< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK112C.Materi Pembelajaran4.1 Ukuran Sudut (Derajat dan Radian) Pada umumnya, ada dua ukuran yang digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu derajat dan radian. Tanda “ o ” dan “ rad ” berturut-turut menyatakan simbol derajat dan radian. Singkatnya, satu putaran penuh= 360o, atau 1o didefenisikan sebagai besarnya sudut yang dibentuk oleh1360 kali putaran.Gambar 4.1 Beberapa besar putaran/rotasi1360 putaran14 putaran12 putaran1 putaranTentunya dari Gambar 4. 1, kamu dapat mendeskripsikan untuk beberapasatuan putaran yang lain. Misalnya, untuk 13putaran, 16putaran, 23 putaran.Sebelum kita memahami hubungan derajat dengan radian, mari pelajari teori mengenai radian berikut.rrrαAOBGambar 4.2 Ukuran radian Satu radian diartikan sebagai besar ukur-an sudut pusat α yang panjang busurnya sama dengan jari-jari, perhatikan Gambar 4.2. Jika ∠AOB = α dan AB = OA = OB, makaα = ABr= 1 radian. Jika panjang busur tidak sama dengan r, maka cara menentukan besar sudut tersebut dalam satuan radian dapat dihitung menggunakan perbandingan:Matematika113Sifat 4.1∠AOB = ABr rad Lebih lanjut, dapat dikatakan bahwa hubungan satuan derajat dengan satuan radian, adalah 1 putaran sama dengan 2π rad. Oleh karena itu, berlakuSifat 4.2 360o = 2π rad atau 1o = πo180 rad atau 1 rad = πo180≅ 57,3oDari Sifat 4.2, dapat disimpulkan sebagai berikut.➢Konversi x derajat ke radian dengan mengalikan x ×πo180.Misalnya, ππ×ooo45=45=1804radrad.➢Konversi x radian ke derajat dengan mengalikan x ×πo180.Misalnya, ππ×πoo33180 = =27022rad.Contoh 4.1Perhatikan hubungan secara aljabar antara derajat dengan radian berikut ini.1.14 putaran = ×oo1360=904atau π×πo190=90= 1802radrad. 2.×13 putaran = ×oo1360=1203 atau π×πo2120=120= 1803radrad.3. putaran = ×oo1360=1802atau π×πo180=180= 180radrad.4.4 putaran = 4 × 360o = 1.440o atau π×πo1.440=1.440=8 180radrad5.5 putaran = 5 × 360o = 1.800o atau π×πo1.800=1.800=10 .180radradKelas X SMA/MA/SMK/MAK1146.225o = 225o ×o1360putaran = 58 putaran atau 225o = 225o × πo180rad = 54π rad7.1.200o = 3 × 360o + 120o =()()oooo113×360×+120 ×putaran360360= 13+putaran3 = 3 13 putaran 8.Pada saat pukul 11.00, berarti jarum panjang pada jam menunjuk ke angka12 dan jarum pendek pada jam menunjuk ke angka 11. Artinya besar sudutyang terbentuk oleh setiap dua angka yang berdekatan adalah 30o.30o = 30o × πo180rad = 16π rad 9.Jika suatu alat pemancar berputar 60 putaran dalam setiap menit, makasetiap satu detik pemancar berputar sebanyak 3.600 putaran.360o pertama kali diperkenalkan oleh bangsa Babilonia. Hal ini merupakan hitungan satu tahun pada kalender. Selanjutnya, dalam pembahasan topik selanjutnya terdapat beberapa sudut (sudut istimewa) yang sering digunakan. Secara lengkap disajikan dalam tabel berikut ini, tetapi kamu masih harus melengkapinya.Tabel 4.1 Sudut istimewa yang sering digunakanDerajatRadianDerajatRadian0o0 rad90oπ2rad30oπ6rad120oπ23rad45oπ4rad135oπ34rad60oπ3rad150oπ56radMatematika115DerajatRadianDerajatRadian180oπrad270oπ32rad210oπ76rad300oπ53rad225oπ54rad315oπ74rad240oπ43rad330oπ116rad Dalam kajian geometris, sudut didefinisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal (initial side) ke sisi akhir (terminal side). Selain itu, arah putaran memiliki makna dalam sudut. Suatu sudut bertanda “positif” jika arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda “negatif” jika arah putarannya searah dengan arah putaran jarum jam. Arah putaran sudut juga dapat diperhatikan pada posisi sisi akhir terhadap sisi awal. Untuk memudahkannya, mari kita cermati deskripsi berikut ini.Gambar 4.3 Sudut berdasarkan arah putaranSisi akhirSisi awala.Sudut bertanda positifb.Sudut bertanda negatifSisi awalSisi akhir Dalam koordinat kartesius, jika sisi awal berimpit dengan sumbu x dan sisi terminal terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartesius, disebut sudut standar (baku). Jika sisi akhir berada pada salah satu sumbu pada koordinat tersebut, sudut yang seperti ini disebut pembatas kuadran, yaitu 0o, 90o, 180o, 180o, 270o, dan 360o. Sebagai catatan bahwa untuk menyatakan suatu sudut, lazimnya menggunakan huruf-huruf Yunani, seperti, α (alpha), b (betha), γ (gamma) dan Kelas X SMA/MA/SMK/MAK116θ (tetha) juga menggunakan huruf-huruf kapital, seperti A, B, C, dan D. Selain itu, jika sudut yang dihasilkan sebesar α, maka sudut b disebut sudut koterminal, seperti yang dideskripsikan pada gambar di bawah ini. YXαba.Sudut baku dan sudut koterminal90o270o180o0oKuadran I0o – 90oKuadran IV270o – 360oKuadran II90o – 18ooKuadran III18o – 27ob.Besar sudut pada setiap kuadranGambar 4.4 Sudut secara geometri dan pembatasan kuadran Untuk memantapkan pemahaman kamu akan sudut baku dan pembatas kuadran, cermati contoh dan pembahasan di bawah ini. Contoh 4.2Gambarkan sudut-sudut baku di bawah ini, dan tentukan posisi setiap sudut pada koordinat kartesius.a.60oc.120ob.-45od.600oAlternatif Penyelesaiana. XYA60oOSisi awal terletak pada sumbu X dan sisi terminal OA terletak di kuadran I.b.YXA45oOSisi awal terletak pada sumbu X dan sisi terminal OA terletak di kuadran IV.Matematika117c.YPOX120oSisi awal terletak pada sumbu X dan sisi terminal OP terletak di kuadran II.d.YXROSisi awal terletak pada sumbu X dan sisi terminal OR terletak di kuadran III.Gambar 4.5 Sudut pada setiap kuadranKelas X SMA/MA/SMK/MAK1181.Tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan di bawah ini. Berikanpenjelasan untuk setiap jawaban yang diberikan.a.16 putaran = 0,33π rad = 60ob. 150o = putaran = 23π radc.245π rad = 792o = 2,4 putarand.1.500o = 8π rad = 4 putarane.Seorang atlet berlari mengelilingi lintasan A berbentuk lingkaransebanyak 2 putaran. Hal itu sama saja dengan atlet berlari mengelilingi satu kali lintasan B berbentuk lingkaran yang jari-jarinya 2 kali jari-jari lintasan A.2.Diketahui besar sudut α kurang dari 90o dan besar sudut θ lebih dariatau sama dengan 90o dan kurang dari 180o. Analisislah kebenaran setiappernyataan berikut ini.a.2α ≥ 90ob.θ – α ≥ 30oc.2α + 12θ ≥ 90od.Tidak ada nilai α dan θ yang memenuhi persamaan 2θ – 2α = θ + α3.Berikut ini merupakan besar sudut dalam satuan derajat, tentukankuadran setiap sudut tersebut.a.90od.800ob.135oe.-270oc.225o f. 1.800oSelanjutnya, nyatakan setiap sudut di atas dalam satuan radian.Uji Kompetensi 4.1 Matematika1194.Tentukan (dalam satuan derajat dan radian) untuk setiap rotasi berikut.a.19 putaran d.98 putaranb.38 putaran e.34 putaranc.15 putaran f.76 putaran5.Nyatakan dalam radian besar sudut yang dibentuk untuk setiappenunjukan waktu berikut.a.12.05d. 05.57b.00.15e.20.27c.16.53f.07.306.Misalkan θ merupakan sudut lancip dan sudut b adalah sudut tumpul.Perhatikan kombinasi setiap sudut dan kedua sudut tersebut dan tentukankuadrannya.a.3θc.θ + bb.2bd.2b – θ7.Perhatikan pergerakan jarum jam. Berapa kali (jika ada) dalam 1 hariterbentuk sudut-sudut di bawah ini?a.90oc.30ob.180od.120o8.Ubahlah sudut-sudut berikut ke bentuk derajata. π12rad d. π78rad b.π57rad e.π715rad c.π35rad f.π89radKelas X SMA/MA/SMK/MAK1209.Gambarkan setiap ukuran sudut di bawah ini dalam koordinat kartesius.a.120od.-240ob.600oe.330oc.270of.-800o10.Perhatikan gambar di bawah ini.-5-3-1245-4-211234523451360o13,22ASelidiki dan tentukan koordinat titik jika dirotasi sejauha.90ob.180oc.270od.260oMatematika1214.2 Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, trigonon artinya tiga sudut, dan metro artinya mengukur. Ilmuwan Yunani di masa Helenistik, Hipparchus (190 B.C – 120 B.C) diyakini adalah orang yang pertama kali menemukan teori tentang trigonometri dari keingintahuannya akan dunia. Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut. Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh Hippachus(190 B.C. – 120 B.C.)tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis. Adapun rumusan sinus, cosinus juga tangen diformulasikan oleh Surya Siddhanta, ilmuwan India yang dipercaya hidup sekitar abad 3 SM. Selebihnya teori tentang Trigonometri disempurnakan oleh ilmuwan-ilmuwan lain di jaman berikutnya. Sumber: https://en.wikipedia.org/wiki Pada peradaban kehidupan budaya Dayak, kajian mengenai trigonometri sudah tercermin dari berbagai ikon kehidupan mereka. Misalnya, para arsitekturnya sudah menerapkan kese-timbangan bangunan pada rumah adat yang mereka ciptakan. Rumah adat tersebut berdiri kokoh sebagai hasil hubungan yang tepat antara besar sudut yang dikaitkan dengan panjang sisi-sisinya. Apakah para Arsitektur tersebut mempelajari trigonometri juga?Sumber: http://www.jualsewarumah.comGambar 4.6 Rumah adat suku DayakNext >