< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK22Kasus 1Untuk x ≥ 4, maka 0,05x – 0,02 ≤ 0,05 atau x ≤ 14 Irisan x ≥ 4 dan x ≤ 14 adalah 4 ≤ x ≤ 14 Kasus 2Untuk x < 4, maka -0,005x + 0,02 ≤ 0,05 atau x ≥ -6 Irisan x < 4 dan x ≥ -6 adalah -6 ≤ x < 14 Gabungan kasus 1 dan kasus 2 adalah -6 ≤ x < 14 Akan tetapi, karena x = 0 adalah posisi awal maka x ≥ 0 diiris dengan -6 ≤ x < 14 sehingga 0 ≤ x ≤ 14 Jadi, penyimpangan lintasan peluru akibat pengaruh kecepatan angin dan hentakan senjata sebesar 0,05 m terjadi hanya sejauh 14 m.Alternatif Penyelesaian 2(Menggunakan 2=yy)Dengan mengingat bahwa y bilangan real, 2=yy, maka|(0,480x + 0,33) – (0,475x + 0,35)| ≤ 0,05 ⇒|0,005x – 0,02| ≤ 0,05⇒ ()-≤20,0050,020,05x(Kedua ruas dikuadratkan)⇒(0,05x – 0,02)2 ≤ (0,05)2⇒(0,005x – 0,02)2 ≤ (0,05)2 atau (0,5x – 2)2 – 25 ≤ 0⇒0,25x2 – 2x – 21 ≤ 0⇒(0,5x + 3)(0,5x – 7) ≤ 0 (1.7)Bentuk pertidaksamaan (1.7), memiliki makna bahwa dua bilangan, yaitu(0,5x + 3) dan (0,5x – 7) jika dikalikan hasilnya sama dengan nol atau kurang dari nol (negatif). Artinya terdapat dua kemungkinan yang memenuhi kondisi (1.7), yaitu (0,5x + 3) dan (0,5x – 7) atau (0,5x + 3) ≤ 0 dan (0,5x – 7) ≥ 0.Matematika23■Kemungkinan 1 adalah (0,5x + 3) ≥ 0 dan (0,5x – 7) ≤ 0diperoleh x ≥ -6 dan x ≤ 14, sehingga dapat ditulis -6 ≤ x ≤ 14■Kemungkinan 2 adalah (0,5x + 3) ≤ 0 dan (0,5x – 7) ≥ 0diperoleh x ≤ -6 dan x ≥ 14 atau tidak ada nilai x yang memenuhi keduapertidaksamaan.Jadi, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan (1.7) adalah{x∈R: -6 ≤ x ≤ 14} ∪ ∅ = {x∈R: -6 ≤ x ≤ 14} Karena x = 0 adalah posisi diam tentara atau posisi awal peluru, maka lintasan peluru haruslah pada interval x ≥ 0. Dengan demikian, interval -6 ≤ x ≤ 14 akan diiriskan kembali dengan x ≥ 0 seperti berikut.-60{x | 0 ≤ x ≤ 14}14 Jadi, penyimpangan lintasan peluru akibat pengaruh kecepatan angin dan hentakan senjata sebesar 0,05 m terjadi hanya sejauh 14 m. Perhatikan grafik berikut.-6-4-221-1f(x) = 0,475x + 0,35 f(x) = 0,480x + 0,33 -2-3-4234y46xGambar 1.12 Lintasan peluruKelas X SMA/MA/SMK/MAK24 Dari Gambar 1.12, jelas akan terlihat bahwa grafik lintasan peluru yang diprediksi mengalami penyimpangan (garis putus-putus). Penyimpangan sejauh 0,05 m akan terjadi hingga x = 14 m.Masalah 1.5 Secara umum, untuk setiap x, a∈R, pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel dapat disajikan dalam bentuk berikut ini.|x| ≤ a untuk a ≥ 0 |x| ≥ a untuk a ≥ 0 Ingat pada teori sebelumnya bahwa nilai mutlak tidak pernah bernilai negatif. Jika demikian, menurut pendapatmu apa yang akan terjadi pada bentuk umum di atas jika a < 0? Berikutnya, mari kita temukan penyelesaian dari bentuk umum pertidaksamaan nilai mutlak linear |x| ≤ a dan |x| ≥ a untuk a ≥ 0, a∈R. Alternatif PenyelesaianKasus 1, |x| ≤ a untuk a ≥ 0, a∈R Dengan menggunakan Definisi 1.1, makauntuk x ≥ 0, maka |x| = x sehingga x ≤ a untuk x < 0, maka |x| = -x sehingga -x ≤ a atau x ≥ -aDengan demikian, penyelesaian dari |x| ≤ a untuk a ≥ 0, a∈R adalah x ≤ a dan x ≥ -a (atau sering dituliskan dengan -a ≤ x ≤ a).Jadi, menyelesaikan |x| ≤ a setara dengan menyelesaikan -a ≤ x ≤ a.Kasus 2, |x| ≥ a untuk a ≥ 0, a∈R Dengan menggunakan Definisi 1.1, makauntuk x ≥ 0, maka |x| = x sehingga x ≥ a untuk x < 0, maka |x| = -x sehingga -x ≥ a atau x ≤ -aMatematika25Dengan demikian, penyelesaian dari |x| ≥ a untuk a ≥ 0, a∈R, adalah x ≤ -a atau x ≥ a.Jadi, menyelesaikan |x| ≥ a setara dengan menyelesaikan x ≥ a atau x ≤ -a.Dari masalah-masalah dan penyelesaian di atas, maka dapat ditarik kesimpulan sifat pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel.Sifat 1.2Untuk setiap a, x bilangan real.1.Jika a ≥ 0 dan |x| ≤ a, maka -a ≤ x ≤ a.2.Jika a < 0 dan |x| ≤ a, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhipertidaksamaan.3.Jika |x| ≥ a, dan a > 0 maka x ≥ a atau x ≤ -a.Kasus 1 dan kasus 2 dapat juga diselesaikan dengan memanfaatkan hubungan 2=xx(lihat kembali latihan sebelumnya). Tentu saja, kamu diminta mengingat kembali konsep-konsep persamaan kuadrat. Untuk lebih jelasnya, langkah-langkah menyelesaikan kasus pertidaksamaan linear nilai mutlak dengan menggunakan hubungan 2=xxdapat dilihat pada Contoh 1.4 di bawah ini.Contoh 1.4Buktikan |a + b| ≤ |a| + |b|BuktiUntuk a, b bilangan real, |a| ≤ |b| ⇔ -|b| ≤ a ≤ |b| Untuk a, b bilangan real, |b| ≤ |a| ⇔ -|a| ≤ b ≤ |a| Dari kedua pernyataan di atas, maka diperoleh-(|a| + |b|) < a + b ≤ (|a| + |b|) ⇔ |a + b| ≤ |a| + |b| Kelas X SMA/MA/SMK/MAK26Latihan 1.4 Diskusikan dengan teman-temanmu. Jika a, b∈R dengan a > b > 0, maka tentukan penyelesaian umum untuk pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel dengan bentuk |ax + b| ≤ |bx + a| Contoh 1.5Selesaikanlah pertidaksamaan |2x +1| ≥ |x – 3|.Alternatif Penyelesaian 1Gunakan Definisi 1.1(Buatlah sebagai latihan)Alternatif Penyelesaian 2Gunakan |x| = 2xBentuk ini bukan linear, tetapi disajikan sebagai alternatif penyelesaian.Langkah 1Ingat bahwa 2=xx, sehingga|2x + 1| ≥ |x – 3| ⇔ ()()≥-222+13xx⇔ (2x + 1)2 ≥ (x – 3)2⇔ 4x2 + 4x + 1 ≥ x2 – 6x + 9⇔ 3x2 + 10x – 8 ≥ 0 (bentuk kuadrat)⇔ (3x – 2)(x + 4) ≥ 0Matematika27Langkah 2Menentukan pembuat nol2=3x atau x = -4 Langkah 3Letakkan pembuat nol dan tanda pada garis bilangan++–-423Langkah 4Menentukan interval penyelesaian Dalam hal ini, interval penyelesaian merupakan selang nilai x yang membuat pertidaksamaan bernilai non-negatif, sesuai dengan tanda pertidaksamaan pada soal di atas. Dengan demikian, arsiran pada interval di bawah ini adalah penyelesaian pertidaksamaan tersebut.-423Langkah 5: Menuliskan kembali interval penyelesaianHimpunan penyelesaian (Hp) = ≤≥2-4atau3xxx Perhatikan grafik berikut. Kita akan menggambarkan grafik y = |2x + 1| dan grafik y = |x – 3|, untuk setiap x∈R.Kelas X SMA/MA/SMK/MAK284y321-1-2204x-2-3Gambar 1.13 Grafik y = |2x + 1| dan y = |x – 3| y = |2x + 1|y = |x – 3| Pertidaksamaan |2x + 1| ≥ |x – 3| dapat dibaca menjadi nilai y = |2x + 1| lebih besar y = |x – 3| dan berdasarkan grafik dapat dilihat pada interval≤≥∈2|-4 atau ,3xxxxR.Matematika29Uji Kompetensi 1.2 Selesaikanlah soal-soal berikut dengan tepat.1.Manakah dari pernyataan di bawah yang benar? Berikan alasanmu.a)Untuk setiap x bilangan real, berlaku bahwa |x| ≥ 0.b)Tidak terdapat bilangan real x, sehingga |x| < -8.c)|n| ≥ |m|, untuk setiap n bilangan asli dan m bilangan bulat.2.Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak berikut.a)|3 – 2x| < 4b) ≥+592xc)|3x + 2| ≤ 5d)-≤2<232xe)|x + 5| ≤ |1 – 9x|3.Maria memiliki nilai ujian matematika: 79, 67, 83, dan 90. Jika dia harusujian sekali lagi dan berharap mempunyai nilai rata-rata 81, berapa nilaiyang harus dia raih sehingga nilai rata-rata yang diperoleh paling rendahmenyimpang 2 poin?4.Sketsa grafik y = |3x – 2| – 1, untuk -2 ≤ x ≤ 5, dan x bilangan real.5.Sketsa grafik y = |x – 2| – |2x – 1|, untuk x bilangan real.6.Hitung semua nilai x yang memenuhi kondisi berikut ini.a)Semua bilangan real yang jaraknya ke nol adalah 10.b)Semua bilangan real yang jaraknya dari 4 adalah kurang dari 6.Kelas X SMA/MA/SMK/MAK307.Level hemoglobin normal pada darah laki-laki dewasa adalah antara13 dan 16 gram per desiliter (g/dL).a)Nyatakan dalam suatu pertidaksamaan yang merepresentasikan levelhemoglobin normal untuk laki-laki dewasa.b)Tentukan level hemoglobin yang merepresentasikan level hemoglobin tidak normal untuk laki-laki dewasa.8.Berdasarkan definisi atau sifat, buktikan |a – b| ≤ |a + b|9.Gambarkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut inidengan memanfaatkan garis bilangan.a)4 < |x + 2| + |x – 1| < 5b)|x – 2| ≤ |x + 1|c)|x| + | x + 1| < 210.Diketahui fungsi f(x) = 5 – 2x, 2 ≤ x ≤ 6. Tentukan nilai M sehingga |f(x)| ≤ M. Hitunglah P untuk |f(x)| ≥ P.Matematika31Rangkuman Setelah membahas materi persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel yang melibatkan konsep nilai mutlak, maka dapat diambil berbagai kesimpulan sebagai acuan untuk mendalami materi yang sama pada jenjang yang lebih tinggi dan mempelajari bahasan berikutnya. Beberapa rangkuman disajikan sebagai berikut.1.Nilai mutlak dari sebuah bilangan real adalah positif. Hal ini sama denganakar dari sebuah bilangan selalu positif atau nol. Misalnya a∈R, maka{≥2,0-,<0==aaaaaa. Dengan demikian, grafik fungsi nilai mutlak selalu berada di atas sumbu x.2.Persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel dapat diperolehdari persamaan atau fungsi nilai mutlak yang diberikan. Misalnya, jikadiketahui |ax + b| = c, untuk a, b, c∈R, maka menurut definisi nilaimutlak diperoleh persamaan |ax + b| = c. Hal ini berlaku juga untukpertidaksamaan linear.3.Penyelesaian persamaan nilai mutlak |ax + b| = c ada, jika c ≥ 0.4.Penyelesaian pertidaksamaan |ax + b| ≤ c ada, jika c ≥ 0. Konsep persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel telah ditemukan dan diterapkan dalam penyelesaian masalah kehidupan dan masalah matematika. Penguasaanmu terhadap berbagai konsep dan sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan linear adalah syarat perlu untuk mempelajari bahasan sistem persamaan linear dua variabel dan tiga variabel serta sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel. Kita akan menemukan konsep dan berbagai sifat sistem persamaan linear dua dan tiga variabel melalui penyelesaian masalah nyata yang sangat bermanfaat bagi dunia kerja dan kehidupan kita. Persamaan dan pertidaksamaan linear memiliki himpunan Next >