< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK172Contoh 4.14Buktikan setiap persamaan berikut ini.a.(sec α – tan α) × (sec α – tan α) = 1b. θθ≠−θθ−θsec 1=,cos 01tan cos sin c.T TTT33=6 sec . tan 1sin 1+sin Alternatif Penyelesaiana.Kita harus dapat menunjukkan yang ada di ruas kanan dengan caramemodifikasi informasi yang ada di ruas kiri. Artinya(sec α – tan α) × (sec α – tan α) = sec2 α – tan2 αPada Sifat 4.6, tan2 α + 1 = sec2 α ↔ tan2 α = sec2 α – 1Dengan demikian terbukti bahwa: (sec α – tan α) × (sec α – tan α) = 1b.Dengan memodifikasi informasi yang di ruas kiri, kita dapat menuliskan:sec 1tan =1cos 1sin cos =1cos cos cos sin cos θ−θθ−θθθθθ−θθθθθ×θ−θθ−θ=1cos 1cos cos sin =1cos sin ()()c)Dengan memodifikasi yang di ruas kiri, diperoleh:()()()()()()θθ−−θθ−θθθ−θ31+sin 31-sin 33-=1sin 1+sin 1sin 1+sin 1+sin 1sin =31+sin 1sin ‚1+sin 31sin 1+sin 1sin θ−θ−−θθ−θ()()()()()()==3+3 sin3+3 sin 1sin=6 sin1sin 22θ−θ−θθ−θKarena 1 – sin2 θ = cos2 θ, maka θθ××θ θ−θθ−θθ22336 sin θ6 sin sin 1-===6=6 tan . sec 1sin 1+sin 1sinθcos cos cosθMatematika1731.Lengkapi tabel berikut ini.Tanda Nilai Perbandinganα berada di kuadran kea)sin α > 0cos α > 0.......................................................b)sin α < 0cos α > 0.......................................................c)tan α < 0sin α > 0.......................................................d)tan α = 0sin α > 0.......................................................e)csc α < 0tan α < 0.......................................................Berikan alasan untuk setiap jawaban yang kamu peroleh.2.Hitung nilai dari:a.sin 3.000od. SSS3sin+cos222tan6b.cos 2.400oe. ××oo2oooosin 45cos 135+tan 1202 sin 60cos 30c.ππ×−π257sintancos 944 3.Tentukan 5 nilai perbandingan trigonometri yang lain untuk setiappernyataan berikut ini.a.cos α = 35, π32< α < 2π d.sec b = -2, π < b < π32b.tan α = 1, π < α < π32e.csc b = -232, π32< b < 2π c.4 sin a = 2,π2< α < π f.3 tan2 b = 1,π2 < b < π Uji Kompetensi 4.4 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK1744.Selidiki kebenaran setiap pernyataan berikut. Berikan alasan untuk setiapjawabanmu.a.sec x dan sin x selalu mimiliki nilai tanda yang sama di keempatkuadran.b.Di kuadran I, nilai perbandingan sinus selalu lebih dari nilaiperbandingan cosinus.c.Untuk 30o < x < 90o dan 120o < y < 150o maka nilai 2 sin x < cos2 y.5.Diberikan tan θ = -815 dengan sin θ > 0, tentukana.cos θc.sin θ × cos θ + cos θ × sin θb.csc θd.θθcsc cot 6.Dengan menggunakan identitas trigonometri, sederhanakan setiapbentuk berikut ini.a.(tan x + sec x)(tan x – sec x)b. −11+1+cos 1cos xxc.tan x – 2sec tan xxd.cos 1+sin +1+sin cos xxxx7.Diketahui α = 45o dan b = 60o. Hitunga.2 × sin 45o × cos 60ob.sin 45o × cos 60o + sin 60o × cos 45oc.sin 45o × cos 60o – sin 60o × cos 45od. −×ooootan45+tan601(tan45tan60)e.sin2 45o + cos2 60o + sin2 60o + cos2 45oMatematika1758.Diberikan fungsi f(x) = sin (x + 90o) , untuk setiap 0o ≤ x ≤ 360o. Untuksemua sudut-sudut istimewa, tentukan nilai fungsi.9.Sederhanakan bentuk persamaan berikut ini.a.cos x . csc x . tan xb.cos x . cot x + sin x c. −sinsin+1+cos1cosxxxxd.(sin α + cos α)2 + (sin α – cos α)2 e.(csc θ – cot θ) × (1 + cos θ)10.Cermati Gambar 4.35. Dengan menemukan hubungan antarsudut-sudutdan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku yang ada pada gambar, hitunga.Panjang AD, EC, BC, BD,AB, FB, AE, dan DEb.sin 75oc.cos 75od.tan 75oGambar 4.35 Kombinasi segitiga siku-siku30o45oACEBDFKelas X SMA/MA/SMK/MAK1764.6 Aturan Sinus dan Cosinus Pada subbab 4.2 – 4.5 telah kita kaji dan temukan konsep perbandingan trigonometri untuk sembarang segitiga siku-siku. Kita dengan mudah menentukan nilai sinus, cosinus, dan perbandingan trigonometri lainnya meskipun segitiga siku-siku tersebut dikaji berdasarkan posisi kuadran. Pertanyaan akan muncul, bagaimana menggunakan konsep perbandingan trigonometri tersebut pada suatu segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, atau bahkan pada suatu sembarang segitiga? Pertanyaan ini merupakan ide untuk mengkaji subbab 4.6 ini. Sebagai pengetahuan tambahan selain konsep yang sudah kita miliki di atas, perlu kita kenalkan istilah garis tinggi dan garis berat pada sembarang segitiga. Perhatikan gambar berikut.Gambar 4.36 (i) BD merupakan salah satu garis tinggi dan (ii) BE merupakan garis berat ∆ABCADCACBEBUntuk setiap segitiga sembarang, Garis tinggi adalah suatu garis yang dibentuk dari suatu sudut dan berpotongan tegak lurus dengan sisi di hadapannya.Garis berat adalah suatu garis yang dibentuk dari suatu sudut dan memotong sisi di hadapannya menjadi dua bagian yang sama panjang.Definisi 4.2 Dengan definisi tersebut, silakan tarik garis tinggi dan garis berat segitiga pada Gambar 4.36. Selanjutnya, untuk menemukan bagaimana menerapkan konsep perban-dingan trigonometri untuk setiap segitiga sembarang, coba cermati masalah berikut ini.Matematika177Masalah 4.11Diberikan suatu segitiga sembarang, seperti pada Gambar 4.37 di bawah ini.Misalkan PR = q satuan, PQ = r satuan, dan RQ = p satuan, dengan p ≠ q ≠ r serta ∠P atau ∠Q atau ∠R tidak satupun 0o dan 90o.PRQqprGambar 4.37 Segitiga sembarang PQR, dengan ∠P ≠ ∠Q ≠ ∠RBentukan garis tinggi dari setiap sudut segitiga PQR dan temukan hubungan antar garis berat tersebut.Alternatif PenyelesaianKarena setiap segitiga sembarang memiliki tiga sudut, maka didapat membentuk tiga garis tinggi pada segitiga tersebut.a.Garis tinggi yang dibentuk dari ∠PGaris tinggi yang dibentuk dari sudut ∠P dideskripsikan pada Gambar4.38.Perhatikan ∆PRS dan ∆PQS .Gambar 4.38 Garis tinggi yang dibentuk dari ∠PPqpRSxp – xrQKelas X SMA/MA/SMK/MAK178Kita dapat menuliskan bahwasin ∠R = PSPR atau PS = PR × sin ∠R = q × sin ∠R. (1)sin ∠Q = PSPQ atau PS = PQ × sin ∠Q = r × sin ∠Q. (2)Dari (1) dan (2), kita memperolehr × sin ∠Q = q × sin ∠R ↔ ∠∠rqRQ=sin sin (3)Selain itu, kita juga dapat menuliskan bahwacos ∠R = RSxPRq= atau x = q × cos ∠R. (4)Kita masih fokus pada ∆PRS dan ∆PQS dengan menggunakan Teorema Phytagoras, dapat dituliskanr2 = (p – x)2 + q2 – x2 dan q2 = x2 + (PS)2 atau (PS)2 = q2 – x2Akibatnya kita perolehr2 = (p – x)2 + q2 – x2 ↔ r2 = p2 – 2px + x2 + q2 – x2 = p2 + q2 – 2px (5)Dengan (4), maka (5) berubah menjadir2 = p2 + q2 – 2.p.q.cos ∠R. (6)b.Garis tinggi yang dibentuk dari ∠QGaris tinggi yang dibentuk dari sudut ∠Q dideskripsikan pada Gambar 4.39.Perhatikan ∆PQT dan ∆RQT.Gambar 4.39 Garis tinggi ∆PQR yang dibentuk dari ∠Q RQpqTryq – yPMatematika179Dengan mudah kita menemukan bahwasin ∠P = PTPQ atau QT = PQ × sin ∠P = r × sin ∠P (7)sin ∠R = QTRQ atau QT = RQ × sin ∠R = p × sin ∠R (8)Dari (7) dan (8), diperolehp × sin ∠R = r × sin ∠P ↔ ∠∠rpRP=sin sin (9)Selain itu, kita juga dapat menemukan bahwacos ∠P = PTyPQr= atau y = r × cos ∠P. (10)Kita masih fokus pada ∆PQT dan ∆RQT, dengan Teorema Phytagoras, diperoleh bahwa p2 = (q – y)2 + (QT)2 dan r2 = y2 + (QT)2 atau (QT)2 = r2 – y2Akibatnya, kita perolehp2 = (q – y)2 + r2 – y2 ↔ p2 = q2 – 2.q.y + y2 + r2 – y2 = q2 + r2 – 2.q.y(11)Dengan (10), maka (11) menjadip2 = q2 + r2 – 2.q.r.cos ∠P. (12)c.Garis tinggi yang dibentuk dari ∠RGaris tinggi yang dibentuk dari ∠R dideskripsikan pada Gambar 4.40.Perhatikan ∆PRU dan ∆RQU.Gambar 4.40 Garis tinggi ∆PQR yang dibentuk dari ∠R RPUrqpQKelas X SMA/MA/SMK/MAK180Kita dapat menemukan bahwasin ∠P = RUPR atauRU = PR × sin ∠P = q × sin ∠P (13)sin Q = RURQ atau RU = RQ × sin ∠Q = p × sin ∠Q (14)Dari (6e) dan (6f), diperoleh q × sin ∠P = p × sin ∠Q ↔ ∠∠qpQP=sinsin(15)Selain itu, kita juga dapat menuliskan bahwacos ∠Q = UQzRQp= atau z = p × cos ∠Q (16)Kita masih fokus mencermati ∆PRU dan ∆RQU, dengan Teorema Phytagoras, kita dapat menuliskanq2 = (r – z)2 + (RU)2, danp2 = z2 + (RU)2 atau (RU)2 = p2 – z2Akibatnya, diperolehq2 = (r – z)2 + p2 – z2 ↔ q2 = r2 – 2.r.z + z2 + p2 – z2 = r2 + p2 – 2.r.z (17)Dengan (16), maka (17) menjadiq2 = r2 + p2 – 2.r. p.cos ∠Q (18)Jadi, dari (3), (9), dan (15), kita menemukan bahwa∠∠∠pqrPQr==sin sin sin Hal tersebut di atas sering dikenal istilah ATURAN SINUS.Selain itu, dari (6), (12), dan (18) juga kita menemukan bahwai.p2 = q2 + r2 – 2.q.r.cos ∠P atau cos ∠P = −qrpqr222+2..Matematika181ii.q2 = p2 + r2 – 2.p.r.cos ∠Q atau cos ∠Q = −prqpr222+2..iii.r2 = p2 + q2 – 2.p.q.cos ∠R atau cos ∠R = −pqrpq222+2..Hal tersebut yang sering dikenal istilah ATURAN COSINUSUntuk membantu mengingatnya, kita jadikan sebagai sifat, seperti berikut.Sifat 4.7Untuk setiap segitiga, dengan BC = a, AC = b, AB = c, dengan sudut-sudutnya ∠C, ∠A dan ∠B, maka berlakuATURAN SINUS==∠∠∠abcABCsinsinsinATURAN COSINUSQRAPCBGambar 4.41 ∆ABC dengan tigagaris tinggi i.a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos ∠A atau cos ∠A = 222−bcabc+2..ii.b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos ∠B atau cos ∠B = 222−acbac+2..iii.c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos ∠C atau cos ∠C = 222−abcab+2..Kemudian, kamu harus mampu menggunakan dengan efektif aturan sinus dan aturan cosinus di atas dalam memecahkan masalah.Coba uji pemahaman kamu dalam menggunakan Sifat 4.7.Next >