< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK162sincostancscseccot180o0-10~-1~210o12123133-22333225o1221221221240o123123233-2133270o-10~-1~0300o1231232332133315o122122-122-1330o12123133-22333360o010~1~Keterangan: Dalam buku ini, simbol ~ diartikan tidak terdefinisi.Dengan memperhatikan secara cermat nilai-nilai pada tabel dan letaknya pada kuadran, maka dapat disimpulkan seperti dalam sifat berikut. Sifat 4.4Kuadran II 90o < θ ≤ 180oNilai sinus bertanda positifcosinus, tangen bertanda negatifS(Saja)Kuadran III 180o < θ ≤ 270oNilai tangen bertanda positifsinus, dan cosinus bertanda NegatifT(Tahu)Kuadran I 0o < θ ≤ 90oNilai sinus, cosinus, tangenbertanda positifA(Asal)Kuadran IV 27o < θ ≤ 360oNilai cosinus bertanda positifsinus dan tangan bertanda negatifA(Caranya) - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Matematika163Tanda positif dan negatif di setiap kuadran di atas diberikan untuk membantu kita mengingat nilai-nilai perbandingan trigonometri, selain melihat Tabel 4.3.Selain Tabel 4.3 dan Sifat 4.4 di atas, hal penting dan yang lain juga dapat disimpulkan, yaitu sifat relasi antarsudut, seperti disimpulkan pada sifat berikut.Sifat 4.5Untuk setiap 0o < a < 90oa.sin (90o + a) = cos ag.sin (180o + a) = -sin ab.cos (90o + a) = -sin ah.cos (180o + a) = -cos ac.tan (90o + a) = -cot ai.tan (180o + a) = tan ad.sin (180o – a) = sin aj.sin (360o – a) = -sin ae.cos (180o – a) = -cos ak.cos (360o – a) = cos af.tan (180o – a) = -tan al.tan (360o – a) = -tan aMisalnya, jika θ = 30o dan θ = 60o, dengan menggunakan Sifat 4.5, makaa.cos (180o – θ) = cos (180o – 30o)= cos 150o = -cos 30o = -123 dancos (180o – θ) = cos (180o – 60o)= cos 120o = -cos 60o = -12(pada kuadran II, nilai cosinus bertanda negatif).b.sin (180o + θ) = sin (180o + 30o)= sin 210o = -sin 30o = -12 dansin (180o + θ) = sin (180o + 60o)= sin 240o = -sin 60o = -123(pada kuadran III, nilai sinus bertanda negatif).Kelas X SMA/MA/SMK/MAK164c.sin (360o – θ) = sin (360o – 30o)= sin 330o = -sin 30o = -12 dansin (360o – θ) = sin (360o – 60o)= sin 300o = -sin 60o = -123 (pada kuadaran IV, nilai sinus bertanda negatif).d.tan (360o – θ) = tan (360o – 30o)= tan 330o = -tan 30o = -133(pada kuadran IV tangen bertanda negatif).PertanyaanSetelah menemukan Sifat 4.4 dan 4.5 di atas, kamu dapat memunculkan pertanyaan-pertanyaan menantang terkait nilai perbandingan trigonometri. Misalnya,a.Bagaimana menentukan nilai sin 700o, cos 1.200o, dan tan 1.500o?b.Apa bedanya sin (30o)2 dengan (sin 30o)2?Sebelum kita melanjutkan kajian tentang identitas trigonometri, mari kita pahami contoh-contoh berikut.Contoh 4.10Jika diketahuia.cos α = -45, (α rad) α berada di kuadran II, tentukan nilai csc α dan cot α. b.tan b = -612, (b rad) b berada di kuadran IV, tentukan nilai (sin b)2 + (cos b)2. Alternatif Penyelesaiana.Sudut α yang terletak di kuadran II menjadi penentu tanda nilaiperbandingan trigonometri, seperti gambar berikut ini.Matematika165Pada segitiga siku-siku tersebut, diketahui panjang sisi miring dan sisi di samping sudut α. Dengan Teorema Phytagoras, diperoleh pan-jang sisi di depan sudut adalah 3.Dengan demikian, dengan Definisi 4.1, diper-olehcsc α =α115==3sin 35cot α =α11-4==3tan 3-4Gambar 4.30 cos α di kuadran II53-4αGambar 4.31 tan b di kuadran IV20-1612bb.Dengan pemahaman yang sama dengan bagian a, tan b = -612, dengan b pada kuadran IV, diilustrasikan sebagai berikut.Dengan menggunakan Teorema Phytagoras, diperoleh panjang sisi miring, yaitu 20.Akibatnya, dengan Definisi 4.1, diperoleh sin b = -1616=-2020 dan cos b = 1220Jadi, (sin b)2 + (cos b)2 = 221612256+144400-+==12020400400 = 400=1400Contoh 4.11Di daerah pedesaan yang jauh dari bandar udara, kebiasaan anak-anak jika melihat/mendengar pesawat udara sedang melintasi perkampungan mereka mengikuti arah pesawat tersebut. Bolang mengamati sebuah pesawat udara yang terbang dengan ketinggian 120 km. Dengan sudut elevasi pengamat Kelas X SMA/MA/SMK/MAK166(Bolang) terhadap pesawat adalah sebesar θ, tentukan jarak pengamat ke pesawat, jikai.θ = 30oii.θ = 90oiii.θ = 120oAlternatif PenyelesaianIlustrasi persoalan di atas dapat disajikan pada Gambar 4.32Gambar 4.32 Sketsa pengamatan terhadap pesawat udara dengan sudut elevasi θ120 kmdθUntuk menentukan jarak pengamat terhadap pesawat, dengan diketahui ketinggian terbang pesawat, kita menentukan sin θ. (Mengapa?)i.Untuk θ = 30o, maka sin 30o = 120d ⇔ o120120===2401sin 302d kmii.Untuk θ = 90o, maka sin 90o = 120d ⇔ o120120===120sin 901d kmArtinya, saat θ = 90o, pesawat tepat berada di atas si Bolang, sehingga sama dengan tinggi terbangnya pesawat.iii.Untuk θ = 120o, maka sin 120o = + sin 60o = 120d⇔ o120120240=sin 60d 120==3224033 km Matematika167Contoh 4.12Diketahui segitiga siku-siku ABD, ∠B = 90o, ∠A = 30o, dan AD = 8 cm. BC adalah garis tinggi yang memotong AD. Hitung keliling dan luas segitiga ABD.Alternatif PenyelesaianMemahami dan mencermati informasi tentang segitiga ABD merupakan langkah awal untuk menyelesaikannya. Salah satu buktinya kamu harus memahami, maka kamu harus mampu menuliskan dan menggambarkan kejadian tersebut.Gambar 4.33 Segitiga siku-siku ABDADB60oCxySecara lengkap informasi tentang segitiga ABD seperti pada gambar di samping Untuk dapat menentukan keliling segitiga, kita harus menemukan nilai x dan y.Perhatikan ∆ABD, kita mengetahuisin 60o = =8ABxAD ⇔ x = 8 × sin 60o⇔ x = 8 × 32 = 43cos 30o = =8BDyAD = ⇔ y = 8 × cos 30o⇔ y = 8 × 12 = 4Jadi, keliling segitiga ABD = AB + BD + AD= 43 + 8 + 4 = ( 43 + 12) cmUntuk menghitung luas segitiga ABD, kita harus mencari panjang BC.Perhatikan Gambar 4.33, fokuskan pada segitiga siku-siku BCD atau ABC.Penulis fokus pada segitiga BCD. Kelas X SMA/MA/SMK/MAK168Untuk menemukan panjang BC, gunakan sin 60o.sin 60o = BCBD ↔3=24BC ⇔ BC = 23 cmJadi, luas segitiga ABD adalah ××2823==83 cm22ADBC4.5 Identitas Trigonometri Pada subbab ini kita akan mengkaji ekspresi perbandingan trigonometri selain atau/dan menggunakan nilai perbandingan trigonometri yang telah kita temukan. Pengetahuan dasar yang diperlukan pada subbab ini di antaranya definisi perbandingan trigonometri dan Teorema Phytagoras.Coba cermati masalah berikut ini.Masalah 4.10Diketahui suatu segitiga ABC, siku-siku di C. Misalkan ∠A = α rad, ∠B b rad, AB = c, dan AC = b.Selain perbandingan trigonometri dasar, temukan ekspresi antara (sin α)2 dengan (cos α)2 atau dengan (tan α)2.Alternatif PenyelesaianPada segitiga ABC, seperti pada Gambar 4.34, diperoleh bahwac2 + a2 + b2Selain itu, kita juga dapat menuliskan bahwaa.sin α = ac, cos α = bc, dan tan α = abAkibatnya, (sin α)2 = sin2 α = 222=aaccGambar 4.34 Segitiga siku-siku ABCAbcαaCBbMatematika169(cos α)2 = cos2 α = 222=bbccPenekanan yang dapat dibentuk, yaitui.sin2 α + cos2 α =222222222++===1ababcccccJadi, sin2 α + cos2 α = 1 (1*)ii. Dengan persamaan (1*), jika ruas kiri dan kanan dikalikan α21sin, dengan sin2 α ≠ 0, maka diperoleh×αα×αα222211sin+cos=1sinsin⇔α×αααα22222111×sin+cos=sinsinsinα⇔αα222cos11+=sinsinKarena α115sin 3 = csc α, α21sin = csc2 α, dan cos sin αα = cot α, makaααα22cos1sinsin = cot2 αAkibatnya, α⇔αα222cos11+=sinsin⇔ 1 + cot2 α = csc2 α (2*)iii.Dengan menggunakan persamaan (1*), jika ruas kiri dan kanan dikalikan dengan α21cos, maka diperoleh×αα×αα222211sin+cos=1coscosKelas X SMA/MA/SMK/MAK170⇔××ααα22222111sinα+cos=cosαcossinα⇔αα222sin1+1=coscosKarena α1cos = sec α, α21cos = sec2 α, dan ααsin cos = tan α, maka ααα222sin=tancosAkibatnyaα⇔αα222sin1+1=coscos⇔ tan2 α + 1 = sec2 α (3*)b.sin b = bc, cos b = , dan tan = baDengan cara yang sama, diperolehsin2 b + cos2 b = 11 + cot2 b = csc2 b, dan tan2 b + 1 = sec2 b. Perhatikan hasil yang diperoleh pada bagian a dan b. Setiap penekanan di atas berlaku jika sudut yang digunakan sama. Artinya, tidak dapat dituliskan seperti sin2 α + cos2 b = 1. Pada suatu segitiga siku-siku, dua sudut lainnya pastilah sudut lancip. Tetapi penerapan penekanan sin2 α + cos2 α = 1, juga berlaku untuk lebih dari 90o. Misalnya, bila diberikan α = 240o, makasin2 240o + cos2 240o = 223131-+-=+=12244Dengan demikian, hasil pembahasan Masalah 4.9 di atas dapat disimpulkan dalam sifat berikut.Matematika171Sifat 4.6Untuk setiap besaran sudut α, berlaku bahwaa.sin2 α + cos2 α = 1 ↔ sin2 α = 1 – cos2 a atau cos2 α = 1 – sin2 αb.1 + cot2 α = csc2 α ↔ cot2 α = csc2 α – 1 atau csc2 α – cot2 α = 1c.tan2 α + 1 = sec2 α ↔ tan2 α = sec2 α – 1 atau tan2 α – sec2 α = 1Contoh 4.13Misalkan 0o < b < 90o dan tan b = 3Hitung nilai sin b dan cos b.Alternatif PenyelesaianDengan menggunakan definisi perbandingan dan identitas trigonometri, diperoleh cot b = 13.Akibatnya, 1 + cot2 α = csc2 α ↔ 1 + 19 = csc2 α ↔ 109 = csc2 α atau csc α = 1010=93 (Mengapa?)Karena sin b = β1csc , maka sin b = 13=1010103Dengan menggunakan tan2 α + 1 = sec2 α, diperoleh:32 + 1 = sec2 α → sec2 α = 10 atau sec α = 10(Mengapa?)Karena cos b = β1csc , maka cos = b = 110=1010Next >