< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK42r = 50672 disubtitusikan ke persamaan 8q + 8r = 1, sehingga 8q + ×508=16728q + 400672= 18q = 1 – 4006728q = −6724006726728q = 272672⇒q:8⇒×27227216726728diperoleh q = 34672q = 34672 disubtitusikan ke persamaan 7p + 7q = 1 diperoleh ×3423877=7+=1672672pp−2381:7672p== ×=4341626727672p = 62672.Sebelumnya telah dimisalkan bahwa p = 1x dan p = 62672 ⇒ x =67262 = 10,84.Matematika43q = 1y dan q = 34672 ⇒y = 67234 = 19,76.r = 1z dan r =50672⇒z = 67250 = 13,44. Karena x, y, dan z berturut-turut menyatakan waktu yang dibutuhkan Pak Wayan, Putu, dan Gede untuk menyelesaikan 1 set pesanan ukiran. Jika bekerja secara individual, maka Pak Wayan dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 10,84 hari, Putu dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 19,76 hari, dan I Gede dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 13,44 hari. Jadi, waktu yang diperlukan Pak Wayan dan kedua anaknya untuk menyelesaikan 1 set pesanan ukiran patung dan ornamen, jika mereka bekerja secara bersama-sama adalaht = 1623450 + + 672672672= 672146t = 4,6 Waktu yang diberikan turis adalah 5 hari. Berdasarkan perhitungan waktu untuk menyelesaikan keempat ukiran tersebut adalah 4,6 hari, maka pekerjaan (pesanan) tersebut dapat diterima dan dipenuhi.•Ingat kembali pengertian sistem persamaan linear dua variabel yang telahkamu pelajari sebelumnya dan cermati pula persamaan (2.1), (2.2), dan(2.3) pada langkah penyelesaian Masalah 2.1 dan Masalah 2.2. Temukansistem persamaan linear tiga variabel pada langkah penyelesaian Masalah2.1 dan Masalah 2.2.•Dari penyelesaian Masalah 2.1diperoleh sistem persamaan linear7p + 7q = 1 6p + 6r = 1 8q + 8r = 1 (2.5)Kelas X SMA/MA/SMK/MAK44•Dari penyelesaian Masalah 2.2 diperoleh sistem persamaan linearx + y + z = 1 x = 2y 75.000x + 120.000y = 150.000z = 4.020.000 (2.6)Dengan demikian, dapat didefinisikan sebagai berikut.Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan tiga variabel.Definisi 2.1NotasiPerhatikan persamaan lineara1x + b1y + c1z = d1 (2.1)a2x + b2y + c3z = d2 (2.2)a3x + b3y + c3z = d3 (2.3)Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalaha1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c3z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 (2.4)dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, x, y, dan z∈R, dan a1, b1, dan c1 tidak sekaligus ketiganya 0 dan a2, b2, dan c2 tidak sekaligus ketiganya 0, dan a3, b3, dan c3 tidak sekaligus ketiganya 0.x, y, dan z adalah variabela1, a2, a3 adalah koefisien variabel x.b1, b2, b3 adalah koefisien variabel y.c1, c2, c3 adalah koefisien variabel z.d1, d2, d1, d1 adalah konstanta persamaan.Matematika45 Untuk lebih memahami definisi di atas, pahami contoh dan bukan contoh berikut ini. Berikan alasan, apakah sistem persamaan yang diberikan termasuk contoh atau bukan contoh sistem persamaan linear dua variabel atau tiga variabel?Contoh 2.1Diketahui tiga persamaan 1x +1y+1z = 2, 2p + 3q – r = 6, dan p + 3q = 3.Alasan pertama, ketiga persamaan ini tidak membentuk sistem persamaan linear tiga variabel, sebab persamaan bukan persamaan linear. Jika persamaan1x +1y+1z = 2, maka diperoleh persamaan z(x + y) + xy = 2xyz yang tidaklinear. Alasan kedua adalah variabel-variabelnya tidak saling terkait.Contoh 2.2Diketahui dua persamaan x = -2; y = 5; dan 2x – 3y – z = 8. Ketiga persamaan linear tersebut membentuk sistem persamaan linear tiga variabel, karena ketiga persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentukx + 0y + 0z = -20x + y + 0z = 52x – 3y – z = 8dan variabel-variabelnya saling terkait. Selanjutnya perhatikan beberapa sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) berikut.1.Diberikan SPLTV 2x + 3y + 5z = 0 dan 4x + 6y + 10z = 0. Sistem persamaan linear ini memiliki lebih dari satu penyelesaian. Misalnya, (3, -2, 0),(-3, 2, 0), dan termasuk (0, 0, 0). Selain itu, kedua persamaan memilikisuku konstan nol dan grafik kedua persamaan adalah berimpit. ApabilaKelas X SMA/MA/SMK/MAK46penyelesaian suatu SPLTV tidak semuanya nol, maka SPLTV itu memiliki penyelesaian yang tidak trivial.2.Diektahui SPLTV 3x + 5y + z = 0, 2x + 7y + z = 0, dan x – 2y + z = 0.Sistem persamaan linear ini memiliki suku konstan nol dan mempunyaipenyelesaian tunggal, yaitu untuk x = y = z = 0. Apabila suatu SPLTVmemiliki himpunan penyelesaian (x, y, z) = (0, 0, 0), maka SPLTV tersebutmemiliki penyelesaian trivial (x = y = z = 0).Dua sistem persamaan linear tiga variabel tersebut di atas merupakansistem persamaan linear tiga variabel. Sebuah SPLTV dengan semua konstanta sama dengan nol disebut SPLTV homogen. Bila salah satu konstantanya tidak nol, maka SPLTVtersebut tidak homogen. SPLTV yang homogen memiliki dua kemungkinan, yaitu (1) hanya memiliki penyelesaian yang trivial atau (2)memiliki penyelesaian nontrivial selain penyelesaian trivial. Coba tuliskandefinisi SPLTV yang homogen dan coba berikan contoh SPLTV yang homogen, selain contoh tersebut di atas.Matematika47A.Jawab soal-soal berikut dengan tepat.1.Apakah persamaan-persamaan berikut ini membentuk sistem persamaanlinear tiga variabel? Berikan alasan atas jawabanmu.a.2x + 5y – 2z = 7 dan 2x – 4y + 3z = 3b.x – 2y + 3z = 0 dan y = 1 dan x + 5z = 82.Diketahui tiga buah persamaan113 + += 9xyz; 1317 + += 3xyz; dan 311 + += 7xyza.Apakah termasuk sistem persamaan linear tiga variabel? Berikan alasanmu.b.Dapatkah kamu membentuk sistem persamaan linear dari ketigapersamaan tersebut?3.Keliling suatu segitiga adalah 19 cm. Jika panjang sisi terpanjang adalahdua kali panjang sisi terpendek dan kurang 3 cm dari jumlah sisi lainnya.Tentukan panjang setiap sisi-sisi segitiga tersebut.4.Harga tiket suatu pertunjukkan adalah Rp60.000,00 untuk dewasa,Rp35.000,00 untuk pelajar, dan Rp25.000,00 untuk anak di bawah 12 tahun.Pada pertunjukkan seni dan budaya telah terjual 278 tiket dengan totalpenerimaan Rp130.000.000,00. Jika banyak tiket untuk dewasa yang telahterjual 10 tiket lebih sedikit dari dua kali banyak tiket pelajar yang terjual.Hitung banyak tiket yang terjual untuk masing-masing tiket.5.Seekor ikan mas memiliki ekor yang panjangnya sama dengan panjangkepalanya ditambah seperlima panjang tubuhnya. Panjang tubuhnyaempat perlima dari panjang keseluruhan ikan. Jika panjang kepala ikan masadalah 5 inci, berapa panjang keseluruhan ikan tersebut? (1 inci = 2,54 cm).Uji Kompetensi 2.1 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK486.Temukan bilangan-bilangan positif yang memenuhi persamaan x + y + z = 9dan x + 5y + 10z = 44.7.Diketahui sistem persamaan linear berikut.x + y + z = 4z = 2(t2 – 4)z = t – 2Berapakah nilai t agar sistem tersebut(a)tidak memiliki penyelesaian,(b)satu penyelesaian,(c)tak berhingga banyak penyelesaian?8.Untuk suatu alasan, tiga pelajar Anna, Bob, dan Chris mengukur beratbadan secara berpasangan. Berat badan Anna dan Bob 226 kg, Bob danChris 210 kg, serta Anna dan Chris 200kg. Hitung berat badan setiappelajar tersebut.9.Diketahui sistem persamaan sebagai berikut.7a – 6b – 2c = 96a + 7b – 9c = -2 Carilah nilai dari a2+ b2 – c2.10.Didefinisikan fungsi f(x) = ax2 + bx + c (dikenal sebagai parabola) melaluititik (-1, -2), (1, 0), dan (2, 7).a)Tentukan nilai a, b, dan c.b)Pilih tiga titik (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3) sedemikian sehinggamemenuhi persamaan fungsi f(x) = ax2 + bx + c. Mungkinkah adapersamaan parabola yang lain dan melalui (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3)? Berikan alasan untuk jawaban yang kamu berikan.Matematika49Cari sebuah SPLTV yang menyatakan model matematika dari masalah nyata yang kamu temui di lingkungan sekitarmu. Uraikan proses penemuan model matematika tersebut dan selesaikan sebagai pemecahan masalah tersebut. Buat laporan hasil kerjamu dan hasilnya dipresentasikan di depan kelas. ProyekB.Soal TantanganSeorang penjual beras mencampur tiga jenis beras. Campuran beras pertama terdiri atas 1 kg jenis A, 2 kg jenis B, dan 3 kg jenis C dijual dengan harga Rp 19.500,00. Campuran beras kedua terdiri dari 2 kg jenis A dan 3 kg jenis B dijual dengan harga Rp 19.000,00. Campuran beras ketiga terdiri atas 1 kg jenis B dan 1 kg jenis C dijual dengan harga Rp 6,250,00. Harga beras jenis manakah yang paling mahal?Sumber: http://www.cirebontrust.comKelas X SMA/MA/SMK/MAK502.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Perbedaan antara sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) terletak pada banyak persamaan dan variabel yang digunakan. Oleh karena itu, penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan dengan cara atau metode yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik. Umumnya penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel diselesaikan dengan metode eliminasi dan substitusi. Berikut akan disajikan contoh menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode campuran eliminasi dan substitusi.Contoh 2.3Jumlah tiga bilangan sama dengan 45. Bilangan pertama ditambah 4 sama dengan bilangan kedua, dan bilangan ketiga dikurangi 17 sama dengan bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut.Alternatif PenyelesaianMisalkan x = bilangan pertamay = bilangan keduaz = bilangan ketigaBerdasarkan informasi pada soal diperoleh persamaan sebagai berikut.x + y + z = 45 (2.1)x + 4 = y (2.2)z – 17 = x (2.3)Ditanyakan:Bilangan x, y, dan z.Kamu dapat melakukan proses eliminasi pada persamaan (2.1) dan (2.2), sehingga diperolehMatematika51x + y + z = 45 x – y = -4 2x + z = 41 Diperoleh persamaan baru, 2x + z = 41 (2.4)Lakukan proses eliminasi pada persamaan (2.3) dan (2.4), sehingga diperolehx – z = -17 2x + z = 41 3x = 24Diperoleh 3x = 24 atau x = 243 atau x = 8. Lakukan proses substitusi nilai x = 8 ke persamaan (2.2) diperoleh(8)+ 4 = y ⇒ y = 12Substitusikan x = 8 ke persamaan (2.3) diperolehz – 17 = (8) ⇒ z = 25Dengan demikian, bilangan x = 8, bilangan y = 6, dan bilangan z = 19. Selain metode eliminasi, substitusi, dan campuran antara eliminasi dan substitusi (kamu dapat mencoba sendiri), terdapat cara lain untuk menyelesaikan suatu SPLTV, yaitu dengan cara determinan dan menggunakan invers matriks. Namun, pada bab ini metode ini tidak dikaji. Sekarang kita akan menemukan penyelesaian SPLTV dengan metode lain. Kita menententukan himpunan penyelesaian SPLTV secara umum berdasarkan konsep dan bentuk umum SPLTV yang telah ditemukan dengan mengikuti langkah penyelesaian metode eliminasi di atas untuk menemukan cara baru. Perhatikan bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x ,y, dan z adalah sebagai berikut.Perhatikan persamaan linear berikut.a1x + b1y + c1z = d1 (2.1)a2x + b2y + c3z = d2 (2.2)a3x + b3y + c3z = d3 (2.3)Next >