< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK122 Pada subbab ini, akan dipahami konsep perbandingan trigonometri pada suatu segitiga siku-siku. Coba kamu pahami deskripsi berikut.Masalah 4.1Pak Yahya adalah seorang penjaga sekolah. Tinggi pak Yahya adalah 1,6 m. Dia mempunyai seorang anak, namanya Dani. Dani masih kelas II Sekolah Dasar. Tinggi badannya 1,2 m. Dani adalah anak yang baik dan suka bertanya. Dia pernah bertanya kepada ayahnya tentang tinggi tiang bendera di lapangan itu. Dengan senyum, Ayahnya menjawab 8 m. Suatu sore, disaat dia menemani ayahnya membersihkan rumput liar di lapangan, Dani melihat bayangan setiap benda di tanah. Dia mengambil tali meteran dan mengukur panjang bayangan ayahnya dan panjang bayangan tiang bendera, yaitu 3 m dan 15 m.Tetapi dia tidak dapat mengukur panjang bayangannya sendiri karena bayangannya mengikuti pergerakannya. Jika kamu sebagai Dani, dapatkah kamu mengukur bayangan kamu sendiri? Konsep kesebangunan pada segitiga terdapat pada cerita tersebut. Mari kita gambarkan segitiga sesuai cerita di atas.ABCxoEDGFDimana:AB = tinggi tiang bendera (8 m)BG = panjang bayangan tiang (15 m)DC = tinggi pak Yahya (1,6 m)CG = panjang bayangan pak Yahya (3 m)EF = tinggi Dani (1,2 m)FG = panjang bayangan Dani (4,8 m)Gambar 4.7 Segitiga sebangun Berdasarkan gambar segitiga di atas terdapat tiga segitiga, yaitu ∆ABC, ∆DEC, dan ∆FGC sebagai berikut.Matematika123ECD1,63,43xo1517BCA8xoxoGCF1,2gfGambar 4.8 KesebangunanKarena ∆ABC, ∆DEC, dan ∆FGC adalah sebangun, maka berlakuFGGCfDEEC1,2===1,63⇒ f = 2,25.Dengan menggunakan Teorema Phytagoras diperoleh nilai dariFC = g = 6,5025=2,55.Berdasarkan ∆ABC, ∆DEC, dan ∆FGC diperoleh perbandingan sebagai berikut.a. FGDEABFCDCAC1,21,68=====2,553,417= sisi di depan sudutsisi miring segitiga = 0,47.Perbandingan ini disebut dengan sinus sudut C, ditulis sin x0 = 817.b.GCECBCFCDCAC2,25315=====2,553,417= sisi di samping sudutsisi miring segitiga = 0,88.Perbandingan ini disebut dengan cosinus sudut C, ditulis cos x0 = 1517.c.FGDEABGCECBC1,21,68=====2,25315= sisi di depan sudutsisi di samping sudut = 0,53.Perbandingan ini disebut dengan tangen sudut C, ditulis tan x0 = 815. Hubungan perbandingan sudut (lancip) dengan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku dinyatakan dalam definisi berikut. 1.Sinus C didefinisikan sebagai perbandinganpanjang sisi di depan sudut dengan sisi miringsegitiga, ditulis sin C = sisi di depan sudutsisi miring segitigaDefinisi 4.1BACKelas X SMA/MA/SMK/MAK1242.Cosinus C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di sampingsudut dengan sisi miring segitiga, cos C = sisi di samping sudutsisi miring segitiga3.Tangen C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depansudut dengan sisi di samping sudut, ditulis tan C = sisi di depan sudutsisi di samping sudut4.Cosecan C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miringsegitiga dengan sisi di depan sudut, ditulis csc C = sisi miring segitigasisi di depan sudutatau csc C = C1sin 5.Secan C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring segitiga dengan sisi di samping sudut, ditulis sec C = sisi miring segitigasisi di samping sudutatau sec C =C1cos 6.Cotangen C didefinisikan sebagai perbandingan sisi di samping sudutdengan sisi di depan sudut, ditulis cotan C = sisi di samping sudutsisi di depan sudutatau cot C = C1tan Jika diperhatikan aturan perbandingan di atas, prinsip matematika lain yang perlu diingat kembali adalah Teorema Phytagoras. Selain itu, pengenalan akan sisi miring segitiga, sisi di samping sudut, dan sisi di depan sudut tentunya dapat mudah diperhatikan. Oleh karena yang telah didefinisikan perbandingan sudut untuk sudut lancip C, sekarang giliranmu untuk merumuskan keenam jenis perbandingan sudut lancip A.Contoh 4.3Diberikan segitiga siku-siku ABC, sin A = 13. Tentukan cos A, tan A, sin C, cos C, dan cot C. Matematika125Alternatif PenyelesaianDiketahui sin A = 13, artinya BCAC1=3. Lebih tepatnya, panjang sisi (BC) di depansudut A dan panjang sisi miring (AC) segitiga ABC memiliki perbandingan1 : 3, lihat Gambar 4.9. Untuk menentukan nilai cos A, tan A, sin C, cos C, dan cot C, kita memerlukan panjang sisi AB. Dengan menggunakan Teorema Phytagoras, diperoleh ()()−⇒−−ABACBCABkkkkkk22222222==3 =9=8 =±22Gambar 4.9 Segitiga siku-siku ABCAB3kkCJadi, kita memperoleh panjang sisi AB = k222. (Mengapa bukan -−ABACBCk222=22?)Dengan menggunakan Definisi 4.1, kita peroleh➢ABkAACk2222cos===33➢×BCkAABk1221tan=====24422222➢ABkCACk2222sin ===33➢BCkCACk1cos ===33➢×BCkCABk1221cot =====24422222Kelas X SMA/MA/SMK/MAK126Perlu DiingatPanjang sisi miring adalah sisi terpanjang pada suatu segitiga siku-siku. Akibatnya nilai sinus dan cosinus selalu kurang dari 1 (pada kondisi khusus akan bernilai 1).Mari kita cermati kembali contoh berikut ini.Contoh 4.4Pada suatu segitiga siku-siku PQR, dengan siku-siku di Q, tan P = 43. Hitung nilai perbandingan trigonometri yang lain untuk sudut P.Alternatif PenyelesaianGambar 4.10 Segitiga siku-siku PQRQR4k3kPKita ketahui tan P = 43, artinyatan P = QRPQ4=3.Akibatnya, jika QR = 4k dan PQ = 3k, dengan k adalah bilangan positif. PR2 = PQ2 + QR2⇒PR = 22PQ+QR = ()()223+4kk = 225kPR = 5k Sekarang gunakan Definisi 4.1 untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri yang lain, yaitua.44sin====0,255QRkPPRkb.33cos====0,655PQkPPRkc.55csc ====1,2544PRkPRQkMatematika127d.55sec====1,6633PRkPPQke.33cot ====0,7544PQkPQRk Selanjutnya kamu akan mengkaji bagaimana penerapan konsep perban-dingan trigonometri dalam menyelesaikan masalah kontekstual. Mari kita cermati dan pahami masalah berikut.Masalah 4.2 Dua orang guru dengan tinggi badan yang sama yaitu 170 cm sedang berdiri memandang puncak tiang bendera di sekolahnya. Guru pertama berdiri tepat 10 m di depan guru kedua. Jika sudut elevasi guru pertama 60o dan guru kedua 30o dapatkah kamu menghitung tinggi tiang bendera tersebut?Memahami dan Merencanakan Pemecahan Masalah Misalkan tempat berdiri tegak tiang bendera, dan kedua guru tersebut adalah suatu titik. Ujung puncak tiang bendera dan kepala kedua guru juga diwakili oleh suatu titik, maka dapat diperoleh Gambar 4.12 sebagai berikut.Gambar 4.12 Model masalah tiang benderaCBADGEF1,7 m60o30oDimana:AC = tinggi tiang benderaDG = tinggi guru pertamaEF = tinggi guru keduaDE = jarak kedua guruSumber: Dokumen KemdikbudGambar 4.11 Tiang benderaKelas X SMA/MA/SMK/MAK128Alternatif PenyelesaianBerdasarkan pengalaman kita di awal pembicaraan di atas, maka kita memiliki perbandingan sebagai berikut.tan 60o = ABBG ⇔ BG = otan60ABtan 60o = =10+ABABBGBG ⇔ AB = (10 + BG) × tan 30o ⇔ AB = 010+tan60AB × tan 30o ⇔ AB × tan 60o = (10 × tan 60o + AB) × tan 30o ⇔ AB × tan 60o = 10 × tan 60o × tan 30o + AB × tan 30o ⇔ AB × tan 60o – AB × tan 30o = 10 × tan 60o × tan 30o ⇔ AB × (tan 60o – tan 30o) = 10 × tan 60o × tan 30o ⇔ AB =××−oooo10 tan60 tan30tan60tan30 Jadi, tinggi tiang bendera adalahAC = AB + BC atau AC = ××−oooo10 tan60 tan30+1,7mtan60tan30 Untuk menentukan nilai tan 60o dan tan 30o akan dibahas pada subbab selanjutnya. Dengan demikian, tinggi tiang bendera dapat ditemukan.Contoh 4.5Diketahui segitiga siku-siku ABC dan PQR, seperti gambar berikut ini. PQRABCGambar 4.13 Dua segitiga siku-siku yang sebangunJika sin B = sin Q, maka buktikan bahwa ∠B = ∠Q.Matematika129Alternatif PenyelesaianDari Gambar 4.13, diperolehsin B = ACAB dan sin Q = PRPQAkibatnya, ACPR=ABPQatau ACAB=PRPQ, dengan k bilangan positif.Dengan menggunakan Teorema Phytagoras, diperoleh bahwa()()()()()()−−−−BCABACkPQkPRkPQPRkPQPR222222222==.. =.=.−QRPQPR22=Dengan demikian, −−BCkPQPRkQRPQPR2222==Akibatnya diperolehACABBCkPRPQQR===Karena perbandingan sisi-sisi kedua segitiga sama, maka ∠B = ∠Q. Perhatikan contoh berikut. Temukan pola dalam menentukan setiap pernyataan terkait perbandingan trigonometri.Contoh 4.6Diketahui suatu segitiga siku-siku KLM, ∠L = 90o, dan tan M = 1. Hitung nilai dari (sin M)2 + (cos M)2 dan 2 . sin M . cos M.Kelas X SMA/MA/SMK/MAK130Alternatif PenyelesaianGambar 4.14 Segitiga siku-siku KLMKLMUntuk memudahkan kita menyelesaikan masalah ini, coba cermati gambar berikut ini. Diketahui tan M = 1, artinya;tan M = 1 ⇒ KLLM = 1 atau KL = LM = k, dengan k bilangan positif. Dengan menggunakan Teorema Phytago-ras, diperolehKM = LMLMkkk22222=+=+=2=2 = k2=Akibatnya, sin M = KLkKMk2==22atau (sin M)2 = 2221==242cos M = LMkKMk2==22atau (cos M)2 = 2221==242Jadi, (sin M)2 + (cos M)2 = 24+ 24 = 1 dan 2 . sin M . cos M = 2 × 221242 × 221242 = 1 Matematika1311.Tentukan nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut P dan R pada setiapsegitiga siku-siku di bawah ini. Nyatakan jawaban kamu dalam bentukpaling sederhana. a. PQ48Rc. PQ21Rb. P117QR2.Pada suatu segitiga siku-siku ABC, dengan ∠B = 90o, AB = 24 cm, danBC = 7 cm, hitung:a.sin A dan cos Ab.sin C, cos C, dan tan C3.Untuk setiap nilai perbandingan trigonometri yang diberikan di bawahini, dengan setiap sudut merupakan sudut lancip, tentukan nilai 5 macamperbandingan trigonometri lainnya. a. sin A = 3344 d.tan α =13b.15 × cot A =8e.sin α =12c.sec θ = 1312f.cos b = 324.Pada sebuah segitiga KLM, dengan siku-siku di L, jika sin M = 23 danpanjang sisi KL = 10 cm, tentukan panjang sisi segitiga yang lain dannilai perbandingan trigonometri lainnya.Uji Kompetensi 4.2 Next >