juga merupakan invers matriks A.4.Pembahasan invers matriks hanya dibatasi pada matriks persegi, tidak adadefinisi invers matriks yang tidak persegi.Contoh 2.7.1Jika diketahui:A = 3152⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = 2153−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠tunjukkan bahwa A merupakan invers matriks B.Penyelesaian:Akan ditunjukkan bahwa AB = BA = I.Perhatikan bahwa:AB = 3152⎛⎞⎜⎟⎝⎠ 2153−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ = 6533101056−−+⎛⎞⎜⎟−−+⎝⎠ = 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠BAB II ~ Matriks63danBA = 2153−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠3152⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 6522151556−−⎛⎞⎜⎟−+−+⎝⎠ = 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠Jadi, terbukti bahwa AB = BA = I. Ini berarti bahwa A merupakan invers matriks B dansebaliknya B merupakan invers matriks A.WPertanyaan berikutnya, bagaimana menentukan invers suatu matriks persegi?Berikut ini diberikan teorema yang dapat digunakan untuk menentukan invers suatumatriks berordo 2 × 2.Teorema 2.4Jika A = abcd⎛⎞⎜⎟⎝⎠, maka A-1 = 1dbcaadbc−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠, asalkan ad bc ≠ 0.B u k t i:Akan ditunjukkan bahwa AA-1 = A-1A = I.Perhatikan bahwa:AA-1= abcd⎛⎞⎜⎟⎝⎠ 1dbcaadbc−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠ = 1adbc− abcd⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dbca−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠= 1adbc− adbcabbacddcbcda−−+⎛⎞⎜⎟−−+⎝⎠= 1adbc− 00adbcadbc−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠= 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa64danA-1A= 1dbcaadbc−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠abcd⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 1adbc−dabcdbbdcaaccbad−−⎛⎞⎜⎟−+−+⎝⎠= 1adbc−00adbcadbc−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠= 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠Karena AA-1 = A-1A = I, maka terbuktilah bahwa A-1 merupakan invers darimatriks A.WCatatan:1.Ingat kembali bahwa bilangan ad bc adalah determinan matriks A, ataudet(A) = ad bc, jika A = abcd⎛⎞⎜⎟⎝⎠.2.Dari Teorema 2.4, jika A merupakan matriks nonsingular atau det(A) ≠ 0,maka invers matriks A ada, tetapi jika matriks A merupakan matriks singularatau det(A) = 0, maka invers matriks A tidak ada.Contoh 2.7.2Tentukan invers matriks-matriks berikut (jika ada).a.A = 5273⎛⎞⎜⎟⎝⎠b.B = 3162−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠c.C = cossinsincosαααα⎛⎞⎜⎟−⎝⎠BAB II ~ Matriks65Penyelesaian:a.Karena det(A) = (5)(3) (2)(7) = 15 14 = 1 ≠ 0, maka invers matriks A ada.Dengan menggunakan rumus untuk mencari invers, diperoleh:A-1 = 321751514−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠ = 3275−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠b.Karena det(B) = (3)(2) (1)(6) = 6 + 6 = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers.c.Karena untuk sebarang sudut α, berlaku det(C) = cos2 α + sin2 α = 1 ≠ 0, maka inversmatriks C ada. Dengan menggunakan rumus untuk mencari invers, diperoleh: C-1 = 22cossin1sincoscossinαααααα−⎛⎞⎜⎟+⎝⎠ = cossinsincosαααα−⎛⎞⎜⎟⎝⎠WContoh 2.7.3Tentukan matriks A dan matriks B yang memenuhi persamaan matriks berikut.a.3152⎛⎞⎜⎟⎝⎠A = 2243⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠b.B 5273⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 2324⎛⎞⎜⎟⎝⎠Penyelesaian:a.Perhatikan persamaan matriks:3152⎛⎞⎜⎟⎝⎠A = 2243⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠ (i)Jika dimisalkan P = 3152⎛⎞⎜⎟⎝⎠, maka P-1 = 2153−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.Akibatnya, jika persamaan (i) dikalikan dari kiri dengan P-1, maka diperoleh:2153−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠3152⎛⎞⎜⎟⎝⎠A = 2153−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠2243⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠ ⇔ 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠A = 872219⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠ ⇔ A = 872219⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠b.Perhatikan persamaan matriks:B 5273⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 2324⎛⎞⎜⎟⎝⎠ (ii)Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa66Jika dimisalkan Q = 5273⎛⎞⎜⎟⎝⎠, maka Q-1 = 3275−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.Akibatnya, jika persamaan (ii) dikalikan dari kanan dengan Q-1, maka diperoleh:B 5273⎛⎞⎜⎟⎝⎠3275−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ = 2324⎛⎞⎜⎟⎝⎠3275−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ ⇔ B 1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 15112216−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ ⇔ B = 15112216−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠WTeorema 2.5Jika matriks A dan B mempunyai invers, maka matriks AB juga mempunyaiinvers dan(AB)-1 = B-1A-1B u k t i:Harus ditunjukkan bahwa (AB)( B-1A-1) = (B-1A-1)(AB) = I.Perhatikan bahwa:(AB)( B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AIA-1 = AA-1 = Idan( B-1A-1)(AB) = B-1(A-1A)B= B-1IB= B-1B= IJadi, terbukti bahwa (AB)-1 = B-1A-1.WContoh 2.7.4Jika diketahui:A = 3152⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = 2243⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠,tentukan:a.matriks ABb.invers matriks AB atau (AB)-1c.matriks A-1d.matriks B-1e.matriks A-1B-1f.matriks B-1A-1Penyelesaian:a.AB = 3152⎛⎞⎜⎟⎝⎠ 2243⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠ = 2324⎛⎞⎜⎟⎝⎠BAB II ~ Matriks67b.(AB)-1 = 4312286−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠ = 32211⎛⎞−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠c.A-1 = 2115365−⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠ = 2153−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠d.B-1 = 3214268−−⎛⎞⎜⎟−+⎝⎠ = 31221⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠e.A-1B-1 = 2153−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠31221⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠ = 532782−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠f.B-1A-1 = 31221⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠2153−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ = ⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠32211Dari contoh ini tampak bahwa (AB)-1 = B-1A-1 dan (AB)-1 ≠ A-1B-1.W1.Carilah invers dari matriks-matriks berikut (jika ada).a.A = 3243⎛⎞⎜⎟⎝⎠d.D = 2314−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠b.B = 5432⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠e.E = ⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠1122113c.C = 1326⎛⎞⎜⎟⎝⎠f.F = cossinsincosxxxx⎛⎞⎜⎟−⎝⎠2.Tentukan nilai k sedemikian hingga matriks-matriks berikut punya invers.a.A = 2221kkk⎛⎞⎜⎟+⎝⎠c.C = 2322kkkk⎛⎞⎜⎟⎝⎠b.B = 1513kk−⎛⎞⎜⎟+⎝⎠(Ingat bahwa suatu matriks punya invers, jika determinannya tidak sama dengan nol).Latihan 2.7Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa683.Diketahui matriks-matriks:A = 2132⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = 3524⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠Tentukan matriks-matriks berikut.a.A-1i.Atb.B-1j.(At)-1c.ABk.(A-1)td.(AB)-1l.2Ae.A-1B-1m.(2A)-1f.B-1A-1n.(A + B)g.A-1Ao.(A + B)-1h.AA-1p.A-1 + B-14.Dengan menggunakan hasil-hasil dari No. 3, jawablah pertanyaan berikut ini.a.Apakah (AB)-1 = A-1B-1?b.Apakah (AB)-1 = B-1A-1?c.Apakah A-1A = AA-1 = I?d.Apakah (At)-1 = (A-1)t?e.Apakah (2A)-1 = 2A-1?f.Apakah (A + B)-1 = A-1 + B-1?5.Tentukan matriks X sedemikian hingga persamaan-persamaan matriks berikut benar.a.2132⎛⎞⎜⎟⎝⎠X = 25⎛⎞⎜⎟⎝⎠c.5432⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠X = 1326⎛⎞⎜⎟⎝⎠b.X3524⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠ = ()13−d.X3243⎛⎞⎜⎟⎝⎠ = 2314−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠6.a.Apakah matriks nol (O) berordo 2 × 2 mempunyai invers?b.Apakah matriks identitas (I) berordo 2 × 2 mempunyai invers? Jika ya, tentukaninversnya.7.Diketahui:A = 5364⎛⎞⎜⎟⎝⎠ dan B = 5432⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠Tentukan matriks-matriks berikut.a.A-1f.13 A-1b.(A-1)-1g.(A + B)c.3Ah.(A + B) (A + B)d.(3A)-1i.AA + 2AB + BBe.3 A-1j.AA + AB + BA + BBNext >