< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK152Akibatnya, tan ∠TOA2 = tan 30o = TAOT21--12==-3.-33-2 Dengan demikian, diperoleh bahwa•sin (30o + 180o) = sin 210o = -sin 30o = -12•cos (30o + 180o) = cos 210o = -cos 30o = -32•tan (30o + 180o) = tan 210o = tan 30o = 133 Untuk tiga perbandingan trigonometri lainnya, silakan kamu temukan hubungannya.c.Perubahan Titik A setelah diputar pada O sejauh 270o, dideskripsikanpada gambar berikut ini.21-1-2-22BAθO-1yxGambar 4.24 Rotasi titik A pada O sejauh 270oA3Karena θ = 30o, maka jika titik A digeser sejauh 270o, maka titik A3 berada di kuadran IV. Akibatnya, ∠BOA3 = 60o dan ∠BA3O = 30o, maka Matematika153sin ∠OA3B = sin 30o = OBOA3⇔ OB = sin 30o × OA3⇔ OB = 12× 1 = 12cos ∠BA3O = cos 30o = BAOA33-⇔ BA3 = -cos 30o × OA3⇔ BA3 = -32× 1 = -32Dengan demikian, koordinat titik A = 31-,-22 dan tan ∠BA3O = tan 30o = OBBA3132==-.-33-2 Dengan demikian, diperoleh bahwa•sin (30o + 270o) = sin 300o = -cos 30o = -sin 60o = -32•cos (30o + 270o) = cos 300o = sin 30o = cos 60o = 12•tan (30o + 270o) = tan 300o = cot 30o = -tan 60o = -3Silakan temukan tiga hubungan perbandingan trigonometri lainnya.Masalah 4.8Diketahui grafik lingkaran dengan r = 1 satuan. Ada titik A merupakan titik potong garis dengan lingkaran pada kuadran I. Sudut θ merupakan sudut lancip yang dibentuk oleh jari-jari terhadap sumbu x.Misalnya, θ = 45o.Kelas X SMA/MA/SMK/MAK154OBA21-1-2-2-112xyθGambar 4.25 Segitiga siku-siku OAB dan ∠θ = 45oDengan demikian, dapat dituliskan bahwasin 45o = ABOA⇔ AB = OA × sin 45o ⇔ AB = 22cos 45o = OBOA⇔ OB = OA × cos 45o ⇔ OB = 22Jadi, koordinat titik A = 22,22 Dapatkah kamu selidiki bagaimana perubahan titik A jika diputar berlawanan dengan arah putaran jarum jam sejauh 90o, 180o, dan 270o? Selanjutnya, selidiki perubahan nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk setiap besar putaran. Apa kesimpulan yang dapat kamu tarik?Matematika155Alternatif PenyelesaianDari penjelasan Masalah 4.8, diketahui titik A = 22,22, berada di kuadran I .Untuk itu dengan mudah dapat kita pahami hal-hal berikut.a.Jika titik A diputar pada O (berlawanan dengan arah putaran jarum jam)sejauh 90o, maka titik A berada di kuadran II.b.Jika titik A diputar pada O (berlawanan dengan arah putaran jarum jam)sejauh 180o, maka titik A berada di kuadran III.c.Jika titik A diputar pada O (berlawanan dengan arah putaran jarum jam)sejauh 270o, maka titik A berada di kuadran IV.Sekarang kita akan mengkaji satu-satu kejadian a, b, dan c.a.Jika titik A diputar pada O (berlawanan dengan arah putaran jarum jam)sejauh 90o, maka perubahan titik A disajikan pada gambar berikut ini.OTPAA121-1-2-2-145o12xyθGambar 4.26 Rotasi titik A pada O sejauh 90o22,22Jika ∠AOP = 45o, maka ∠A1OP = 45o + 90o = 135o, sedemikian sehingga ∠TA1O = 45oKelas X SMA/MA/SMK/MAK156Perlu kamu ingat bahwa segitiga A1TO berada di kuadran II, TO bertanda negatif, tetapi A1T bertanda positif, akibatnyasin 45o = OTOA1-⇔ -OT = OA1 × sin 45o ⇔ OT = -22cos 45o = ATOA11⇔ A1T = OA1 × cos 45o ⇔ A1T = 22Jadi, koordinat titik A1 = 22,22Dengan demikian, akan diperoleh tan 45o = ATOT122==-1.1--2 Dengan demikian, diperoleh bahwa•sin (45o + 90o) = sin 135o = cos 45o = sin 45o = 122•cos (45o + 90o) = cos 135o = -sin 45o = -cos 45o = -122•tan (45o + 90o) = tan 135o = -cot 45o = -tan 45o = -1Untuk tiga perbandingan lainnya, kamu diharapkan dapat menuntaskannya.b.Jika titik A diputar (berlawanan dengan arah putaran jarum jam) sejauh180o, maka perubahan titik A dideskripsikan pada Gambar 4.27. Darigambar tersebut diperoleh bahwa ∠OA2T = 45o. Cermati bahwa jikasegitiga siku-siku OAB diputar pada O sejauh 180o, maka diperolehsegitiga siku-siku OTA2.Matematika157Akibatnya, A2T = -OB = -22 danOT = -AB = -22Jadi, koordinat titik A2 = 22-,-22Sekarang kita fokus pada segitiga OTA2. Dari segitiga tersebut diperolehsin ∠TA2O = sin 45o = OTOA22-22==-12cos ∠TA2O = cos 45o = ATOA222-22==-.12 tan ∠TA2O = tan 45o = OTTA22-2==1.2-2 Dengan demikian, diperoleh bahwa•sin (45o + 180o) = sin 225o = -sin 45o = 22•cos (45o + 180o) = cos 225o = -cos 45o = -22•tan (45o + 180o) = tan 225o = tan 45o = 1Tentunya, kamu dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri lainnya.21-1-2-22BAA2θOT-1yxGambar 4.27 Rotasi titik A pada O sejauh 180o22-,-2222,22Kelas X SMA/MA/SMK/MAK158c.Jika titik A diputar pada O (berlawanan dengan arah putaran jarumjam) sejauh 270o, perubahan titik A setelah diputar dideskripsikan padagambar berikut ini.21-1-2-22BAθO-1yxGambar 4.28 Rotasi titik A pada O sejauh 270oA3Karena θ = 45o, maka jika titik A digeser pada O sejauh 270o, maka titik A3 berada di kuadran IV. Akibatnya, ∠OA3B = 45o, maka sin ∠OA3B = sin 45o = OBOA3⇔ OB = sin 45o × OA3⇔ OB = 22 × 1 = 22cos ∠OA3B = cos 45o = ABOA33-⇔ A3B = cos 45o × OA3⇔ A3B = -22× 1 = -22 Dengan demikian, koordinat titik A3 = 22,-22 dan tan ∠BOA3 = tan 45o = OBBA322==-1.-2-2 Matematika159Dengan demikian, diperoleh bahwa•sin (45o + 270o) = sin 315o = -cos 45o = -22•cos (45o + 270o) = cos 315o = sin 45o = 22•tan (45o + 270o) = tan 315o = cot 45o = -1Untuk melengkapi kesimpulan di atas, diharapkan kamu dapat menen-tukan tiga perbandingan trigonometri lainnya.Untuk θ = 60o dengan cara yang sama pada Masalah 4.8 dapat diperoleh kesimpulan bahwa•sin (60o + 90o) = sin 150o = -cos 60o = sin 30o = 12•cos (60o + 90o) = cos 150o = -sin 60o = -cos 30o = 123•tan (60o + 90o) = tan 150o = -cot 60o = -tan 30o =133•sin (60o + 180o) = sin 240o = -sin 60o = -123•cos (60o + 180o) = cos 240o = -cos 60o = -12•tan (60o + 180o) = tan 240o = tan 60o = 3•sin (60o + 270o) = sin 330 = -cos 60o = -sin 30o = -12•cos (60o + 270o) = cos 330o = sin 60o = cos 30o = 123•tan (60o + 270o) = tan 330o = -cot 60o = -tan 30o =133Kelas X SMA/MA/SMK/MAK160Masalah 4.9Diketahui grafik lingkaran dengan r = 1. Misalkan titik A(1, 0) . Selidiki perubahan titik A jika diputar pada O (berlawanan dengan arah jarum jam) sejauh 180o, 270o, dan 360o.Selanjutnya, simpulkan nilai sinus, cosinus, tangen untuk sudut-sudut 180o, 270o, dan 360o.Alternatif PenyelesaianDengan pemahaman kamu dari Masalah 4.7 dan 4.8 tentunya untuk mendeskripsikan Masalah 4.9 sudah merupakan sesuatu hal yang mudah.Perubahan titik A(1, 0) setelah diputar pada O (berlawanan dengan arah jarum jam) sejauh 180o, 270o, dan 360o dapat dideskripsikan pada gambar berikut ini.Gambar 4.29 Rotasi titik A pada O sejauh 180o, 270o, dan 360o21-1-2-22A(1, 0)A4(1, 0)A3(0, -1)A2(-1, 0)A1(0, 1)O-1yxa.Karena titik A diputar 180o, maka diperoleh titik A2(-1, 0).Titik A2(-1, 0) merupakan bayangan titik A di kuadran II.Dengan demikian, diperoleh bahwasin 180o = 0, cos 180o = -1, dantan 180o = oosin 1800==0cos 180-1Matematika161b.Titik A3 = (0, -1) merupakan bayangan titik A2 (0, 1).Dengan demikian, diperoleh bahwasin 270o = -1, cos 270o = 0, dantan 270o = oosin 270-1=cos 2700 tak terdefinisi c.Jika titik A diputar pada O sejauh 360o, maka akan kembali ke titik A.Dengan demikian, diperoleh bahwasin 360o = 0, cos 360o = 1, dan tan 360o = ooosin 3600==0.cos 3601Dengan demikian, nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa disajikan pada tabel berikut.Tabel 4.3 Nilai perbandingan nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewasincostancscseccot0o010~1~30o121231332233345o122122122160o123123233213390o10~1~0120o123123233-2133135o122122-122-1150o1212313322333- - - - - - - - -Next >