< Previous93Matematika⇔ 2x2 + 6x + 4 = 0⇔ x2 + 3x + 2 = 0Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah x2 + 3x + 2 dengan nilai diksriminan Latihan 9.3Diketahui sebuah garis x + y = 2 dan sebuah lingkaran x2 + y2 = 9 seperti yang disajikan pada gambar 9.14, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya.Latihan 9.4Diketahui sebuah garis y = 3 dan sebuah lingkaran x2 + y2 = 9 seperti yang disajikan pada gambar 9.15, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya.Gambar 9.15 garis y = 3 dan sebuah lingkaran x2 + y2 = 9Gambar 9.14 garis x + y = 2 dan sebuah lingkaran x2 + y2 = 994Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKLatihan 9.5Diketahui sebuah garis –x + y = 5 dan sbuah lingkaran x2 + y2 = 9 seperti yang disajikan pada gambar 9.16, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya. Gambar 9.16 garis –x + y = 5 dan sbuah lingkaran x2 + y2 = 9Latihan 9.6Berdasarkan penyelesaian Latihan 9.1, 9.2, dan 9.3 syarat apa yang harus dipenuhi agar garis memotong lingkaran di dua titik yang berlainan, garis menyinggung lingkaran, dan garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran?Sifat 9.4Misalkan g garis dengan persamaan y = ax + b dan L lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = r2Kedudukan garis g terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan D = (1 + a2)r2 – b2, yaitu:(1) D > 0 ⇔ garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan(2) D = 0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran (3) D < 0 ⇔ garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran95Matematika5. Persamaan Garis Singgung Lingkarana. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P(0, 0) dan berjari-jari r Masalah-9.7Beberapa anak berkumpul dan sedang bermain. Di tangan mereka terdapat beberapa tutup botol plastik yang dijadikan permainan ibarat kelereng. Tutup botol dibuat berdiri, lalu bagian atasnya ditekan dengan telunjuk agar tutup botol itu meluncur ke depan. Setelah itu mereka lalu berlari mengejar tutup botol yang melaju kencang itu. Gambar 9.17 Tutup Botol terletak di lantaiDari gambar 9.17 di atas jelas terlihat bahwa lantai yang dilalui tutup botol selalu menyinggung di titik A(x1, y1). Garis di lantai yang dilalui tutup botol dapat disebut garis singgung dan titik yang bersinggungan antara tutup botol dan lantai disebut titik singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang melalui titik singgung A(x1, y1) tegak lurus dengan lantai. Misalkan titik P adalah titik pusat lingkaran di (0, 0). Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g tersebut!Alternatif Penyelesaian: Misalnya titik A(x1, y1) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r yaitu, x2 + y2 = r2. Asumsikan x1 ≠ 0 dan y1 ≠ 0 Gradien garis PA adalah mop = yx11, garis singgung g tegak lurus dengan garis PA. Gradien garis g adalah mmyxxygOP=−=−=−111111. Akibatnya, persamaan garis singgung g adalah y – y1 = mg (x – x1)96Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK⇔yyxyxx−=−−()1111⇔ (y – y1)y1 = –x1 (x – x1)⇔ yy1 – y12 = –xx12⇔ xx1 – yy12 = x12 + y12Karena A(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2, maka diperoleh x12 y12 r. Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dan berjari-jari r yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r adalah x1x + y1y = r2 Sifat 9.5Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah x1x + y1y = r2 Contoh 9.11Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2, 0) dengan pusat P(0,0) dan berjari-jari 3!Alternatif Penyelesaian:Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 adalah x2 + y2 = 9 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 9 yang melalui titik (2, 0) adalah x1x + y1y = r2⇔ xx1 + yy1 = 9⇔ x(2) + y(0)= 9⇔ 2x – 9 = 0Gambar 9.18 : Lingkaran Pusat (0, 0) dan jari-jari r97MatematikaJadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 adalah 2x – 9 = 0b. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P (a, b) dan berjari-jari rMasalah-9.8Gambar 9.19 : Yoyo menyinggung dindingSeorang anak tampak asyik bermain yoyo bersama teman-temannya yang lain. Mainan Yoyo tersebut dimainkan sambil sesekali berjalan dan bergesekan dengan lantai, kadang-kadang juga dengan lihainya anak-anak tersebut melemparkannya sambil sesekali berjalan dan bersinggungan dengan tembok. Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa dinding yang disinggung yoyo selalu menyinggung di titik A(x1, y1). Garis di dinding yang dilalui yoyo dapat disebut garis singgung dan titik yang bersinggungan antara yoyo dan dinding disebut titik singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang melalui titik singgung A(x1, y1) tegak lurus dengan dinding. Misalkan titik P adalah titik pusat lingkaran di (a, b). Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g tersebut! Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x1, y1) terletak pada lingkaran(x – a)2 + (y – b)2 = r2. Perhatikan gambar 9.20. Gradien garis PA adalah mybxaPA=−−11 .98Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGaris singgung g tegak lurus garis PA, sehingga gradien garis singgung g adalah mmxaybgPA=−=−−−111Persamaan garis singgung g adalah y – y1 mg (x – x1) ⇔ yyxaybxx−=−−−−()1111⇔ (y – y1)(y1 – b) = – (x1 – a)(x – x1)⇔ yy1 – yb – y12 + y1b = –(x1x – x12 – ax + ax1)⇔ yy1 – yb – y12 + yb = –x1x + x12 + ax – ax1⇔ xx1 – xa + x1a + yy1 – yb + y1b = x12 – y12Karena A(x1, y1) terletak pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka diperoleh (x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2⇔ x12 – 2x1a + a2 + y12 – 2y1b + b2 = r2⇔ x12 + y12 = r2 + 2x1 – a2 + a2 + 2y1b – b2Substitusikan x12 + y12 = r2 + 2x1 – a2 + a2 + 2y1b – b2 ke persamaan garis singgung di atas, diperoleh xx1 – xa + x1a + yy1 – yb + y1b = r2 + 2x1a – a2 + 21yb – b2⇔ (xx1 – xa + x1a + a2) + (yy1 – yb + y1b + b2) = r2⇔ (x – a)(x1 – a)+ (y – b)(y1 – b) = r2Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah(x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2Gambar 9.20 : Lingkaran dilalui titik A(x1, y1)99MatematikaSifat 9.6Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah (x – a)(x1 – q) + (y1 – b) = r2Contoh 9.12Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2, 4) dengan persamaan lingkarannya adalah (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5.Alternatif Penyelesaian:Persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 yang melalui titik (2, 4) adalah (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2⇔ (x – 1)(x1 – 1) + (y – 2)(y1 – 2) = 5⇔ (x – 1)(2 – 1) + (y – 2)(4 –2) = 5⇔ (x – 1)1 + (y – 2)2 = 5⇔ x – 1 + 2y – 4 = 5⇔ x + 2y = 0Jadi persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 adalah x + 2y = 0Latihan 9.71. Misalkan titik A(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 + ax + by + c = 0. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + ax + by + c = 0 yang melalui titik A(x1, y1)!2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 10x – 12y + 25 = 0 di titik a. (5, 12) b. (1, 6) c. (–5, 0)100Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKc. Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui Suatu Titik di Luar LingkaranMasalah-9.9Permainan tutup botol juga dapat dimainkan dengan versi yang berbeda. Beberapa membuat tutup botol dalam keadaan tertidur (seperti pada gambar), lalu bagian belakangnya disentil dengan jari telunjuk ataupun jari tengah agar tutup botol itu meluncur ke depan. Gambar 9.21 Dua buah tutup botolSetelah itu mereka lalu berlari mengejar tutup botol yang melaju kencang itu. Mereka tertawa ketika tutup botol salah satu pemain berhasil meluncur dan mengenai tutup botol lainnya. Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa salah satu tutup botol akan menyinggung tutup botol yang lain di dua titik. Misalkan A(x1, y1) adalah titik yang berada pada tutup botol I dan sasarannya adalah tepi tutup botol II. Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g1 dan g2 tersebut! Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x1, y1) terletak di luar lingkaran. Terdapat dua garis singgung lingkaran yang melalui titik A(x1, y1) dan digambarkan sebagai berikut.Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut:1. Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) adalah m sehingga diperoleh persamaan.Gambar 9.22 : Dua Buah garis yang menyinggung Lingkaran101Matematika y – y1 = m(x – x1) ⇔ y – y1 = mx – mx1 ⇔ y = mx – mx1 + y12. Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx – mx1 + y1 ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel x, kemudian tentukan nilai diskriminannya, dari persamaan kuadrat tersebut.3. Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan menyinggung lingkaran akibatnya nilai diskriminan nol, Setelah itu carilah nilai m. Selanjutnya nilai m tersebut substitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1 sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung tersebut.Contoh 9.13Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 yang melalui titik (7, 1).Alternatif Penyelesaian:Titik (7, 1) berada di luar lingkaran x2 + y2 = 25 sebab jika titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh 72 + 12 = 50 > 25Persamaan lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 adalahx2 + y2 = 25Garis yang melalui titik (7, 1) dengan gradient m, memiliki persamaan y = mx – mx1 + y1⇒ y = mx –7m + 1Substitusikan nilai y = mx –7m + 1 ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 diperoleh x2 + (mx – 7m + 1)2 = 25⇔ x2 + m2x2 – 49m2 + 1 – 14m2x + 2m – 14m = 25⇔ (1 + m2)x2 + (2m – 14m2)x + (–49m2 – 14m – 24) = 0102Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSelanjutnya ditentukan nilai diskriminan D = b2 – 4acD = (2m – 14 m2)2 – 4(1 + m2)(49m2 – 14m – 24) = 4m2 – 56m3 + 196m4 – 4(49m2 – 14m – 24 + 49m4 – 14m3 – 24m2) = 4m2 – 56mm3 + 1196m4 – 196m2 + 56m + 96 – 196m4 + 56m3 + 96m2 = 4m2 + 96m2 – 196m2 + 56m + 96 = –96m2 + 56m + 96Syarat D = 0 –96m2 + 56m + 96 = 0⇔ 96m2 – 56m – 96 = 0⇔ 12m2 – 7m – 12 = 0⇔ (4m + 3)(3m – 4) = 0⇔ m=−34 atau m=43Sehingga diperoleh persamaan garis singgung3x – 4y – 25 = 0 atau 4x – 3y – 25 = 0Latihan 9.8Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (0, 2).Uji Kompetensi 9.21. Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x2 + y2 = 25.2. Berapakah nilai r jika r positif dan x + y = r menyinggung lingkaran x2 + y2 = r?3. Tentukanlah gradien garis singgung jika kedua garis lurus yang ditarik dari titik (0, 0) dan menyinggung sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0!4. Tentukanlah persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 0 dan membagi lingkaran x2 + y2 + 4x + 3 = 0 menjadi dua bagian yang sama!5. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 melalui titik (6, –6)!Next >