< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK142Contoh 4.8Diketahui sin (A – B) = 12, cos (A + B) = 12, 0o < (A + B) < 90o, A > BHitung sin A dan tan B.Alternatif PenyelesaianUntuk memulai memecahkan masalah tersebut, harus dapat mengartikan 0o < (A + B) < 90o, yaitu kita harus menentukan dua sudut A dan B, sedemikian sehingga cos (A + B) = 12dan sin (A – B) = 12Lihat kembali Tabel 4.2, cos α = 12 (α adalah sudut lancip), maka α = 60oJadi, diperoleh: A + B = 60o(1*)Selanjutnya, dari Tabel 4.2, sin α = 12 (α adalah sudut lancip), maka α = 30oJadi, kita peroleh: A – B = 30o (2*)Dari (1*) dan (2*), dengan cara eliminasi maka diperoleh A = 45o dan B = 15oMatematika1431.Diketahui segitiga RST, dengan ∠S = 90o, ∠T = 60o, dan ST = 6 cm.Hitung:a.Keliling segitiga RSTb.(sin ∠T)2 + (sin ∠R)22.Hitung nilai dari setiap pernyataan trigonometri berikut.a.sin 60o × cos 30o + cos 60o × sin 30ob.2(tan 45o)2 + (cos 30o) – (sin 60o)2c. ooocos 45sec 30+csc 30d. −oooooosin 30+tan 45csc 60sec 30+cos 60+cot 45e. −222ooo22oo2cos 60+4sec 30tan 45sin 30+cos 303.Pilihanlah jawaban yang tepat untuk setiap pernyataan berikut ini.Berikan penjelasan untuk setiap pilihan kamu.(i)×o2o2tan 30....1+tan 30A.sin 60o B. cos 60o C. tan 60o D. sin 60o(ii) −2o2o1tan 45....1+tan 45A.tan 90o B. 1C.sin 45o D. 0Uji Kompetensi 4.3 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK144(iii)sin (2 × A) = 2 × sin A, bernilai benar untuk A = ....A.0oB.30oC.45oD.60o(iv)×−o2o2tan 30....1tan 30A.cos 60o B. sin 60o C. tan 60o D. sin 60o4.Jika tan (A + B) = 3, tan (A – B) = 13, dan 0o < A + B ≤ 90o. TentukanA dan B.5.Manakah pernyataan yang bernilai benar untuk setiap pernyataan dibawah ini.a.sin (A + B) = sin A + sin Bb.Nilai sin θ akan bergerak naik pada saat nilai θ juga menaik, untukθo ≤ θ ≤ 90oc.Nilai cos θ akan bergerak naik pada saat nilai θ menurun, untuk θo ≤θ ≤ 90od.sin θ = cos θ, untuk setiap nilai θ = 0oe.Nilai cot θ tidak terdefinisi pada saat θ = 0o6.Jikaββ2tan 1 + sec , 0o < b < 90o hitung nilai b.7.Jika sin x = a dan cos y = b dengan π0<<2x, dan ππ<<2y, maka hitung tan x + tan y. (UMPTN 98)8.Pada suatu segitiga ABC, diketahui a + b =10, ∠A = 30o, dan ∠B = 45o.Tentukan panjang sisi b.(Petunjuk: Misalkan panjang sisi di depan ∠A = a, di depan ∠B = b, dan ∠B = c).9.Diketahui segitiga ABC, siku-siku di B,cos α = 45, dan tan b = 1, seperti gambarberikut.αbADBCMatematika145 Jika AD = a, hitung:a.ACb.DC10.Perhatikan gambar di bawah ini.cot θtan θcos θsin θcsc θθsec θCBAEF1OBuktikana.OC = sec θb.CD = tan θc.OE = csc θd.DE = cot θKelas X SMA/MA/SMK/MAK1464.4 Relasi Sudut Pada subbab ini, kita akan mempelajari hubungan nilai perbandingan trigonometri antardua sudut. Konsep yang telah kita miliki, yaitu Definisi 4.1 dan Tabel 4.2 yang akan digunakan untuk merumuskan relasi antardua sudut.Coba cermati masalah berikut.Masalah 4.6Diketahui suatu segitiga ABC, siku-siku di B dengan ∠A + ∠C = 90oSelidiki hubungan nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk ∠A dan ∠C.Alternatif PenyelesaianUntuk memudahkan kita menyelidiki relasi nilai perbandingan trigonometri tersebut, perhatikan gambar di samping.Karena ∠A + ∠C = 90o, maka ∠C = 90o – ∠ADengan menggunakan Definisi 4.1, kita perolehsin ∠A = ABACBC, cos ∠A = BCAC, tan ∠A = ABBCGambar 4.20 Segitiga siku-siku ABCCBASelain itu, dapat juga dituliskansin (90o – ∠A) = BCAC = cos ∠A cos (90o – ∠A) = ABACBC = sin ∠A, dan tan (90o – ∠A) = BCAB = cot ∠AMatematika147Jadi, relasi dua sudut yang lancip dapat dituliskan sebagai berikut.Sifat 4.3Jika 0o ≤ a ≤ 90o, maka berlaku.a.sin (90o – a) = cos ad.csc (90o – a) = sec ab.cos (90o – a) = sin ae.sec (90o – a) = csc ac.tan (90o – a) = cot af.cot (90o – a) = tan aContoh 4.9a.Sederhanakan bentukootan 65tan65cot 25tan65b.sin 3A = cos (A – 26o), dengan 3A adalah sudut lancip. Hitung A.c.Nyatakan bentuk cot 85o + cos 75o menjadi bentuk yang menggunakanperbandingan sudut di antara 0o dan 45o.Alternatif Penyelesaiana.Dari Sifat 4.3, diketahui bahwa cot A = tan (90o – A).Akibatnya, cot 25o = tan (90o – 25o) = tan 65o.Jadi ,ooootan 65tan 65==1cot 25tan 65b.Diketahui sin 3A = cos (A – 26o). Dari Sifat 4.3, dan karena 3A adalahsudut lancip, maka sin 3A = cos (90o – 3A)Akibatnya, cos (90o – 3A) = cos (A – 26o)(90o – 3A) = cos (A – 26o)A = 26oc.Dari Sifat 4.3, kita ketahui bahwa tan A = cot (90o – A), dan sin A = cos(90o – A). Dengan demikian, diperolehcot 85o = cot (90o – 5o) = tan 5o, dancot 75o = cos (90o – 15o) = sin 15oJadi, cot 85o + cos 75o = tan 5o + sin 15oKelas X SMA/MA/SMK/MAK148 Dengan modal konsep nilai perbandingan trigonometri untuk sudut lancip, selanjutnya, kita akan membahas nilai perbandingan trigonometri jika sudut θ adalah sudut tumpul. Masalah 4.7Diketahui grafik lingkaran dengan r = 1 satuan. Terdapat titik A merupakan titik potong garis dengan lingkaran pada kuadran I. Sudut θ merupakan sudut lancip yang dibentuk jari-jari terhadap sumbu x. Misalnya, θ = 30o.21-1-2-22BAθO-1yx31, 22Gambar 4.21 Lingkaran dengan r = OADengan demikian, dapat dituliskan bahwasin 30o = ABOA⇔ AB = OA × sin 30o ⇔ AB = 12cos 30o = OBOA ⇔ OB × OA × cos 30o ⇔ 32Jadi, koordinat titik A = 31, 22Matematika149 Dapatkah kamu selidiki bagaimana perubahan titik A jika diputar pada O berlawanan dengan arah putaran jarum jam sejauh 90o, 180o, dan 270o? Selanjutnya, selidiki perubahan nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk setiap besar putaran.Alternatif PenyelesaianDiketahui titik A 31, 22, berada di kuadran I. Tentu dengan mudah dapat kita pahami bahwaa.jika titik A diputar pada O (berlawanan dengan arah putaran jarum jam)sejauh 90o, maka titik A berada di kuadran II;b.jika titik A diputar pada O (berlawanan dengan arah putaran jarum jam)sejauh 180o, maka titik A berada di kuadran III;c.jika titik A diputar pada O (berlawanan dengan arah putaran jarum jam)sejauh 270o, maka titik A berada di kuadran IV.Sekarang kita akan mengkaji satu demi satu kejadian a, b, dan c.a.Perubahan titik A sejauh 90o, disajikan pada gambar berikut ini.21-1-2-22PAA1θOT-1yx31, 22Gambar 4.22 Rotasi titik A pada O sejauh 90o.Kelas X SMA/MA/SMK/MAK150Jika ∠AOP = 30o, maka ∠A1OP = 30o + 90o = 120o Akibatnya, kita peroleh ∠TA1O = 60o. Sekarang, coba cermati segitiga siku-siku A1TO.Perlu kamu ingat bahwa karena segitiga A1TO berada di kuadran II, OT bertanda negatif, tetapi A1T bertanda positif.Akibatnya, sin 60o = OTOA1-⇔ OT = -OA1 × sin 60oOT = -32cos 60o = ATOA11 ⇔ A1T = -OA1 × cos 60oA1T = 12Jadi, koordinat titik A1 = -31, 22. Akibatnya, tan 60o = ATOT132==-31--2Dengan demikian, diperoleh bahwa•sin (30o + 90o) = sin 120o = cos 30o = + sin 60o = 123•cos (30o + 90o) = cos 120o = - sin 30o = - cos 60o = -12•tan (30o + 90o) = tan 120o = - cot 30o = - tan 60o = -3Untuk semakin memantapkan pengetahuanmu, silakan kamu lanjut-kan untuk tiga perbandingan trigonometri lainnya.Matematika151b.Jika titik A di putar pada O sejauh 180o, maka perubahan titik A dideskripsikan sebagai berikut.21180o +30o-1-2-22BAA2θOT-1yx31, 22Gambar 4.23 Rotasi titik A pada O sejauh 180o13-,-22Dari gambar di atas, diperoleh∠OA2T = 30oCermati bahwa jika segitiga siku-siku OBA diputar pada O sejauh 180o, maka diperoleh segitiga siku-siku OTA2Akibatnya, sin ∠TOA2 = sin 30o = TAOA22-⇔ TA2 = -sin 30o × OA2⇔ TA2 = -12× 1 = -12cos ∠TOA2 = cos 30o = OTOA2-⇔ OT = -cos 30o × OA2 = -12⇔ OT = -32× 1 = -32Jadi, koordinat titik A2 = 31-,-22 Next >