< Previous83MatematikaAlternatif PenyelesaianKarena a2 + b2 – r2 = C dan –a = A; –b = B, maka r2 = A2 + B2 – C2 ⇔ rABC=±+−22Contoh 9.5Berdasarkan kegiatan 9.1 diperoleh persamaan x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, ubahlah persamaan tersebut ke dalam persamaan bentuk baku persamaan lingkaran!Alternatif Penyelesaianx2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0⇔ x2 + y2 + 2Ax + 2By = –C⇔ (x2 + 2Ax + A2)– A2 + (y2 + 2By + B2)– B2 = –C⇔ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 = –C⇔ (x + A)2 + (y + B)2 = ABC222+−()Berdasarkan penyelesaian Latihan 9.2 diperoleh bahwa persamaan (x + A)2 + (y + B)2 = ABC222+−()adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(–A, –B) dan berjari-jari rABC=+−22Sifat 9.3Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0dengan titik pusat P(–A, –B) dan berjari-jari rABC=+−22dengan A, B, C bilangan real dan A2 + B2 ≥ CPertanyaan Kritis1. Berdasarkan Fakta 9.1 diperoleh bahwa rABC=+−22. Bagaimana jika A2 + B2 = 0? Apa yang kamu peroleh?2. Mengapa C2 ≤ A2 + B284Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 9.6Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y3 + 10x – 8y + 25 = 0, lalu gambarkan lingkaran tersebut dalam bidang Kartesius!Alternatif Penyelesaian:x2 + y3 + 10x – 8y + 25 = 0A = –5; B = 4, dan C = 25Titik Pusat (–5, 4)Jari-jari lingkaranrABC=+−22r=−()+−=5425422Latihan 9.1Tentukanlah persamaan-persamaan di bawah ini yang merupakan persamaan lingkaran.a. x – y = 16b. x2 + 4y2 + 8x – 6 – 16y = 25c. x2 + y2 + 6x – 8y + 21 = 0d. x2 – y2 + 8x – 2y + 100 = 0Latihan 9.2Misalkan pada bidang koordinat Kartesius desa Sigaranggarang terletak pada titik (3, 3), desa sukameriah terletak pada titik (–1, 2), dan desa Kutatonggal terletak pada titik (2, –1) yang terkena dalam radius daerah yang penduduknya harus mengungsi. Tentukanlah letak gunung Sinabung (titik pusat) dan radiusnya!Gambar 9.5 : Lingkaran x2 + y3 + 10x – 8y + 25 = 085MatematikarABC=+−22r=−()+−=5425422Gambar 9.6 Lingkaran dilalui titik (3, 3), (-1, 2), (2, -1)Uji Kompetensi 9.11. Tulislah persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dan melalui titik berikut. a. (1, 2) c. (0, 1) b. (3, 2) d. (4, 0)2. Tulislah persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari sebagai berikut. a. 1 c. 3 b. 2 d. 43. Tulislah dan gambarkan pada bidang koordinat Kartesius persamaan lingkaran yang a. Pusat di titik P(1, 2) dan panjang jari-jari 1 b. Pusat di titik P( –1, 2) dan panjang jari-jari 2 c. Pusat di titik P(1, –2) dan panjang jari-jari 3 d. Pusat di titik P(–1, –2) dan panjang jari-jari 486Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK4. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut. a. x2 + y2 = 5 e. x2 + y2 – 4x –2y – 31 = 0 b. x2 + y2 – 4 = 5 f. 4x2 + 4y2 + 8x – 4y – 10 = 0 c. (x – 1)2 + (y + 2)2 = 30 g. (x – p)2 + (y – q)2 = 25 d. x2 + (y – 4)2 = 15 h. 2x2 + 2y2 – 8x + 6y = 205. Tulis dan gambarkanlah persamaan lingkaran yang melalui titik-titik berikut. a. Titik A(–4 , 7), B(–1, 7), dan C(0, 5) b. Titik A(–2, 7), B(2, 7), dan C(0, 4) c. Titik A(0, 6), B(0, 3), dan C(–4, 3) d. Titik A(–2, 1), B(1, 1), dan C(–1, –1)6. Tentukan pusat lingkaran x2 + y2 + 4x – 6y – 13 = 0.7. Tentukan pusat lingkaran 3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0.8. Nyatakanlah persamaan lingkaran-lingkaran berikut ini ke dalam bentuk umum a. Pusat (1, 2), dan jari-jari 1 b. Pusat (–3, –4), dan jari-jari 2 c. Pusat 1212,−, dan jari-jari 3 d. Pusat 11213,, dan jari-jari 129. Carilah pusat dan jari-jari lingkaran berikut ini. a. x2 + (y – 2)2 = 1 b. (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 c. x2 + y2 + 2x – 4y = –3 d. x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0 e. x2 + y2 – 4y + 1 = 0 f. x2 + y2 – 4y + 3 = 010. Titik A(–2, a) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 + 4x – 8y – 5 = 0? 87Matematika3. Kedudukan Titik terhadap LingkaranMasalah-9.4Masih ingatkah kamu masalah gunung Sinabung. Jika disajikan letak beberapa desa di koordinat kartesius dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(0, 0) dan berjari jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik desa Sigaranggarang di titik (0, 5), desa Sukatepu di titik (5, 4), dan desa Bekerah di titik (2, –1) terhadap lingkaran yang dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 5 satuan. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?Alternatif Penyelesaian: Berdasarkan permasalahan di atas maka persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25Untuk desa Sigaranggarang dengan titik (0, 5)Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak. Untuk desa Sukatepu dengan titik (5, 4)Substitusikan titik (5, 4) pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.Untuk desa Bekerah dengan titik (2, –1) Substitusikan titik (2, –1) pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.Alternatif penyelesaian lainnya adalah dengan menggambar titik-titik letak desa di koordinat kartesius.Gambar 9.7 Lingkaran dengan Pusat (0, 0) dan r = 588Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDefinisi 9.21. Suatu titik A(v, w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 < r2.2. Suatu titik A(v, w) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 = r2.3. Suatu titik A(v, w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 > r2.Masalah-9.5Misalkan Gambar 9.8 berikut menyajikan letak beberapa desa dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(3, 2) dan berjari-jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik desa Sigaranggarang, desa Sukatepu, dan desa bekerah berdasarkan gambar di samping. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi? Gambar 9.8 : Lingkaran dengan Pusat P(3, 2) dan r = 5Alternatif Penyelesaian:Berdasarkan permasalahan di atas maka persamaan lingkarannya adalah (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25Untuk desa Sukameriah dengan titik (0, –2)Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan lingkaran (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.89MatematikaUntuk desa Simacem dengan titik (6, 3)Substitusikan titik (6, 3) pada persamaan lingkaran (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.Untuk desa Ndeskati dengan titik (9, 7)Substitusikan titik (9, 7) pada persamaan lingkaran (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.Definisi 9.31. Suatu titik A(v, w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v – a)2 + (w– b)2 < r2.2. Suatu titik A(v, w) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v – a)2 + (w– b)2 = r2.3. Suatu titik A(v, w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v – a)2 + (w– b)2 > r2.Contoh 9.7Apakah titik-titik berikut terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran x2 + y2 – 8x + 6y + 20 = 0 ?a. Q(–1, –1) c. S(0, 5)b. R(2, –3) d. T(–4, 0)Alternatif Penyelesaian:Persamaan lingkaran x2 + y2 – 8x + 6y + 20 = 0 diubah menjadi bentuk baku persamaan kuadrat menjadi (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5a. Q(–1, –1) disubstitusikan ke persamaan (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5 diperoleh (–1 – 4)2 + (–1 + 3)2 = (–5)2 + 22 = 29 > 5 Titik Q(–1, –1) berada di luar lingkaran (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5Gambar 9.9 : Titik-titik yang terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran x2 + y2 – 8x + 6y + 20 = 0 90Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKb. R(2, –3) disubstitusikan ke persamaan (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5 diperoleh (2 – 4)2 + (–3 + 3)2 = (–2)2 + 0 = 4 < 5 Titik R(2, –3) berada di dalam lingkaran (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5c. S(4, –3) disubstitusikan ke persamaan (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5 diperoleh (4 – 4)2 + (–3 + 3)2 = 0 + 0 = 0 < 5 Titik S(4, –3) berada di dalam lingkaran (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5d. T(2, –4) disubstitusikan ke persamaan (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5 diperoleh (2 – 4)2 + (–4 + 3)2 = (–2)2 + (–1)2 = 4 + 1 = 5 = 5 Titik T(2, –4) berada pada lingkaran (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5Pertanyaan KritisMengapa (pada contoh 9.7) untuk menentukan suatu titik terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran, persamaan lingkaran harus kita ubah ke bentuk baku persamaan lingkaran?4. Kedudukan Garis terhadap LingkaranMasalah-9.6Perhatikan gambar berikut iniGambar 9.10 : Kedudukan Garis Terhadap LingkaranGambar 9.10 merupakan kedudukan garis terhadap lingkaran. Berdasarkan gambar di atas, buatlah pendapatmu mengenai gambar tersebut!Alternatif Penyelesaian:Gambar 9.10 (i) merepresentasikan tentang sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran di dua titik yang berlainan.91MatematikaGambar 9.10 (ii) merepresentasikan tentang sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran pada suatu titik atau dengan kata lain menyinggung lingkaran.Gambar 9.10 (iii) merepresentasikan tentang sebuah garis yang tidak memotong sebuah lingkaran.Contoh 9.8Diberikan sebuah garis 2x + y = 2 dan lingkaran x2 + y2 = 9, selesaikanlah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya.Alternatif Penyelesaian :2x + y = 2 ................................................................................................................(1)x2 + y2 = 9 ................................................................................................................(2)digambarkan pada bidang Kartesius akan diperoleh seperti gambar 9.11. Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh: x2 + y2 = 5 ⇔ x2 + (2 – 2x)2 = 5⇔ x2 + 4 – 8x + 4x2 = 5⇔ 5x2 – 8x – 1 = 0Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah 5x2 – 8x – 1 = 0, dengan nilai diskriminan D = b2 – 4ac = (–8)2 – 4(5)(–1) = 64 + 20 = 84Contoh 9.9Diberikan sebuah garis 2x + y = 5 dan lingkaran x2 + y2 = 5, selesaikanlah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya. Gambar 9.11: garis 2x + y = 2 dan lingkaran x2 + y2 = 992Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif Penyelesaian:2x + y = 5 ...............................................................................................................(1)x2 + y2 = 5 ...............................................................................................................(2)Digambarkan pada bidang kartesius akan diperoleh seperti gambar 9.12. Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh: x2 + y2 = 5 ⇔ x2 + (–2x + 5)2 = 5⇔ x2 + 4x2 – 20x + 25 – 5 = 0⇔ 5x2 + 20x2 + 20 = 0⇔ x2 + 4x + 4 = 0Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah x2 + 4x + 4 = 0 dengan nilai diskriminan D = b2 – 4ac = (4)2 – 4(1) (4) = 16 – 16 = 0Contoh 9.10Diberikan sebuah garis –x + y = 3 dan lingkaran x2 + y2 = 5 , selesaikan-lah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya. Alternatif Penyelesaian:–x + y = 3 .......................................(1)x2 + y2 = 5.......................................(2)Digambarkan pada bidang kartesius akan diperoleh seperti gambar 9.13. Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh: x2 + y2 = 5⇔ x2 + (3 + x)2 = 5⇔ x2 + 9 + 6x + x2 = 5Gambar 9.12 : garis 2x + y = 5 dan lingkaran x2 + y2 = 5Gambar 9.13 garis –x + y = 3 dan lingkaran x2 + y2 = 5Next >