< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK102Contoh 3.11Diketahui fungsi f dan g adalah fungsi bijektif yang ditentukan dengan f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x – 2. Tentukanlah soal berikut. a)(gf) dan (fg)d)(g-1f -1) dan (f -1g-1)b)f -1 dan g-1e)Hubungan antara (gf)-1 dengan (f -1g-1)c)(gf)-1 dan (fg)-1f)Hubungan antara (fg)-1 dengan (g-1f -1)Alternatif Penyelesaiana)(gf) dan (fg)(i)(gf) = g(f(x))= f(x) – 2= (2x + 5) – 2= 2x + 3(ii)(fg) = f(g(x))= 2(g(x)) + 5= 2(x – 2) + 5= 2x – 4 + 5= 2x + 1b)f -1 dan g-1(i) f -1f(x) = 2x + 5Karena f(x) = y, maka y = 2x + 52x = y – 5x = −52yKarena f -1 (y) = x, maka f -1 (y) =−52yDengan demikian f -1(x) = −52xMatematika103(ii) g-1g(x) = x – 2Karena g(x) = y, maka y = x – 2 sehingga x = y + 2Karena g-1(y) = x, maka g-1(y) = y + 2 sehingga g-1(x) = x + 2c)(gf)-1 dan (fg)-1(i)(gf)-1(gf)(x) = 2x + 3Misalkan (gf)(x) = h(x), sehingga h(x) = 2x + 3Karena h(x) = y, maka y = 2x + 3, sehingga x =−32yKarena h-1(y) = x, maka h-1(y) = −32y sehingga, h-1(x) = −32xKarena (gf)(x) = h(x), maka (gf)-1(x) = h-1(x), sehingga (gf)-1(x) = −32x (ii)(fg)-1(fg)(x) =2x + 1Misalkan (fg)(x) = k(x), sehingga k(x) = 2x + 1Karena k(x) = y, maka y = 2x + 1, sehingga x = −12yKarena k-1(y) = x, maka k-1(y) = −12y, sehingga k-1(x) = −12xKarena (fg)(x) = k(x), maka (fg)-1(x) = k-1(x), sehingga (fg)-1(x) = −12xd)g-1f -1 dan f -1g-1(i) g-1f -1Pada butir (b) telah ditemukan bahwa g-1(x) = x + 2 dan f -1(x) =−52x(g-1f -1)(x) = g-1(f -1(x)) = (f -1(x)) + 2 = −52x + 2 = −5+42x = −12xKelas X SMA/MA/SMK/MAK104(ii)(f -1g-1)(f -1g-1)(x) = f -1(g-1(x)) = −-1()52gx = −(+2)52x = −32xe)Hubungan antara (gf)-1 dengan f -1g-1Hasil perhitungan di atas menunjukkan bahwa rumus fungsi (gf)-1 samadengan f -1g-1 atau (gf)-1(x)= (f -1g-1)(x) = −12xf)Hubungan antara (fg)-1 dengan (g-1f -1)Hasil perhitungan di atas menunjukkan bahwa rumus fungsi (fg)-1 samadengan g-1f -1 atau (fg)-1(x) = (g-1f -1)(x) = −32xBerdasarkan Contoh 3.11 di atas, maka dapat kita simpulkan sifat berikut.Sifat 3.7Jika f dan g fungsi bijektif, maka berlaku (gf)-1 = (f -1g-1)Agar kamu lebih memahami Sifat 3.7, selesaikanlah latihan berikut.Latihan 3.4Fungsi f: RR dan g: RR ditentukan oleh rumus f(x) = 5x – 4 dan g(x) = 3x. Tentukanlah rumus fungsi komposisi (fg)-1(x) dan (gf)-1(x).Matematika1051.Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualansetiap x potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang diperolehmengikuti fungsi f(x) = 100x + 500, x merupakan banyak potong kainyang terjual.a)Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 100 potongkain, berapa keuntungan yang diperoleh?b)Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp 500.000,00 berapapotong kain yang harus terjual?c)Jika A merupakan himpunan daerah asal (domain) fungsi f(x)dan B merupakan himpunan daerah hasil (range) fungsi f(x),gambarkanlah permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas.2.Tentukanlah fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut jika ada.a)f(x) = 2x2+ 5b)g(x) = −216xc)h(x) = 3+2x3.Diketahui f dan g suatu fungsi dengan rumus fungsi f(x) = 3x + 4 dang(x) = −43x. Buktikanlah bahwa f -1(x) = g(x) dan g-1(x) = f(x).4.Diketahui fungsi f: R R dengan rumus fungsi f(x) = x2 – 4. Tentukanlahdaerah asal fungsi f agar fungsi f memiliki invers dan tentukan pula rumusfungsi inversnya untuk daerah asal yang memenuhi.5.Untuk mengubah satuan suhu dalam derajat Celcius (oC) ke satuan suhudalam derajat Fahrenheit (oF) ditentukan dengan rumus F = 9C+325.Uji Kompetensi 3.2 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK106a)Tentukanlah rumus untuk mengubah satuan derajat Fahrenheit (oF)ke satuan suhu dalam derajat Celcius (oC).b)Jika seorang anak memiliki suhu badan 86oF, tentukanlah suhubadan anak itu jika diukur menggunakan satuan derajat Celcius.6.Jika f -1(x) =−15xdan g-1(x) = −32x, maka tentukanlah nilai (fg)-1(x).7.Diketahui fungsi f: RR dan g: RR dirumuskan dengan f(x) = −1xx, untuk x ≠ 0 dan g(x) = x + 3. Tentukanlah (gf(x))-1.8.Diketahui f(x) = 3x-1. Tentukanlah rumus fungsi f -1(x) dan tentukan juga f -1(81).9.Diketahui fungsi f(x) = 2x + 3 dan (fg) (x + 1) = -2x2 – 4x – 1. Tentukanlahg-1(x) dan g-1(-2)!10.Fungsi f: RR dan g: RR ditentukan oleh rumus f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x. Tentukanlah rumus fungsi komposisi (fg)-1(x) dan (gf)-1(x).11.Diketahui 2()=+1fxxdan (fg)(x) =−−214+52xxx. Tentukanlah (fg)-1(x).12.Diketahui fungsi f(x) = −1xx, x ≠ 0 dan f -1 adalah invers fungsi f. Jika k adalah banyaknya faktor prima dari 210, tentukanlah nilai f -1(k).Rancanglah sebuah permasalahan kehidupan nyata dan selesaikan dengan menggunakan konsep fungsi komposisi. Buatlah laporannya dan presentasikan di depan kelas. ProyekMatematika107 Berdasarkan uraian materi pada Bab 3 ini, ada beberapa kesimpulan yang dapat dinyatakan sebagai pengetahuan awal untuk mendalami dan melanjutkan bahasan berikutnya. Beberapa kesimpulan disajikan sebagai berikut.1.Jika f suatu fungsi dengan daerah asal Df dan g suatu fungsi dengan daerahasal Dg, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian,dan pembagian dinyatakan sebagai berikut.(1)Jumlah f dan g ditulis f + g didefinisikan sebagai (f + g)(x) = f(x) + g(x)dengan daerah asal Df + g = Df∩Dg.(2)Selisih f dan g ditulis f – g didefinisikan sebagai (f – g)(x) = f(x) – g(x)dengan daerah asal Df – g = Df∩Dg.(3)Perkalian f dan g ditulis f × g didefinisikan sebagai (f × g)(x) = f(x) ×g(x) dengan daerah asal Df × g = Df∩Dg.(4)Pembagian f dan g ditulis fg didefinisikan sebagai ()()=()ffxxggxdengan daerah asal fgD = Df∩Dg – {x|g(x) = 0}.2.Jika f dan g fungsi dan Rf∩Dg ≠ Ø, maka terdapat suatu fungsi h darihimpunan bagian Df ke himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi f dan g (ditulis gf) yang ditentukan denganh(x) = (gf)(x) = g(f(x))3.Sifat komutatif pada operasi fungsi komposisi tidak memenuhi, (gf) ≠ (fg).4.Diketahui f, g, dan h suatu fungsi. Jika Rh∩Dg ≠ Ø; Ø; Rgh∩Df ≠ Ø,Rg∩Df ≠ Ø; Rh∩Dfg ≠ Ø, maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifatasosiatif, yaitu f(gh) = (fg)h.RangkumanKelas X SMA/MA/SMK/MAK1085.Diketahui f fungsi dan I merupakan fungsi identitas. Jika RI∩Df ≠ Ø,maka terdapat sebuah fungsi identitas, yaitu I(x) = x, sehingga berlakusifat identitas, yaitu fI = If = f.6.Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan terurutf = {(x, y) | x∈A dan y∈B}, maka invers fungsi f (dilambangkan f -1)memetakan B ke A, dalam pasangan terurut dinyatakan dengan f -1 = {(y, x)| y∈B dan x∈A}.7.Suatu fungsi f : A B disebut memiliki fungsi invers f -1: B A jika danhanya jika fungsi f merupakan fungsi yang bijektif.8.Jika fungsi f: DfRf adalah fungsi bijektif, maka invers dari fungsi f adalah fungsi f -1 yang didefinisikan sebagai f -1: DfRf.9.Jika f fungsi bijektif dan f -1 merupakan fungsi invers f, maka fungsi inversdari f -1 adalah fungsi f itu sendiri.10.Jika f dan g fungsi bijektif, maka berlaku (gf)-1 = (f -1g-1). Beberapa hal yang telah dirangkum di atas adalah modal dasar bagimu dalam belajar fungsi secara lebih mendalam pada jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Konsep-konsep dasar di atas harus kamu pahami dengan baik karena akan membantu dalam pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-hari.TrigonometriBAB4A.Kompetensi Dasar dan Pengalaman BelajarSetelah mengikuti pembelajaran trigonometri, siswa mampu1.menunjukkan sikap jujur, tertib dan mengikuti aturan, konsisten, disiplin waktu, ulet, cermat dan teliti, maju berkelanjutan, bertanggung jawab berpikir logis, kritis, kreatif, dan analitis serta memiliki rasa senang, motivasi internal, ingin tahu dan ketertarikan pada ilmu pengetahuan dan teknologi serta sikap terbuka, percaya diri, kemampuan bekerja sama, toleransi, santun, objektif, dan menghargai;2.menjelaskan hubungan antara radiandan derajat sebagai satuan pengukuransudut;3.menjelaskan rasio trigonometri (sinus,cosinus, tangen, cosecan, secan, dancotangen) pada segitiga siku-siku;4.menggeneralisasi rasio trigonometriuntuk sudut-sudut di berbagai kuadrandan sudut-sudut berelasi;5.menjelaskan identitas dasar trigonometrisebagai hubungan antara rasiotrigonometri dan perannya dalammembuktikan identitas trigonometrilainnya;Melalui pembelajaran materi trigonometri, siswa memperoleh pengalaman belajar:Menemukan konsep perbandingantrigonometri melalui pemecahanmasalah otentik.Berkolaborasi memecahkan masalahaktual dengan pola interaksi sosialkultur.Berpikir tingkat tinggi (berpikir kritisdan kreatif) dalam menyelidiki danmengaplikasikan konsep trigonometridalam memecahkan masalah otentik.Kompetensi DasarPengalaman Belajar6.menjelaskan aturan sinus dan cosinus;7.menjelaskan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan;8.menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pengukuran sudut dalam satuan radian atauderajat;9.menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan rasio trigonometri (sinus,cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku;10.menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan rasio trigonometri sudut-sudutdi berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi;11.menggunakan identitas dasar trigonometri untuk membuktikan identitas trigonometrilainnya;12.menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan sinus dan cosinus;13.membuat sketsa grafik fungsi trigonometri.Kompetensi DasarIstilah-istilah•Sudut•Derajat•Radian•Kuadran•Perbandingan sudut•Identitas trigonometri•Sudut berelasi • Aturan sinus•Aturan sinus•Grafik fungsi trigonometri • AmplitudoB.Diagram Alirsin αcos αtan αsec αcosec αcot αSegitigaMasalah OtentikPerbandingan Sisi-sisi dalam SegitigaMateri PrasyaratUnsur-unsur SegitigaGrafik FungsiTrigonometriNext >