< Previous73Matematika11. Dua puluh lima titik disusun membentuk pola bilangan persegi (5 5), seperi gambar Jika dibentuk segitiga dengan menghubungkan tiga titik maka tentukan banyak segitiga yang dapat dibentuk.12. Didalam kelas terdapat 10 siswa (6 pria dan 4 wanita) sebagai calon pengurus OSIS, yaitu ketua, sekretaris dan bendahara. Tentukan peluang terpilih kepengurusan dengan:a. Kepengurusan tidak mempunyai persyaratan atau mereka semua berhak menduduki salah satu posisi.b. Ketua dan sekretaris harus priac. Ketua, sekretaris harus pria dan bendahara harus seorang wanitad. Ketua harus seorang pria.13. Tunjukkan bahwa 0123...2nnnnnnnCCCCC+++++= dengan n bilangan bulat positif.14. Jika nkP adalah permutasi k unsur dari n unsur dan nkCadalah kombinasi k unsur dari n unsur maka 5322nnC++= maka tentukan nilai 35nnP−− 15. Jika nkP adalah permutasi k unsur dari n unsur dan nkC adalah kombinasi k unsur dari n unsur maka tentukan harga n yang memenuhi 12332nnnnnnnnPPPC+−−−−−−= 74Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKD. PENUTUPBerdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep aturan pencacahan, beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut.1. Aturan pencacahan merupakan metode untuk menentukan banyak cara/susunan/pilihan pada saat memilih k unsur dari n unsur yang tersedia. Aturan pencacahan ini meliputi perkalian berurut (faktorial), permutasi, dan kombinasi.2. Faktorial dinyatakan dengan n! = n × (n – 1) × (n – 2) × (n – 3) × ... × 3 × 2 × 1.3. Permutasi adalah susunan k unsur dari n unsur tersedia dalam satu urutan. Terdapat tiga jenis unsur permutasi yakni 1. Permutasi dengan unsur-unsur yang berbeda, 2. Permutasi dengan unsur-unsur yang sama, dan 3. Permutasi siklis. Secara umum banyak permutasi dinyatakan dengan:()!,dengan .!nknPnknk=≥−4. Kombinasi adalah susunan k unsur dari n unsur tersedia dengan tanpa memperhatikan urutannya, dinyatakan dengan ()!,dengan .!!nknCnknkk=≥−5. Untuk kejadian majemuk, banyak anggota ruang sampel n(S) suatu kejadian merupakan banyak cara/susunan suatu kejadian majemuk tersebut. Sedangkan banyak anggota kejadian n(E) merupakan kombinasi atau permutasi suatu kejadian pada kejadian majemuk.6. Peluang suatu kejadian majemuk (E) dirumuskan: ()()()nEPEnS= .Dengan memiliki sikap, pengetahuan, dan keterampilan akan aturan pecacahan dapat kamu aplikasikan mengatasi masalah dunia nyata. Untuk selanjutnya, konsep dasar aturan pencacahan ini akan membantu kamu memahami konsep peluang majemuk dan matematika diskrit. Selanjutnya kita akan membahas materi lingkaran, tentunya pengalaman belajar yang kita peroleh pada Bab VIII ini harus membantu cara berpikir kita memecahkan masalah.Kompetensi DasarPengalaman BelajarKompetensi DasarPengalaman BelajarA. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJARSetelah mengikuti pembelajaran lingkaran siswa mampu:1. Mendeskripsikan konsep persamaan lingkaran dan menganalisis sifat garis singgung lingkaran dengan menggu-nakan metode koordinat.2. Mendeskripsikan konsep dan Kurva lingkaran dengan titik pusat tertentu dan menurunkan persamaan umum lingkaran dengan metode koordinat.3. Mengolah informasi dari suatu masalah nyata, mengidentifikasi sebuah titik sebagai pusat lingkaran yang melalui suatu titik tertentu, membuat model Matematika berupa persamaan lingkaran dan menyelesaikan masalah tersebut.4. Merancang dan mengajukan masalah nyata terkait garis singgung lingkaran serta menyelesaikannya dengan melakukan manipulasi aljabar dan menerapkan berbagai konsep lingkaran.Melalui proses pembelajaran lingkaran, siswa memiliki pengalaman belajar sebagai berikut.• menemukan konsep persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) melalui pemecahan masalah otentik;• menemukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran;• Menemukan persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui;• berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur dalam menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dengan menggunakan diskriminan;• berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif) dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep lingkaran dalam memecahkan masalah otentik.LINGKARAN• Persamaan lingkaran• Persamaan garis singgung lingkaran• Kedudukan garis pada lingkaran• Kedudukan titik pada lingkaran• DiskriminanBab976Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKB. PETA KONSEPMasalahOtentikLingkaranMelalui sebuah titik di luar lingkaranPusat di (a, b) jari-jari rGradien mGradien mMelalui (x, y) pada lingkaranMelalui (x, y) pada lingkaranPusat di (0, 0) jari-jari rPusat di (0, 0) jari-jari rPusat di (a, b) jari-jari rBentuk UmumPersamaan LingkaranTempat Kedudukan Titik pada LingkaranPersamaan Garis Singgung Lingkaran77Matematika1. Menemukan Konsep Persamaan LingkaranLingkaran adalah sebuah bangun datar yang sering digunakan sebagai alat bantu dalam menjelaskan ilmu pengetahuan lain maupun dalam berbagai penyelesaian masalah kehidupan sehari-hari.Pada bab ini akan dibahas tentang lingkaran dan beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan konsep tentang lingkaran itu sendiri.Masalah-9.1Gunung Sinabung di Kabupaten Karo, Sumatera Utara kembali meletus sekitar pukul 12.00 WIB hari Selasa tanggal 17 September 2013. Material yang dikeluarkan lebih banyak dibanding letusan pertama dua hari lalu. Akibat letusan ini banyak warga yang mengungsi. Pemerintah setempat pun memberikan peringatan agar masyarakat yang berada pada radius 3 km dari puncak gunung Sinabung harus segera mengungsi dan daerah tersebut harus bebas dari aktivitas dan dikosongkan untuk sementara. Bantulah pemerintah kabupaten Karo untuk menentukan daerah mana saja masyarakatnya harus mengungsi. (Petunjuk: Gunakan Peta Kabupaten Karo)Alternatif Penyelesaian Gunung Sinabung Gambar 9.1: Peta Kabupaten KaroC. MATERI PEMBELAJARAN78Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPertama kali yang dilakukan adalah membuat radius (jari-jari) sepanjang 3 km dari titik pusatnya yaitu puncak Gunung Sinabung. Setelah itu tariklah secara melingkar dan terbentuklah sebuah lingkaran. Berdasarkan daerah lingkaran yang dibuat tersebut ternyata terdapat beberapa desa yang penduduknya harus mengungsi karena berada pada daerah radius 3 km yaitu Desa Simacem, Bekerah, Sigaranggarang, dan Kutatonggal di Kecamatan Naman Teran, serta Desa Sukameriah di Kecamatan Payung.Definisi 9.1Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentuMasalah-9.2Misalkan Gambar 9.1 pada Masalah 9.1 dipindahkan ke bidang koordinat cartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(0, 0) dan jari-jarinya r = 3. Misalkan salah satu desa yaitu Sigaranggarang berada pada titik S(x, y) pada lingkaran tersebut, tentukanlah persamaan lingkaran tersebut!Alternatif penyelesaianjarak titik S(x, y) ke titik P(0, 0) dapat ditentukan dengan rumus:PSxy=−()+−()0022Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, makarxyxyr=−()+−()⇔−()+−()=00002222Kuadratkan kedua ruas sehingga diperolehGambar 9.2: Lingkaran pusat P(0, 0) dan jari-jari r = 379Matematika(x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 ⇔ x2 + y2 = r2Diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9 Sifat 9.1Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x2 + y2 = r2Atau dengan kata lainJika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(0, 0) maka L {(x, y) | x2 + y2 = r2}Contoh 9.1Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari sebagai berikut:a. 3 b. 4 c. 5 d. 6Alternatif Penyelesaiana. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 3 adalah x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9b. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 4 adalah x2 + y2 = 42 ⇔ x2 + y2 = 16c. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 5 adalah x2 + y2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25d. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 6 adalah x2 + y2 = 62 ⇔ x2 + y2 = 36Masalah-9.3Misalkan gambar pada masalah 1 dipindahkan ke bidang koordinat Kartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(a, b) dan jari-jarinya r = 3 Misalkan salah satu desa yaitu Sukameriah berada pada titik S(x, y), tentukanlah persamaan lingkaran tersebut!80Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Jarak titik S(x, y) ke titik P(a, b) adalah PSxayb=−()+−()22Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, makarxaybxaybr=−()+−()⇔−()+−()=2222Dikuadratkan kedua ruas maka diperoleh (x – a)2 + (y – b)2 = r2Berdasarkan informasi diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh(x – a)2 + (y – b)2 = 32 ⇔ (x – a)2 + (y – b)2 = 9Sifat 9.2Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2Atau dengan kata lainJika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(a, b) maka L {(x, y) | (x – a)2 + (y – b)2 = r2}Contoh 9.2Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 2) dan berjari-jari r = 2.Gambar 9.3: Lingkaran pusat P(a, b) dilalui titik S(x, y)81MatematikaAlternatif Penyelesaian:(x – a)2 + (y – b)2 = r2 a = 2; b = 2; c = 2⇔ (x – 2)2 + (y – 2)2 = 22⇔ (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 2) dan berjari-jari r = 2 adalah (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4Contoh 9.3Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut!a. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 4b. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9c. (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16d. (x + 2)2 + y 2 = 16Alternatif Penyelesaian:a. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 4 ⇔ (x – 2)2 + (y + 2)2 = 22 a = 2; b = –2; r = 2 lingkaran tersebut berpusat di titik (2, – 2) dan berjari-jari 2b. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9 ⇔ (x + 2)2 + (y + 2)2 = 32 a = –2; b = –2; r = 3 Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, –2) dan berjari-jari 3Gambar 9.4 : Lingkaran pusat (2, 2) dan r = 282Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKc. (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16 ⇔ (x + 2)2 + (y – 2)2 = 42 a = –2; b = 2; r = 4 Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 2) dan berjari-jari 4d. (x + 2)2 + y2 = 16 ⇔ (x + 2)2 + y2 = 16 a = –2; b = 0; r = 4 Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 0) dan berjari-jari 42. Bentuk Umum Persamaan LingkaranPada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang konsep persamaan lingkaran yaitu : a. Lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r persamaannya adalah x2 + y2 = r2b. Lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r persamaannya adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2Jika diperhatikan kedua bentuk persamaan lingkaran tersebut, maka dapat langsung diketahui titik pusat lingkaran dan panjang jari-jarinya. Persamaan tersebut dinamakan bentuk baku persamaan lingkaran. Kegiatan 9.1Jabarkanlah persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2.Alternatif PenyelesaianUntuk menyelesaikan persoalan di atas, maka kamu harus mengingat kembali tentang operasi bentuk aljabar yang telah kamu pelajari sebelumnya.Contoh 9.4Berdasarkan kegiatan 9.1 diperoleh persamaan a2 + b2 – r2 = C dengan –a = A; –b = B, tentukanlah nilai r.Next >