< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK32penyelesaian, demikian juga sistem persamaan dan pertidaksamaan linear. Pada bahasan sistem persamaan linear dua dan tiga variabel, akan dipelajari dengan berbagai metode penyelesainnya untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan dan pertidaksamaan tersebut. Seluruh konsep dan aturan-aturan yang ditemukan akan diaplikasikan dalam penyelesaian masalah yang menuntut kamu berpikir kreatif, tangguh menghadapi masalah, mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka, baik terhadap teman maupun terhadap guru.Sistem Persamaan Linear Tiga VariabelSetelah mengikuti pembelajaran sistem persamaan linear tiga variabel, siswa mampu:1.menunjukkan sikap jujur, tertib danmengikuti aturan, konsisten, disiplinwaktu, ulet, cermat dan teliti, majuberkelanjutan, bertanggungjawabberpikir logis, kritis, kreatif, dan analitisserta memiliki rasa senang, motivasiinternal, ingin tahu dan ketertarikanpada ilmu pengetahuan dan teknologiserta sikap terbuka, percaya diri,kemampuan bekerjasama, toleransi,santun, objektif, dan menghargai,2.menyusun sistem persamaan linear tigavariabel dari masalah kontekstual,3.menyelesaikan masalah kontekstualyang berkaitan dengan sistem persamaanlinear tiga variabel.Melalui pembelajaran materi sistem persamaan linear tiga variabel, siswa memperoleh pengalaman belajar sebagai berikut.Menjelaskan karakteristik masalahotentik yang penyelesaiannya terkaitdengan model Matematika sebagaisistem persamaan linear tiga variabel(SPLTV).Merancang model matematika darisebuah permasalahan otentik yangmerupakan SPLTV.Menyelesaikan model matematika untukmemperoleh solusi permasalahan yangdiberikan.Menginterpretasikan hasil penyelesaianmasalah yang diberikan.Menemukan ciri-ciri SPLTV dari modelmatematika.Menuliskan konsep SPLTV berdasarkanciri-ciri yang ditemukan denganbahasanya sendiri.BAB2Kompetensi DasarPengalaman BelajarA.Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar•SPLTV•Eliminasi•Substitusi•Homogen•TrivialIstilah-IstilahSubstitusiEliminasiEliminasi & SubstitusiPersamaanMasalah OtentikPersamaan LinearSistem Persamaan LinearSistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)Himpunan Penyelesaian SPLTVMenentukan Himpunan Penyelesaian (HP)B.Diagram AlirC.Materi Pembelajaran2.1 Menyusun dan Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Persamaan dan sistem persamaan linear dua variabel sudah kamu pelajari saat duduk di SMP. Saat ini kita akan perdalam kajian, pemahaman, dan jangkauan pemikiran tentang konsep sistem persamaan linear dari apa yang kamu sudah pelajari sebelumnya. Pola pikir dan cara belajar yang dituntut dalam mempelajari materi ini adalah upayamu untuk menemukan ide-ide, berpikir kritis dan kreatif dalam mencari strategi penyelesaian masalah dan mengungkapkannya, serta berdiskusi dengan teman, mengajukan pertanyaan kepada guru dan teman kelompok. Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta dan lingkungan budaya kita terkait dengan sistem persamaan linear. Permasalahan-permasalahan tersebut akan menjadi bahan inspirasi menyusun model-model matematika yang ditemukan dari proses penyelesaiannya. Model matematika tersebut, akan dijadikan bahan abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linear dan konsep sistem persamaan linear tiga variabel.Masalah 2.1Cermatilah masalah berikut!Petani di Daerah Tapanuli (Sumatera Utara) Mata pencaharian rakyat di Daerah Tapanuli pada umumnya bekerja sebagai petani padi dan palawija, karyawan perkebunan sawit, karet, dan cokelat. Walaupun ada juga yang bekerja sebagai pedagang (khususnya yang tinggal di daerah wisata Danau Toba). Namun sekarang, ada permasalahan yang dihadapi para petani padi di Kecamatan Porsea Kabupaten Toba Samosir. Hal ini terkait pemakaian pupuk yang harganya cukup mahal. Contoh permasalahannya adalah sebagai berikut.Matematika35Kelas X SMA/MA/SMK/MAK36Sumber: https://upload.wikimedia.orgGambar 2.1 Persawahan padi Pak Panjaitan memiliki dua hektar sawah yang ditanami padi dan sudah saatnya diberi pupuk. Ada tiga (3) jenis pupuk yang harus disediakan, yaitu Urea, SS, TSP. Ketiga jenis pupuk inilah yang harus digunakan para petani agar hasil panen padi maksimal. Harga tiap-tiap karung pupuk berturut-turut adalah Rp75.000,00; Rp120.000,00; dan Rp150.000,00. Pak Panjaitan membutuhkan sebanyak 40 karung untuk sawah yang ditanami padi. Pemakaian pupuk Urea 2 kali banyaknya dari pupuk SS. Sementara dana yang disediakan Pak Panjaitan untuk membeli pupuk adalah Rp4.020.000,00. Berapa karung untuk setiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan? Menurut kamu, kira-kira apa tujuan masalah ini dipecahkan? Strategi apa yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut? Jika kamu mengalami kesulitan silakan berdiskusi dengan teman atau bertanya kepada guru. Sebagai arahan/petunjuk pengerjaan masalah, ikuti pertanyaan-pertanyaan berikut.1)Bagaimana kamu menggunakan variabel untuk menyatakan banyakpupuk yang digunakan untuk setiap jenisnya dan hubungan pemakaianantarjenis pupuk?2)Bagaimana kamu menggunakan variabel untuk menyatakan hubunganharga setiap jenis pupuk dengan dana yang tersedia?Matematika373)Apa yang kamu temukan dari hubungan-hubungan tersebut? Adakahkaitannya dengan pengetahuan yang kamu miliki dengan melakukanmanipulasi aljabar?4)Adakah kesulitan yang harus kamu diskusikan dengan teman ataubertanya kepada guru untuk menentukan hubungan antarvariabel,melakukan manipulasi aljabar, dan kepastian strategi yang kamu pilih?5)Adakah variabel yang harus kamu tentukan nilainya? Bagaimana caranya,apakah prinsip analogi (cara yang mirip) dapat digunakan ketika kamumenentukan nilai variabel pada sistem persamaan dua variabel?6)Berapa karung pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan untuk setiapjenisnya?Alternatif PenyelesaianDiketahui: - Tiga jenis pupuk yaitu Urea, SS, TSP. Harga per karung setiap jenis pupuk Rp75.000,00; Rp120.000,00; dan Rp150.000,00.-Banyak pupuk yang dibutuhkan 40 karung.-Pemakaian pupuk Urea 2 kali lebih banyak dari pupuk SS.-Dana yang tersedia Rp4.020.000,00.Ditanyakan: Banyaknya pupuk (karung) yang diperlukan untuk tiap-tiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan.Misalkan: x adalah banyak jenis pupuk Urea yang dibutuhkan (karung)y adalah banyak jenis pupuk SS yang dibutuhkan (karung) z adalah banyak jenis pupuk TSP yang dibutuhkan (karung)Berdasarkan informasi di atas diperoleh hubungan-hubungan sebagai berikut.x + y + z = 40 (2.1)x = 2y (2.2)75.000x + 120.000y + 150.000z = 4.020.000 (2.3)Kelas X SMA/MA/SMK/MAK38Langkah 1Substitusikan Persamaan (2.2) ke dalam Persamaan (2.1), ribuan (000) dieliminasi lebih dahulu sehingga diperoleh x = 2y dan x + y + z = 40 ⇒ 2y + y + z = 40⇒3y + z = 403y + z = 40 (2.4)Langkah 2Substitusikan Persamaan (2.2) ke dalam Persamaan (2.3), sehingga diperoleh x = 2y dan 75x + 120y + 150z = 4.020 ⇒ 2.75y + 120y + 150z = 4.020 ⇒270y + 150z = 4.02027y + 15z = 402 (2.5)Gunakan metode eliminasi terhadap Persamaan (2.4) dan Persamaan (2.5).3y + z = 40 × 15 45y + 15z = 60027y + 15z = 402 × 1 27y + 15z = 402 18y = 198 Jadi, 18y = 198 atau y = 11 dan diperoleh x = 2y = 2.11 = 22maka x + y + z = 4022 + 11 + z = 40z = 40 – 33Dengan mensubstitusi x = 22 dan y = 11 ke Persamaan (2.1) jadi, diperoleh z = 7.Jadi, nilai x = 22, y = 11, dan z = 7 atau banyak pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan dengan uang yang tersedia adalah 22 karung Urea, 11 karung SS, dan 7 karung pupuk TSP.Masalah 2.2 Nenek moyang kita memiliki keahlian seni ukir (seni pahat). Mereka dapat membuat berbagai jenis patung dan ornamen-ornamen yang memiliki Matematika39nilai estetika yang cukup tinggi. Pak Wayan memiliki keterampilan memahat patung yang diwarisi dari kakeknya. Ia selalu bekerja dengan dibantu dua anaknya, yaitu I Gede dan Putu yang sedang duduk di bangku sekolah SMK Jurusan Teknik Bangunan. Berbagai hasil ukirannya dapat dilihat dan dibeli di daerah wisata, terutama di daerah wisata Bali.Sumber: http://e-kuta.comGambar 2.2 Ukiran, patung, dan ornamen Suatu ketika Pak Wayan mendapat pesanan untuk membuat 3 ukiran patung dan 1 ornamen rumah dari seorang turis asal Belanda dengan batas waktu pembuatan diberikan selama 5 hari. Pak Wayan dan Putu dapat menyelesaikan ketiga jenis ukiran di atas dalam waktu 7 hari. Jika Pak Wayan bekerja bersama I Gede, mereka dapat menyelesaikan pesanan dalam waktu 6 hari. Karena Putu dan I Gede bekerja setelah pulang sekolah, mereka berdua membutuhkan waktu 8 hari untuk menyelesaikan pesanan ukiran tersebut. Dapatkah pesanan ukiran diselesaikan/terpenuhi, jika Pak Wayan dibantu kedua anaknya dengan batas waktu yang diberikan? Sebelum kamu menyelesaikan masalah, koordinasi pengetahuan dan keterampilan yang sudah kamu miliki untuk menemukan aturan-aturan, hubungan-hubungan dan struktur-struktur yang belum diketahui. Dalam menyelesaikan masalah di atas, langkah-langkah penyelesaiannya dapat dilihat dalam beberapa pertanyaan berikut.Kelas X SMA/MA/SMK/MAK401)Bagaimana kamu menentukan kecepatan Pak Wayan, Putu, dan I Gedebekerja menyelesaikan satu jenis pesanan ukiran tersebut?2)Dapatkah kamu menentukan hubungan tiap-tiap kecepatan untukmenyelesaikan pekerjaan dalam bentuk persamaan?3)Apa yang kamu temukan dari hubungan-hubungan tersebut? Adakahkaitannya dengan pengetahuan yang kamu miliki dengan melakukanmanipulasi aljabar?4)Adakah variabel yang harus kamu tentukan nilainya? Bagaimana caranya,apakah prinsip analogi (cara yang mirip) dapat digunakan ketika kamumenentukan nilai variabel pada sistem persamaan dua variabel?5)Bagaimana hubungan antara konsep jarak dan kecepatan dalammenentukan lama waktu yang digunakan untuk menyelesaikan suatupekerjaan?6)Adakah jawaban permasalahan yang kamu temukan?Alternatif PenyelesaianDiketahui: Pesanan pembuatan ukiran patung dan ornamen rumah dengan batas waktu 5 hari.Waktu yang dibutuhkan membuat patung dan ornamen adalah Pak Wayan dan Putu selama 7 hari Pak Wayan dan I Gede selama 6 hari Putu dan I Gede selama 8 hariMisalkan: Waktu yang dibutuhkan (satuan hari) Pak Wayan adalah xWaktu yang dibutuhkan (satuan hari) Putu adalah y Waktu yang dibutuhkan (satuan hari) I Gede adalah zBerarti waktu yang diperlukan Pak Wayan, Putu, dan I Gede untuk menyelesaikansatu set pesanan, masing-masing adalah 1x,1y, dan 1z.Matematika41•Pak Wayan dan Putu membutuhkan waktu 7 hari untuk menyelesaikan 1unit pesanan ukiran. Hal ini dapat dimaknai dengan71x+ 71y= 1 ⇒ 1x+1y= 17(2.1)•Pak Wayan dan I Gede membutuhkan waktu 6 hari untuk menyelesaikan1 unit pesanan ukiran. Hal ini dapat dimaknai dengan61x+ 61y= 1 ⇒ 1x+1z =16(2.2)•Putu dan I Gede membutuhkan waktu 8 hari untuk menyelesaikan 1 unitpesanan ukiran. Hal ini dapat dimaknai dengan81y+ 81z = 1 ⇒ 1y+ 1z =18(2.3)•Kemudian carilah tiga persamaan linear yang saling terkait dariPersamaan (2.1), (2.2), dan (2.3) di atas dengan memisalkan p = 1x, q = 1y, dan r = 1z.•Carilah nilai p, q, dan r dengan memilih salah satu metode yang telahdipelajari sebelumnya. Sebagai alternatif pilihan gunakan metodecampuran eliminasi dan substitusi.Dengan menerapkan metode eliminasi pada Persamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh7p + 7q = 1 × 6 42p + 42q = 66p + 6r = 1 × 7 42p + 42r = 7 42q – 42r = -1 42q – 42r = -1 (2.4)Dengan menerapkan metode eliminasi pada Persamaan (2.3) dan (2.4) diperoleh8q + 8r = 1 × 42 336q + 336r = 4242q – 42r = -1 × 8 336q – 336r = -8 672r = 50 672r = 50, sehingga diperoleh r = 50672Next >