< PreviousBab 3 Pengaruh Gaya pada Elastisitas Bahan53Sumber: Tempo, Agustus 2005Gambar 3.7 Tiga buahpegas disusun paralel makagaya total terbagi padamasing-masing pegas.Secara matematis dinyatakan:F=k . x........................................................... (3.5)dengan:F=gaya yang dikerjakan pada pegas (N)x=pertambahan panjang (m)k=konstanta pegas (N/m)Pada saat ditarik, pegas mengadakan gaya yangbesarnya sama dengan gaya tarikan tetapi arahnyaberlawanan (Faksi = -Freaksi). Jika gaya ini disebut gaya pegasFP maka gaya ini pun sebanding dengan pertambahanpanjang pegas.Fp=-FFp=-k.x.................................................................. (3.6)dengan:Fp = gaya pegas (N)Berdasarkan persamaan (3.5) dan (3.6), HukumHooke dapat dinyatakan:Pada daerah elastisitas benda, besarnya pertambahanpanjang sebanding dengan gaya yang bekerja pada benda.Sifat pegas seperti ini banyak digunakan dalamkehidupan sehari-hari, misalnya pada neraca pegas danpada kendaraan bermotor (pegas sebagai peredam kejut).Dua buah pegas atau lebih yang dirangkaikan dapat digantidengan sebuah pegas pengganti. Tetapan pegas penggantiseri dinyatakan oleh persamaan: n321s1...1111kkkkk .Adapun tetapan pegas pengganti paralel (kp) dinyatakanoleh persamaan: kp = k1 + k2 + k3 + ... kn.Sebuah pegas yang panjangnya 15 cm digantungkan vertikal. Jika diberikan gaya0,5 N, panjang pegas menjadi 25 cm. Berapakah panjang pegas jika diregangkanoleh gaya 0,6 N?Penyelesaian:Diketahui:L0= 15 cmF1= 0,5 NL1= 25 cmF2= 0,6 NDitanya:x= ....? (F = 0,6 N)Jawab:x=L1 – L0 = (25 – 15) cm = 10 cm = 0,1 mF1=k.xk= xF1= 1,05,0= 5 N/mContoh Soal54Fisika XI untuk SMA/MAUji Kemampuan 3.3Sebuah pegas dengan panjang 12 cm digantungkan dan diberi gaya sebesar 1,4 N,maka panjang pegas menjadi 20 cm. Hitunglah panjang pegas jika diregangkandengan gaya 1,6 N!D.Analisis Gerakan PegasUntukF2 = 0,6 N, maka:F2=k.xx= kF2= 56,0= 0,12 m = 12 cmJadi, panjang pegas = L0 + x = (15 + 12) cm = 27 cmGambar 3.8 Analisis gerak harmonikpada pegas.mFmF = 0VFF = 0VFm(a)(b)(c)(d)(e)(f)x = -Ax = 0x = AxGerak pegas menyebabkan benda bergerak bolak-balik, yang disebut sebagai gerak harmonik. Gerakharmonik mengarah pada titik kesetimbangan.Perhatikan gambar di samping (Gambar 3.8).Pegas mempunyai panjang alami, dimana pegastidak memberikan gaya pada benda. Posisi bendapada titik tersebut disebut setimbang. Jika pegasdirentangkan ke kanan, pegas akan memberikangaya pada benda yang bekerja dalam arah mengem-balikan massa ke posisi setimbang. Gaya ini disebutgaya pemulih, yang besarnya berbanding lurusdengan simpangannya.Sekarang kita perhatikan apa yang terjadiketika pegas yang awalnya ditarik sejauh x, sepertiGambar 3.8(b) kemudian dilepaskan. Bagaimana-kah gerakan benda pada ujung pegas tersebut?Berdasarkan Hukum Hooke, pegas memberikangaya pada massa yang menariknya ke posisi setimbang.Karena massa dipercepat oleh gaya pemulih, maka massaakan melewati posisi setimbang dengan kecepatan cukuptinggi. Pada saat melewati titik kesetimbangan, gaya yangbekerja pada massa sama dengan nol, karena x = 0, sehinggaF = 0, tetapi kecepatan benda terus bergerak ke kiri, gayapemulih berubah arah ke kanan dan memperlambat lajubenda tersebut dan menjadi nol ketika melewati titiksetimbang dan berhenti sesaat di x = A. Selanjutnya, bendabergerak ke kiri dan seterusnya bergerak bolak-balik melaluititik setimbang secara simetris antara x = A dan x = -A.Bab 3 Pengaruh Gaya pada Elastisitas Bahan551.Periode dan FrekuensiUntuk membahas suatu getaran atau gerak harmonik,ada beberapa istilah yang harus diketahui, antara lainperiode dan frekuensi. Periode didefinisikan sebagai waktuyang diperlukan untuk satu siklus gerak harmonik.Sementara itu, frekuensi adalah jumlah siklus gerakharmonik yang terjadi tiap satuan waktu.Gerak harmonik pegas pada dasarnya merupakanproyeksi gerak melingkar pada salah satu sumbu utamanya,sehingga periode dan frekuensi dapat ditentukan denganmenyamakan gaya pemulih dengan gaya sentripetal.¦F=m.ask.x=m.2Z.xk= m.2ZKarena Z = TS2, maka:k= 224TmðT=kmð2........................................................... (3.7)Besarnya frekuensi dapat dihitung dari persamaan (3.7),karena f = T1, maka:f=mkS21......................................................(3.8)dengan:T=periode (sekon)m=massa beban (kg)k=konstanta pegas (N/m)f=frekuensi (Hz)Gambar 3.9 Benda yangmelakukan gerak harmonikdapat dihitung periode danfrekuensinya.cab2.Susunan PegasPada susunan pegas, baik susunan seri, paralel, ataukombinasi keduanya, besarnya konstanta pegas merupakankonstanta pegas pengganti. Misalnya, tiga pegas dengankonstanta gaya k1, k2, dan k3 disusun seri seperti padaGambar 3.10.Apabila pada ujung susunan pegas bekerja gaya F,maka masing-masing pegas mendapat gaya yang samabesar yaitu F. Berdasarkan Hukum Hooke, pertambahanpanjang masing-masing pegas adalah:F=k1.x1ox1=1kFk1k2k3FGambar 3.10 Susunan seripegas.56Fisika XI untuk SMA/MATiga buah pegas identik dengan konstanta gaya300 N/m disusun seperti gambar. Jika pegas diberibeban bermassa 6 kg, hitunglah pertambahan panjangmasing-masing pegas! (g = 10 m/s2)Penyelesaian:Diketahui:k1= k2 = k3 = 300 N/mm= 6 kgg= 10 m/s2Contoh Soalk1k2k3m = 6 kgF=k2.x2ox2=2kFF=k3.x3ox3=3kFPertambahan panjang total susunan pegas:x=x1 + x2 +x3kF=123n...FFFFkkkk1ks = n3211...111kkkk.............................. (3.9)dengan:kS= konstanta gaya total susunan pegas seriPerhatikan Gambar 3.11. Tiga buah pegas masing-masing dengan konstanta gaya k1, k2, dan k3, disusunparalel dan pada ujung ketiga pegas bekerja gaya F.Selama gaya F bekerja, pertambahan panjang masing-masing pegas besarnya sama, yaitu:x1 = x2 = x3 = xKarena:F= F1 + F2 + F3maka:kpx= k1x1 + k2x2 + k3x3kpx= k1x + k2x + k3xSehingga:kp = k1 + k2 + k3 + ... + kn.............................(3.10)dengan:kp = konstanta gaya total susunan pegas paralelGambar 3.11 Susunanparalel pegas.Fk1k2k3Satuan frekuensi Hertzberasal dari nama fisikawanJerman, Heinrich RudolfHertz, yangmendemonstrasikanperambatan gelombangelektromagnetik.Bab 3 Pengaruh Gaya pada Elastisitas Bahan573.Simpangan, Kecepatan, dan PercepatanSimpangan pada gerak harmonik sederhana dapatditentukan melalui analogi sebuah titik yang bergerakmelingkar beraturan. Kecepatan dan percepatan gerakharmonik sederhana merupakan turunan pertama dan keduadari persamaan simpangan yang merupakan fungsi waktu.a.SimpanganPerhatikan Gambar 3.12. Sebuah partikel bergerakmelingkar beraturan dengan jari-jari A dan kecepatansudut Z.Pada saat t = 0, partikel berada di titik P, setelah tsekon berada di Q. Besarnya sudut yang ditempuh adalah:è = tù = Ttð2...................................................... (3.11)Simpangan gerak harmonik sederhana dapat dianggapproyeksi titik P pada salah satu sumbu utamanya (sumbu y).Jika simpangan itu dinyatakan dengan sumbu y, maka:y= A.sinT= A.sintù= A.sinTtð2........................ (3.12)dengan:y=simpangan gerak harmonik sederhana (m)A=amplitudo (m)T=periode (s)ù=kecepatan sudut (rad/s)t=waktu (s)Fase gerak harmonik menyatakan keadaan gerak dalamhubungannya dengan simpangan dan arah getar. Jika suatugerak harmonik kembali ke simpangan dan arah semula,maka gerak harmonik itu telah kembali ke fase semula.Ditanya:x1, x2, x3, x = ... ?Jawab:F=m.g = (6 kg)(10 m/s2) = 60 Nk1 dan k2 disusun paralel, sehingga:kp=k1 + k2 = (300 + 300) N/m = 600 N/mF=kp.xpxp=pFk= 60060= 0,1 mx1=x2 = xp = 0,1 mx3=3kF= 30060= 0,2 mx=xp + x3 = (0,1 + 0,2) m = 0,3 mGambar 3.12 Gerakharmonik sederhanamerupakan proyeksi titik Ppada sumbu x.xAyyTSimpangan selalu berubahsetiap waktu karena bendaselalu mendekati ataumenjauhi titik setimbang.Simpangan terbesar disebutamplitudo.PQ58Fisika XI untuk SMA/MADari persamaan (3.12) diperoleh:y=)2sin(.0èðTtAy=)2(2sin.0ðèðTtAAtau y = SM2sin . A, dengan M adalah fase yang dituliskandengan:M=)2(0STTt........................................................ (3.13)Dua titik atau kedudukan dikatakan sefase jika bedafase sama dengan nol, dan dikatakan berlawanan fase jikabeda setengah.b.KecepatanKecepatan gerak harmonik sederhana dapat ditentukandari turunan persamaan simpangan.y=)(sin.0èùtAv=>@)sin(0èù tAdtddtdyvy=)cos(.0èùù.tA............................................. (3.14)Kecepatan gerak harmonik sederhana akan berhargamaksimum jika fungsi cosinus bernilai maksimum, yaitusatu, sehingga:vmaks = Aù............................................................. (3.15)Dari persamaan (3.14) kecepatan gerak harmonikdapat dinyatakan sebagai berikut:)(cos)(sin0202èùèùtt = 1, maka:)(sin1)cos(020èùèù ttsehingga persamaan (3.14) menjadi:v=)(sin102èùù.tAv=)(sin0222èùùtAAkarena:y=)sin(.0èùtA, maka:v=22yAù..................................................... (3.16)c.PercepatanPercepatan pada gerak harmonik sederhana dapatditentukan dari turunan pertama persamaan kecepatanatau turunan kedua dari persamaan simpangan.Gambar 3.13 Kecepatangerak harmonik sederhanadipengaruhi oleh amplitudo.yBab 3 Pengaruh Gaya pada Elastisitas Bahan59ay=ydvdt = >@)cos(.0èùù.tAdtday=ùùè20-..sin()At........................................... (3.17)Karena )sin(.0èùtA = y, maka:-ay= ù2-y.......................................................... (3.18)Percepatan akan bernilai maksimum jika fungsi sinusbernilai maksimum, yaitu satu, sehingga persamaan (3.15)menjadi:amaks =ù2-A......................................................... (3.19)Tanda negatif pada persamaan (3.17) dan (3.18)menunjukkan bahwa percepatan berlawanan dengan arahsimpangannya.Contoh SoalSebuah benda melakukan gerak harmonik sederhana dengan persamaan simpangany = 6 sin)3(S't, y dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan:a.amplitudo dan frekuensinya;b.simpangan, kecepatan, dan percepatan saat t = 4S sekon!Penyelesaian:Diketahui:y=6 sin)3(S'tt=4S sekonDitanya:a.A dan f=... ?b.y, v, a=.... ?Jawab:a.y =TZ0 sin()Aty =6 sin)34(StDari dua persamaan tersebut, diperoleh:a)amplitudo (A ) = 6 mb)kecepatan sudut (Z) = 4 rad/sZ=fS24=fS2f=S24=S2Hz-Simpangan gerak harmoniksederhana:y=A.sintZ-Kecepatan diturunkan darirumus simpangan:v= ZA.costZ-Percepatan diturunkan darirumus kecepatan:a=ZZ-2..sinAt60Fisika XI untuk SMA/MAb.Simpangan y = 6 sin )34(Stuntuk t = 4So y = 6 sin )344(SSy=6 sin)3(SS = 6 (-321) = -33mv=>@)sin(0TZtAdtd = »¼º«¬ªS)34sin(6tdtd = )34cos(24StUntuk t= 4Sov= )344cos(24SS = )3cos(24SS = )34cos(24Sv=24 (-21) = -12 m/sPercepatan, a=dtdvy = »¼º«¬ªS)34cos(24tdtd = -96 sin)34(StUntuk t = 4Soa= -96 sin)344(SS=-96 sin)3(SS=-96 sin)34(S= -96 (321) = -483 m/s2d.Energi Gerak Harmonik SederhanaBenda yang melakukan gerak harmonik sederhanamemiliki energi potensial dan energi kinetik. Jumlahenergi potensial dan energi kinetik disebut energi mekanik.Besarnya energi potensial adalah energi yang dimilikigerak harmonik sederhana karena simpangannya. Secaramatematis dituliskan:Ep=221kyKarena: y = A.sintZ, maka:Ep=tAkZ22sin..21............................................... (3.20)Energi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh bendayang melakukan gerak harmonik sederhana karenakecepatannya. Secara matematis dituliskan:Ek=21m.v 2Ek=tAmZZ222cos...21karena m2Z= k, maka:Ek=21k.A2.cos2tZ........................................... (3.21)Pegas dapat digunakan untukmenyimpan energi. Energi inidapat dilepaskan dengancepat dan pelan-pelansehingga pegas kembali kekeadaan semula.Bab 3 Pengaruh Gaya pada Elastisitas Bahan61Besarnya energi mekanik adalah:Em=Ep + Ek=21k.A2sin2tZ +21k.A2cos2tZ=21k.A2(sin2tZ+cos2tZ)karena sin2tZ + cos2tZ = 1, maka:Em= 21kA2Besarnya energi mekanik dari suatu benda yangmelakukan gerak harmonik sederhana adalah tetap,sehingga berlaku kekekalan energi mekanik yang dapatdituliskan:Em1=Em2Ep1 + Ek1 = Ep2 + Ek221ky12+ 21mv12 = 21ky22 + 21mv22....................... (3.22)Pada gerak harmonik sederhana, energi potensial akanminimum saat simpangannya minimum (y = 0) danmaksimum saat simpangannya maksimum (y = A).Sementara itu, energi kinetik akan minimum saatsimpangan maksimum (y = A) dan maksimum saatsimpangannya minimum (y = 0).Energi potensial elastis pegasUntuk meregangkan pegas sepanjang x diperlukangaya sebesar F untuk menarik pegas tersebut. Energipotensial pegas adalah besarnya gaya pegas untukmeregangkan sepanjang x. Berdasarkan Hukum Hooke,dapat diketahui grafik hubungan antara gaya F denganpertambahan panjang x seperti Gambar 3.15. Besarnyausaha merupakan luasan yang diarsir.Ep= W = luas 'OAB= 21F.xkarena F = k.x, maka:Ep= 21(k.x)xEp= 21k.x 2................................................... (3.23)dengan:Ep=energi potensial pegas ( J)k=konstanta gaya pegas (N/m)x=pertambahan panjang pegas (m)Gambar 3.14 Energipotensial tali busur ketikaseseorang menarik tali busurpanah.Sumber: Ensiklopedi Umum untukPelajar, PT Ichtiar Baru van Hoeve,2005Gambar 3.15 Grafik gayaterhadap pertambahanpanjang.FBxAO62Fisika XI untuk SMA/MAContoh Soal1.Sebuah benda melakukan gerak harmonik sederhana dengan amplitudo3 cm. Energi kinetik di titik setimbang 20 joule. Tentukan besar energi potensialbenda pada saat kecepatannya setengah harga maksimumnya!Penyelesaian:Diketahui:A=3 cm = -23 10u mEkmaks=20 Jv=12 vmaksDitanya:Ep= ... ?Jawab:Ekmaks=Em = 20 JEk=21m.v 2karena v=21vmaks, maka:Ek=41 EkmaksEk=41(20 J) = 5 Jsaat v=21vmaksEp + Ek=EmEp + 5J=20 JEp=15 J2.Sebuah pegas menggantung dalam keadaan normal, panjangnya 40 cm.Ketika pada ujungnya diberi beban 200 gram, panjangnya menjadi 50 cm.Jika pegas ditarik sepanjang 5 cm, hitunglah energi potensial elastis pegas!(g = 10 m/s2)Penyelesaian:Diketahui:x=40 cmx1=(50 – 40) cm = 10 cm = 0,1 mx2=5 cm = 5 u 10-2 mm=200 g = 0,2 kgDitanya:Ep=... ?Jawab:F=m.g = 0,2 kg u 10 m/s2 = 2 NF=k.x12 N=k u 0,1 mk=20 N/mPada saat x = 5 cm, maka:Ep=21k.x2=21(20)(5u10-2)2 = 25u10-3 = 2,5u10-2 JNext >