< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK1325.Luas segitiga siku-siku RST, dengan sisi tegak RS adalah 20 cm2. Tentukannilai sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut lancip T6.Jika cot θ = 78, hitung nilai dari: a. ()()()()θ−θθ−θ1+sin .1sin 1+cos .1cos b. ()()−θθ221tan 1+tan 7.Perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini.Tunjukkan bahwaa)(sin A)2 + (cos A)2 = 1b)tan B = sincosBBc)(scs A)2 – (cot A)2 = 18.Dalam segitiga ABC, siku-siku di Adiketahui panjang BC = a, (a adalahbilangan positif) dan cos ∠ABC = 22Tentukan panjang garis tinggi AD.9.Diketahui sin x + cos x = 3 dan tan x = 1, tentukan nilai sin x dan cos x.10.Pada segitiga PQR, siku-siku di Q,PR + QR = 25 cm, dan PQ = 5 cm. Hitungnilai sin P, cos P, dan tan P.11.Diketahui segitiga PRS, seperti gambar disamping ini. Panjang PQ =1, ∠RQS = α raddan ∠RPS = b rad. Tentukan panjang sisiRS.QCacbBCBDARSQPMatematika1334.3 Nilai Perbandingan Trigonometri untuk 0o, 30o, 45o, 60o dan 90o Pada saat mempelajari teori trigonometri, secara tidak langsung kamu harus menggunakan beberapa teori geometri. Dalam geometri, khususnya dalam kajian konstruksi sudah tidak asing lagi dengan penggunaan besar sudut 30o, 45o, dan 60o. Pada subbab ini, kamu akan menyelidiki dan menghitung nilai perbandingan trigonometri untuk ukuran sudut 0o, 30o, 45o, 60o, dan 90o.Masalah 4.3Diketahui suatu persegi ABCD dengan ukuran a (a adalah bilangan positif). Dibentuk garis diagonal AC sedemikian sehingga membentuk sudut dengan AB, seperti Gambar 4. 15. Temukan nilai sin 45o, cos 45o, dan tan 45o.Alternatif PenyelesaianUntuk memudahkan kita menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut 45o, coba cermati segitiga siku-siku ABC.Gambar 4.15 Persegi ABCDAaaaDa45oBCUntuk menentukan nilai sin 45o, cos 45o, dan tan 45o, perlu diingat kembali Definisi 4.1. Untuk menentukan panjang AC, gunakan Teorema Phytagoras, yaitu AC2 = AB2 + BC2⇒AC2 = a2 + a2 = 2a⇒AC = 22=2aaDengan demikian, diperoleh:➢sin 45o =×1221====222222BCaACa➢cos 45o =×1221====222222ABaACaKelas X SMA/MA/SMK/MAK134➢tan 45o ===1BCaABaMengingat kembali Definisi 4.1, terdapat cara lain untuk menentukan nilai tan 45o, yaitutan 45o = oo2sin452==1cos4522Dengan nilai di atas, bukanlah sesuatu hal yang sulit untuk menentukan nilai sec 45o, csc 45o, dan cot 45o. sec 45o = o2sec45===2ACaABa atau sec 45o = ×o112222====2cos 4522222csc 45o = 2==2ACaBCa atau csc 45o = ×o112222====2sin 4522222cot 45o = ==1ACaBCa atau cot 45o = tan111451Jadi, dapat disimpulkansin 45o = 22cot 45o = 22tan 45o = 1csc 45o = 2 sec 45o = 2 cot 45o = 1Matematika135Masalah 4.4Diberikan segitiga sama sisi ABC, dengan panjang sisi 2a satuan (a adalah bilangan positif). D adalah titik tengah sisi AB, seperti Gambar 4.16.Hitung nilai: sin 30o, cos 30o, tan 30o, sin 60o, cos 60o, dan tan 60o.Alternatif PenyelesaianMari cermati segitiga sama sisi ABC. Karena D merupakan titik tengah sisi AB,maka AD = 12AB = a.Gambar 4.16 Segitiga sama sisi ABCDADCB2a30o60o60oDengan demikian, kita peroleh∆ACD ≅ ∆BCD, (simbol ≅ dibaca: kongruen)AD = BD = a∠ACD = ∠DBC = 30oDengan demikian, ∠ACD dan ∆BCD adalah segitiga siku-siku. Kita fokus pada ∆ACD.Diketahui bahwa AC = 2a, AD = a, dengan menggunakan Teorema Phytagoras, dapat ditentukan panjang sisi CD, yaitu CD2 = AC2 – AD2 ⇒CD2 = (2a)2 – a2 = 4a2 – a2 = 3a2⇒CD2 = 23=3aadan ∠ACD = 30o, ∠CAD = 60oa.Untuk ∠ACD = 30o, maka nilai perbandingan trigonometri (menggunakan Definisi 4.1),sin 30o = 1==22ADaACaKelas X SMA/MA/SMK/MAK136⇔ csc 30o = 2==2ACaADacos 30o = 31==322CDaACa⇔ sec 30o = 22==333ACaCDatan 30o = 1==333ADaCDa⇔ cot 30o = 3==3CDaADab.Untuk ∠CAD = 60o, maka nilai perbandingan trigonometri (menggunakan Definisi 4.1), yaitusin 60o = 31==322CDaACa⇔ csc 60o = 22==333ACaCDacos 60o = 1==22ADaACa⇔ sec 60o = 2==2ACaADatan 60o = 3==3CDaADa⇔ cot 60o = 1==333ADaCDaMasalah 4.5Diberikan suatu ∆ABC, siku-siku di B, misalkan ∠BAC = α, dimana α merupakan sudut lancip.Apa yang kamu peroleh jika α mendekati 0o? Apa pula yang terjadi jika αmendekati 90o? Matematika137Alternatif PenyelesaianDiketahui ∆ABC, merupakan segitiga siku-siku, dengan ∠B = 90o. Gambar 4.17 merupakan ilustrasi perubahan ∠B = α hingga menjadi nol. BB(b)ABC(c)ABC(d)ABC(e)AC(a)ACGambar 4.17 Ilustrasi perubahan ∠B segitiga siku-siku ABC menjadi 0oPada waktu memperkecil ∠A, mengakibatkan panjang sisi BC juga semakin kecil, sedemikian sehingga AC hampir berimpit dengan AB. Jika a = 0o, maka BC = 0, dan AC berimpit dengan AB. Dari ∆ABC (Gambar 4.17 (a)), kita memilikia.sin α = BCAC, jika α mendekati 0o, maka panjang BC mendekati 0. Akibatnyasin 0o = 0AC atau sin 0o = 0b.cos α = BCAC, jika α mendekati 0o, maka sisi AC hampir berimpit dengan sisi AB. Akibatnyacos 0o = ABAB atau cos 0o = 1Kelas X SMA/MA/SMK/MAK138Dengan menggunakan Definisi 4.1, kita dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri lainnya, yaitu➢tan 0o =oosin 00==0cos 01➢csc 0o =oo11=sin 00 (tak terdefinisi)➢sec 0o =oo11==1cos 01➢cot 0o =oocos 01=sin 00 (tak terdefinisi)Selanjutnya, kita kembali mengkaji ∆ABC. Kita akan cermati bagaimana perubahan segetiga tersebut jika α mendekati 90o. Perhatikan gambar berikut ini.BBBA = BAAA(b)(c)(d)(e)CCCCB(a)ACGambar 4.18 Ilustrasi perubahan ∠A segitiga siku-siku ABC menjadi 90oJika ∠A diperbesar mendekati 90o, maka ∠C diperkecil mendekati 0o. Akibatnya, sisi AC hampir berimpit dengan sisi BC.Matematika139Dari ∆ABC, Gambar 4.18 (a), dapat kita tuliskana) sin ∠A = BCAC, karena diperbesar mendekati 90o, maka sisi AC hampirberimpit dengan BC. Akibatnyasin 90o = atau sin 90o = 1b)cos ∠A = ABACBC, karena ∠A diperbesar mendekati 90o, maka sisi AB hampir mendekati 0 atau titik A hampir berimpit dengan B. Akibatnyacos 90o = 0=ABACBC atau cos 90o = 0Dengan menggunakan Definisi 4.1, kita dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri yang lain, yaitu:➢tan 90o =oosin 901=cos 900 (tak terdefinisi)➢csc 90o =oo11==1sin 901➢sec 90o =oo11=cos 900 (tak terdefinisi)➢cot 90o =oocos 900==0sin 901Dari pembahasan Masalah 4.2, 4.3, dan 4.4, maka hasilnya dapat disimpulkan pada tabel berikut.Tabel 4.2 Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewasincostancscseccot0o010~1~30o121231332233345o1221221221Kelas X SMA/MA/SMK/MAK140sincostancscseccot60o123123233213390o10~1~0Keterangan: Dalam buku ini, simbol ~ diartikan tidak terdefinisiContoh 4.7Diberikan suatu segitiga siku-siku KLM, siku-siku di L. Jika LM = 5 cm, dan ∠M = 30o. Hitung:a.panjang KL dan MK,b.cos ∠K,c.untuk setiap α (α adalah sudut lancip), selidiki hubungan nilai sin αdengan sin (90 – α).Alternatif PenyelesaianUntuk memudahkan dalam menye-lesaikannya, tidak ada salahnya lagi perhatikan Gambar 4.19 berikut.a.Dengan menggunakan Definisi 4.1,kita mengartikan nilai perbandingancos 30o, yaitucos 30o = LMMK.Dari Tabel 4.2, cos 30o = 32, akibatnyaGambar 4.19 Segitiga siku-siku KLM.ML530oK32= 5MK ⇔ ×103103==333MK cmMatematika141Selanjutnya, untuk menentukan panjang KL dapat dihitung dengan mencari sin 30o atau menggunakan Teorema Phytagoras, sehingga diperoleh KL = 533 cmb.Ada dua cara untuk menentukan nilai cos ∠K. Pertama, karena ∠K = 90odan ∠M = 30o, maka ∠K = 60o. Akibatnya cos 60o = 12 (Lihat Tabel 4.2).Kedua, karena semua panjang sisi sudah dihitung dengan menggunakanDefinisi 4.1, maka cos ∠K = 5313==21033KLMKKc.Untuk setiap segitiga berlaku bahwa∠L + α + ∠K = 180o, maka ∠K = 180o – (α + 90o) = (90o – α)Karena α = 30o, maka (90o – α) = 60o. Oleh karena itu, dapat dituliskanbahwasin α = cos (90o – α), karenasin 30o = cos (90o – 30o)sin 30o = cos 60o (Lihat Tabel 4.2)Sekarang, mari kita selidiki, jika α = 60o, makasin α = cos (90o – α), karenasin 60o = cos (90o – 60o)sin 60o = cos 30oTernyata, pola tersebut juga berlaku untuk α = 0o, α = 45o, dan α = 90oJadi, diperoleh hubungan sinus dan cosinus. Jika 0o ≤ α ≤ 90o, maka sin α = cos ((90o – α)Next >