< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK182Contoh 4.15Jalan k dan jalan l berpotongan di kota A. Dinas tata ruang kota ingin menghubungkan kota B dengan kota C dengan membangun jalan m dan memotong kedua jalan yang ada, seperti yang ditunjukkan Gambar 4.42 di bawah. Jika jarak antara kota A dan kota C adalah 5 km, sudut yang dibentuk jalan m dengan jalan l adalah 75o dan sudut yang dibentuk jalan k dan jalan m adalah 30o. Tentukan jarak kota A dengan kota B.ABCJalan mJalan lJalan kGambar 4.42 Jalan k, l, dan mAlternatif PenyelesaianUntuk memudahkan perhitungan, kita bentuk garis tinggi AD, dimana garis AD tegak lurus dengan garis BC, seperti pada Gambar 4.43.ADBCJalan mJalan lJalan kGambar 4.43 Segitiga ABC dengan garis tinggi DMatematika183Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri (Definisi 4.1), pada ∆ABC, dapat kita tuliskan bahwasin B = ADAB atau AD = AB × sin B(19)Sedangkan pada ∆ACD, kita perolehsin C = ADAC atau AD = AC × sin C(20)Dari persamaan (19) dan (20), kita peroleh bahwaAB × sin B = AC × sin C(21)Karena diketahui bahwa ∠C = 70o, ∠B = 30o, dan jarak AC = 5, dengan persamaan (21) diperolehAB × sin 30o = AC × sin 70o,AB = (××oo5 sin705 0,94)= sin300,5= 9,4 km.Jadi, jarak kota A dengan kota B adalah 9, 4 km.Contoh 4.16Diberikan segiempat, seperti pada Gambar 4.44. BD25.53.56sACGambar 4.44 Segiempat ABCDHitung nilai s.Alternatif PenyelesaianDengan Gambar 4.44, kita melihat ∆ADB, ∆ADC, dan ∆ABCKelas X SMA/MA/SMK/MAK184Hal ini kita perlukan untuk menemukan nilai cos ∠DAB.Di sisi lain, ∠DAB = ∠BAC + ∠DAC.Artinya, dengan menemukan besar sudut ∠BAC dan ∠DAC, kita dapat menghitung nilai cos ∠DAB (mengapa harus menentukan cos ∠DAB?)Mari kita kaji ∆ABC.ACB265.5Gambar 4.45 Segitiga ABCDengan menggunakan Sifat 4.6 (Aturan Cosinus) −∠222222+6+2-(5,5)9,75cos====0,4062..2.(6).(2)24ACABBCBACACABDengan bantuan kalkulator atau tabel trigonometri, karena cos ∠BAC = 0,40625, maka besar ∠BAC = 66,03o.Sekarang, mari kita kaji ∆ADC.ACD643.5Gambar 4.46 Segitiga ADC.Dengan menggunakan Sifat 4.6 (Aturan Cosinus), kita perolehcos ∠DAC = −−ACADDCACAD222222+4+6(3,5)= 2..2.4.6 = 0,82813Melalui kalkulator atau tabel trigonometri, diperoleh besar ∠DAC = 34,03oDengan demikian, besar ∠DAB = 66,03o + 34,03o = 100,06oMatematika185Akibatnya, untuk menentukan panjang sisi s, kita perhatikan ∆ABD.cos ∠DAB = −ABADBDABAD222+2..cos ∠DAB = −s2224+22.4.2Atau16.(cos 100,06o) = 20 – s2 ↔ 16(-0,174) = 20 – s2 ↔ -2784 = 20 – s2 ↔ s2 = 22,784 ↔ s = 22,784 = 4,709 4.7 Grafik Fungsi Trigonometri Pada subbab ini, kita akan mengkaji bagaimana konsep trigonometri jika dipandang sebagai suatu fungsi. Mengingat kembali konsep fungsi pada Bab 3, fungsi f(x) harus terdefinisi pada daerah asalnya. Jika y = f(x) = sin x, maka daerah asalnya adalah semua x bilangan real. Namun, mengingat satuan sudut (subbab 4.1) dan nilai-nilai perbandingan trigonometri (yang disajikan pada Tabel 4.3), pada kesempatan ini, kita hanya mengkaji untuk ukuran sudut dalam derajat . Mari kita sketsakan grafik fungsi y = f(x) = sin x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π.a.Grafik Fungsi y = sin x, dan y = cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2πMasalah 4.12Dengan keterampilan kamu dalam menggambar suatu fungsi (Bab 3), gambar-kan grafik fungsi y = sin x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π.Alternatif PenyelesaianDengan mencermati nilai-nilai sinus untuk semua sudut istimewa yang disajikan pada Tabel 4.3, kita dapat memasangkan ukuran sudut dengan nilai sinus untuk setiap sudut tersebut, sebagai berikut.DABs24Gambar 4.47 Segitiga ABDKelas X SMA/MA/SMK/MAK186(0, 0); π1,62; π2,42; π3,32; π,12, π23,32; π32,42; π51,62;(π, 0); π71,62; π51,-62; π43,-32; π3,-12; π53,-32; π72,-42; π111,-32; dan (2π, 0).Selanjutnya pada koordinat kartesius, kita menempatkan pasangan titik-titik untuk menemukan suatu kurva yang melalui semua pasangan titik-titik tersebut.Selengkapnya disajikan pada Gambar 4.48 berikut ini.21-1π/2π2π3π/2x-2yπ1,-32π2,42π3,32π,12Gambar 4.48 Grafik fungsi y = sin x, untuk 0 ≤ x ≤ 2πMatematika187Dari grafik di atas, kita dapat merangkum beberapa data dan informasi seperti brikut.a.Untuk semua ukuran sudut x, nilai maksimum fungsi y = sin x adalah 1,dan nilai minimumnya adalah -1.b.Kurva fungsi y = sin x, berupa gelombang.c.Untuk 1 periode (1 putaran penuh) kurva fungsi y = sin x, memiliki 1 gunung dan 1 lembah.d.Nilai fungsi sinus berulang saat berada pada lembah atau gunung yangsama.e.Untuk semua ukuran sudut x, daerah hasil fungsi y = sin x, adalah -1 ≤ y ≤ 1.Dengan konsep grafik fungsi y = sin x, dapat dibentuk kombinasi fungsi sinus.Misalnya y = 2.sin x, y = sin 2x, dan y = sin πx+2. Selengkapnya dikaji pada contoh berikut. Contoh 4.17Gambarkan grafik fungsi y = sin 2x dan y = sin πx+2, untuk 0 ≤ x ≤ 2π.Kemudian tuliskanlah perbedaan kedua grafik tersebut.Alternatif PenyelesaianDengan menggunakan nilai-nilai perbandingan trigonometri yang disajikan pada Tabel 4.3, maka pasangan titik-titik untuk fungsi y = sin 2x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah:Untuk x = 0, maka nilai fungsi adalah y = sin 2.(0) = sin 0 = 0. ⇒ (0, 0)Untuk x = π6, maka nilai fungsi adalah y = sin 2.π6 = sin π3= 32 ⇒,π362Untuk x = π4, maka nilai fungsi adalah y = sin 2.π4 = sin π2= ⇒ π,14.Kelas X SMA/MA/SMK/MAK188Demikian seterusnya hingga untuk x = 2π, maka niali fungsi adalah y = sin 2.(2π) = sin 4π = sin 0 = 0 ⇒(2π, 0)Selengkapnya pasangan titik-titik untuk fungsi y = sin 2x, 0 ≤ x ≤ 2π, yaitu(0, 0); π1,122; π2,82; π3,62; π,14; π3,32; π,02; π23,-32;π33,42; π53,-62; (π, 0); π73,62; ……; (2π, 0).Dengan pasangan titik-titik tersebut, maka grafik fungsi y = sin 2x, 0 ≤ x ≤ 2π disajikan pada Gambar 4.49.Gambar 4.49 Grafik fungsi y = sin 2x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π10,50,51yπ/2π2π3π/2xπ2,82π3,62π1,122Matematika189Berbeda dengan fungsi y = sin 2x, setiap besar sudut dikalikan dua, tetapi untuk fungsi y = sin πx+2, setiap besar sudut ditambah π2 atau 90o. Sekarang kita akan menggambarkan fungsi y = sin πx+2, untuk 0 ≤ x ≤ 2π.Coba kita perhatikan kembali Sifat 4.4, bahwa sin πx+2 = cos x. Artinya, sekarang kita akan menggambarkan fungsi y = cos x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π.Dengan menggunakan nilai-nilai cosinus yang diberikan pada Tabel 4.3 kita dapat merangkumkan pasangan titik-titik yang memenuhi fungsi y = cos x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π, sebagai berikut.(0, 1); π3,62; π2,42; π1,32; π,02; π21,-32; π32,-42; π53,-62; (π, -1)π73,-62; π52,-42; π41,-32; π3,02; π51,32; π72,42; π113,62; (2, 1).Dengan demikian, grafik fungsi y = cos x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π, disajikan pada Gambar 4.50 berikut.Gambar 4.50 Grafik fungsi y = cos x, untuk 0 ≤ x ≤ 2ππ/2π2π10,50,5-1yx3π/2(π, 0)π1,32π2,42π3,62(0, 1)Kelas X SMA/MA/SMK/MAK190Dari kajian grafik, grafik fungsi y = sin 2x sangat berbeda dengan grafik fungsiy = sin πx+2 = cos x, meskipun untuk domain yang sama. Grafik y = sin 2x, memiliki 2 gunung dan 2 lembah, sedangkan grafik fungsi y = sin πx+2= cos x, hanya memiliki 1 lembah dan dua bagian setengah gunung. Nilai maksimum dan minimum fungsi y = sin 2x sama y = sin πx+2 = cos x untuk domain yang sama. Selain itu, secara periodik, nilai fungsi y = sin 2xdan y = sin πx+2 = cos x, berulang, terkadang menaik dan terkadang menurun.PertanyaanDengan pengetahuan dan keterampilan kamu akan tiga grafik di atas dan konsep yang sudah kamu miliki pada kajian fungsi, sekarang gambarkan dan gabungkan grafik y = sin x dan y = cos x, untuk domain 0 ≤ x ≤ 2π. Rangkumkan hasil analisis yang kamu temukan atas grafik tersebut.b.Grafik fungsi y = tan x, untuk 0 ≤ x ≤ 2πKajian kita selanjutnya adalah untuk menggambarkan grafik fungsi y = tan x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π. Mari kita kaji grafik fungsi y = tan x, melalui masalah berikut.Masalah 4.13Untuk domain 0 ≤ x ≤ 2π, gambarkan grafik fungsi y = tan x.Alternatif PenyelesaianDengan nilai-nilai tangen yang telah kita temukan pada Tabel 4.3 dan dengan pengetahuan serta keterampilan yang telah kamu pelajari tentang menggambarkan grafik suatu fungsi, kita dengan mudah memahami pasangan titik-titik berikut.Matematika191(0, 0); π3,63; π,14; π,33; π∼,2; π2,-33; π3,-14; π53,63;(π, 0); π73,63; π5,14; π4,33; π3,~2; π5,-33; π7,-14; π113,-63; (2π, 0). Dengan demikian, grafik fungsi y = tan x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π, seperti pada Gambar 4.51 berikut ini.(0, 0)π/2π2π3π/2-5-4-3-2-11234y5xπ3,63π,33π,14Gambar 4.51 Grafik fungsi y = tan x, untuk 0 ≤ x ≤ 2πNext >