< PreviousKelas X SMA/MA/SMK/MAK52Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalaha1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c3z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 (2.4)dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, x, y, dan z∈R, dan a1, b1, dan c1 tidak ketiganya 0 dan a2, b2, dan c2 tidak ketiganya 0 dan a3, b3, dan c3 tidak ketiganya 0.Langkah 1Eliminasi variabel x dari Persamaan (2.1) dan Persamaan (2.2) menjadia1x + b1y + c1z = d1 × a2 a1a2x + a2b1y + a2c1z = a2d1 a2x + b2y + c2z = d2 × a1 a1a2x + a1b2y + a1c2z = a1d2 (a2b1 – a1b2)y + (a2c1 – a1c2)z = a2d1 – a1d2(a2b1 – a1b2)y + (a2c1 – a1c2)z = a2d1 – a1d2 (2.5)Langkah 2Eliminasi variabel x dari Persamaan (2.1) dan Persamaan (2.3) menjadia1x + b1y + c1z = d1 × a3 a1a3x + a3b1y + a3c1z = a3d1 a3x + b3y + c3z = d3 × a1 a1a3x + a1b3y + a1c3z = a1d3 (a3b1 – a1b3)y + (a3c1 – a1c3)z = a3d1 – a1d3(a3b1 – a1b3)y + (a3c1 – a1c3)z = a3d1 – a1d3 (2.6)Langkah 3Eliminasi variabel y dari Persamaan (2.5) dan Persamaan (2.6)(a2b1 – a1b2)y + (a2c1 – a1c2)z = a2d1 – a1d2 × (a3b1 – a1b3) (a3b1 – a1b3)y + (a3c1 – a1c3)z = a3d1 – a1d3 × (a2b1 – a1b2) Dari hasil perkalian koefisien variabel y pada (2.5) terhadap (2.6) dan hasil perkalian koefisien variabel z pada (2.6) terhadap (2.5), maka diperoleh Matematika53z = ((a2d1 – a1d2)(a3b1 – a1b3) – (a3d1 – a1d3)(a2b1 – a1b2))((a2c1 – a1c2)(a3b1 – a1b3) – (a3c1 – a1c3)(a2b1 – a1b2))z = ((a1a1b3d2 – a1a2b3d1 – a1a3b1d2) – (a1a1b2d3 – a1a3b2d1 – a1a2b1d3))((a1a1b3c1 – a1a2b3c1 – a1a1b1c2) – (a1a1b2c3 – a1a3b2c1 – a1a2b1c3))z = ((a1b3d2 – a2b3d1 – a3b1d2) – (a1b2d1 – a2b1d3))((a1b3c1 – a2b3c1 – a2b1c2) – (a1b2c3 – a3b2c1 – a2b1c3))z = ((a1b2d1 + a1b3d2 + a2b1d3) – (a1b2d3 + a3b1d2 + a2b3d1))((a3b2c1 + a1b3c2 + a2b1c3) – (a1b2c3 + a3b2c2 + a2b3c1•Lakukan kegiatan matematisasi (mengkoordinasi pengetahuan danketerampilan yang telah dimiliki siswa sebelumnya untuk menemukanaturan-aturan, hubungan-hubungan, dan struktur-struktur yang belumdiketahui). Nilai variabel z di atas dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian koefisien-koefisien variabel x, y, dan konstanta pada sistem persamaan linear yang diketahui.z = 111112222233333111112222233333a b d a ba b d a ba b d a ba b c a ba b c a ba b c a bPetunjukJumlahkan hasil perkalian bilangan-bilangan pada garis penuh dan hasilnyadikurangi dengan jumlahkan hasil per-kalian bilangan-bilangan pada garis putus-putus.Lakukan pada pembilang dan penyebut.Kelas X SMA/MA/SMK/MAK54 Dengan menggunakan cara menentukan nilai z, ditentukan nilai x dan y dengan cara berikut.x = 111112222233333111112222233333d b c d bd b c d bd b c d ba b c a ba b c a ba b c a by = 111112222233333111112222233333d b c d bd b c d bd b c d ba b c a ba b c a ba b c a bPerhatikan ciri penyelesaian untuk x, y, dan z di atas. Coba temukan pola penentuan nilai x, y, dan z, sehingga akan memudahkan menentukan penyelesaian SPLTV. DiskusiPada langkah penyelesaian Masalah 2.1 halaman 35 diperoleh sebuah sistem persamaan linear tiga variabel sebagai berikut.x + y + z = 40 x = 2y 75 + 120y + 150z = 4.020 Dengan menerapkan cara yang ditemukan pada SPLTV di atas, tentunya kamu dengan mudah memahami bahwa a1 = 1 a2 = 1 a3 = 75b1 = 1 b2 = -2 b3 = 120c1 = 1 c2 = 0 c3 = 150d1 = 40 d2 = 0 d3 = 4.020Matematika55Oleh karena itu, nilai x, y, dan z ditentukan sebagai berikut.x = 40 1 1 40 10 -2 0 0 -24020 120 150 4020 1201 1 1 1 11 -2 0 1 -275 120 150 75 120 = (-8040 + 0 + 0) – (-12000 + 0 + 0)(-150 + 0 + 150) – (-300 + 0 + 120) = -8040 + 12.000300 – 120 = 3.960180 = 22y = 1 40 1 1 401 0 0 1 075 4020 150 75 40201 1 1 1 11 -2 0 1 -275 120 150 75 120 = (0 + 0 + 6.000) – (0 + 0 + 4.020)180 = 6.000 – 4.020180 = 1.980180 = 11z = 1 1 40 1 11 -2 0 1 -275 120 4020 75 1201 1 1 1 11 -2 0 1 -275 120 150 75 120 = (-6000 + 0 + 4020) – (-8040 + 4800)180 = -1,980 + 3.240180 = 1.260180 = 7Kelas X SMA/MA/SMK/MAK56 Berdasarkan hasil perhitungan di atas diperoleh himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah (22, 11, 7). Ternyata, hasilnya sama dengan himpunan penyelesaian yang diperoleh dengan metode campuran eliminasi dan substitusi sebelumnya. Selanjutnya, dari semua penjelasan di atas dapat dituliskan definisi himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut ini.Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variabel adalah suatu himpunan semua triple terurut (x, y, z) yang memenuhi setiap persamaan linear pada sistem persamaan tersebut.Definisi 2.2Matematika57A.Jawab soal-soal berikut dengan tepat.1.Tiga tukang cat, Joni, Deni dan Ari yang biasa bekerja secara bersama-sama. Mereka dapat mengecat eksterior (bagian luar) sebuah rumahdalam waktu 10 jam kerja. Pengalaman Deni dan Ari pernah bersama-sama mengecat rumah yang serupa dalam waktu 15 jam kerja. Suatu hari,ketiga tukang cat ini bekerja mengecat rumah serupa selama 4 jam kerja.Setelah itu, Ari pergi karena ada suatu keperluan mendadak. Joni danDeni memerlukan tambahan waktu 8 jam kerja lagi untuk menyelesaikanpengecatan rumah. Tentukan waktu yang dibutuhkan masing-masingtukang cat, jika masing-masing bekerja sendirian.2.Sebuah bilangan terdiri atas tiga angka yang jumlahnya 9. Angka satuannya tiga lebih daripada angka puluhan. Jika angka ratusan dan angka puluhan ditukarletaknya, maka diperoleh bilangan yang sama. Tentukan bilangan tersebut.3.Sebuah pabrik lensa memiliki 3 buah mesin, yaitu A, B, dan C. Jikaketiganya bekerja maka 5.700 lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu.Jika hanya mesin A dan B yang bekerja, maka 3.400 lensa dapat dihasilkandalam satu minggu. Jika hanya mesin A dan C yang bekerja, maka 4.200lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Berapa banyak lensa yangdihasilkan tiap-tiap mesin dalam satu minggu?4.Selesaikan sistem persamaan yang diketahui dan tentukan nilai yang dicari.a.x, y, dan z adalah penyelesaian dari sistem persamaan3x + 4y – 5z = 122x + 5y – z = 176x + 2y – 3z = 17Tentukan nilai x2 + y2 + z2Uji Kompetensi 2.2 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK58b.x, y, dan z adalah penyelesaian dari sistem persamaanx + 2y = -42x + z = 5y – 3z = -6Tentukan nilai x, y, z5.Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel sebagai berikut.a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3 Tentukan syarat yang harus dipenuhi sistem supaya memiliki penyelesaian tunggal, memiliki banyak penyelesaian, dan tidak memiliki penyelesaian. 6. 131159148162159148?134Setiap simbol pada gambar di atas mewakili sebuah bilangan. Jumlah bilangan pada setiap baris terdapat di kolom kanan dan jumlah bilangan setiap kolom terdapat di baris bawah. Tentukan bilangan pengganti tanda tanya.Matematika597.Trisna bersama ayahnya dan kakeknya sedang memanen tomat di ladangmereka. Pekerjaan memanen tomat itu dapat diselesaikan mereka dalamwaktu 4 jam. Jika Trisna bersama kakeknya bekerja bersama-sama, hanyadapat menyelesaikan pekerjaan itu dalam waktu 6 jam. Jika ayahnyadan kakeknya menyelesaikan pekerjaan tersebut, maka akan selesaidalam waktu 8 jam. Berapa waktu yang diperlukan Trisna, ayahnya, dankakeknya untuk menyelesaikan panenan tersebut, jika mereka bekerjamasing-masing?Sumber: http://img2.bisnis.com8.Diketahui dua bilangan, dimana bilangan kedua sama dengan enamkali bilangan pertama setelah dikurangi satu. Bilangan kedua juga samadengan bilangan pertama dikuadratkan dan ditambah tiga. Carilah keduabilangan tersebut.9.Seorang pengusaha memiliki modal sebesar Rp420.000.000,00 danmembaginya dalam tiga bentuk investasi, yaitu tabungan dengan sukubungan 5%, deposito berjangka dengan suku bunga 7%, dan suratobligasi dengan pembayaran 9%. Adapun total pendapatan tahunan dariketiga investasi sebesar Rp26.000.000,00 dan pendapatan dari investasitabungan kurang Rp2.000.000,00 dari total pendapatan dua investasilainnya. Tentukan besar modal untuk setiap investasi tersebut.Kelas X SMA/MA/SMK/MAK6010.Suatu tempat parkir dipenuhi tiga jenis kendaraan yaitu, sepeda motor,mobil, dan mobil van.Sumber: Dokumen KemdikbudLuas parkir mobil van adalah lima kali luas parkir sepeda motor, sedangkan tiga kali luas parkir untuk mobil sama dengan luas parkir untuk mobil van dan sepeda motor. Jika tempat parkir penuh dan banyak kendaraan yang terparkir sebanyak 180, hitung banyak setiap kendaraan yang parkir.Matematika61Rangkuman Beberapa hal penting yang perlu dirangkum terkait Konsep dan sifat-sifat sistem persamaan linear tiga variabel, yaitu sebagai berikut.1.Model matematika dari permasalahan sehari-hari sering menjadi sebuahmodel sistem persamaan linear. Konsep sistem persamaan linear tersebutdidasari oleh konsep persamaan dalam sistem bilangan real, sehinggasifat-sifat persamaan linear dalam sistem bilangan real banyak digunakansebagai pedoman dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear.2.Dua persamaan linear atau lebih dikatakan membentuk sistem persamaanlinear jika dan hanya jika variabel-variabelnya saling terkait dan variabelyang sama memiliki nilai yang sama sebagai penyelesaian setiap persamaanlinear pada sistem tersebut.3.Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah suatu himpunansemua pasangan terurut (x, y, z) yang memenuhi sistem tersebut.4.Apabila penyelesaian sebuah sistem persamaan linear semuanya nilaivariabelnya adalah nol, maka penyelesaian tersebut dikatakan penyelesaian trivial. Misalnya diketahui sistem persamaan linear 3x + 5y + z = 0;2x + 7y + z = 0; dan x – 2y + z = 0. Sistem persamaan linear tersebutmemiliki suku konstan nol dan mempunyai penyelesaian yang tunggal,yaitu untuk x = y = z = 0.5.Sistem persamaan linear disebut homogen apabila suku konstan setiappersamaannya adalah nol.a.Sistem tersebut hanya mempunyai penyelesaian trivial.b.Sistem tersebut mempunyai tak terhingga penyelesaian yang taktrivial sebagai tambahan penyelesaian trivial.Next >