< Previous103Matematika6. Jika lingkaran x2 + y2 – 2ax + 6y + 49 = 0 menyinggung sumbu x, tentukanlah nilai a!7. Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 4) dan menyinggung sumbu x kemudian tentukan persamaan lingkaran hasil pencerminan lingkaran terhadap gaaris y = – x ! 8. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 bergradien 1!9. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (–3, –4)!10. Tentukanlah nilai q jika diberikan garis x + y = q, menyinggung lingkaran x2 + y2 = 8 di titik A pada kuadran pertama!11. Tentukanlah nilai k, jika titik (–5, k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 12 = 0!12. Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x2 + y2 = 25!13. Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui pusat lingkaran x2 + y2 – 2x – 4y + 2 = 0 tegak lurus garis 2x – y + 3 = 0!104Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKD. PENUTUPBeberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi Lingkaran, disajikan sebagai berikut:1. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap titik tertentu.2. Persamaan lingkaran adalah sebagai berikuta. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x2 + y2 + r2b. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2c. Bentuk Umum persamaan lingkaran yang memiliki jari-jari r dengan rABC=+−22dan A, B, C bilangan real adalah x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 03. Kedudukan suatu titik terhadap lingkaran ada tiga yaitu di dalam lingkaran, pada lingkaran, dan di luar lingkaran.4. Misalkan g garis dengan persamaan y = ax + b dan L lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + r2 sehingga membentuk sistem persamaan linear-kuadrat. Persamaan garis singgung lingkaran dapat ditentukan dengan menentukan persamaan garis y = mx – mx1 + y1 yang bergradien m dengan syarat diskriminan pada selesaian sistem persamaan linear-kuadrat sama dengan nol kemudian mensubstitusikan nilai m ke persamaan y = mx – mx1 + y1Kompetensi DasarPengalaman BelajarKompetensi DasarPengalaman BelajarA. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJARSetelah mengikuti pembelajaran transformasi siswa mampu:1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan stra-tegi menyelesaikan masalah.2. Menganalisis sifat-sifat transformasi geometri (translasi, refleksi garis, dilatasi dan rotasi) dengan pendekatan koordinat dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah.3. Menyajikan objek kontekstual, menganalisis informasi terkait sifat-sifat objek dan menerapkan aturan transformasi geometri (refleksi, translasi, dilatasi, dan rotasi) dalam memecahkan masalah.Melalui proses pembelajaran transformasi, siswa memiliki pengalaman belajar sebagai berikut.• Terlatih berpikir kritis dan berpikir kreatif.• Menemukan ilmu pengetahuan dari pemecahan masalah nyata• Mengajak untuk melakukan penelitian dasar dalam membangun konsep.• Dilatih bekerjasama dalam tim untuk menemukan solusi permasalahan.• Dilatih mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka• Merasakan manfaat matematika dalam kehidupan sehari-hari.TRANSFORMASI• Translasi• Refleksi• Rotasi• DilatasiBab10106Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKB. PETA KONSEPBangun DatarSistem KoordinatHasil TransformasiSifat-SifatTRANSFORMASITranslasi(Pergeseran)Refleksi(Pencerminan)Rotasi(Perputaran)Dilatasi(Perkalian)MASALAHOTENTIKMATERIPRASYARAT107MatematikaKamu masih ingat pelajaran transformasi di kelas VII, bukan? Nah, kita akan melanjutkan pelajaran transformasi tersebut ke bentuk analitik atau dengan pendekatan koordinat. Sebagai langkah awal, kita akan mengingat kembali sifat-sifat transformasi dengan menggunakan media atau obyek nyata dalam kehidupan sehari-hari dan objek (titik, bidang dan kurva) dalam bidang koordinat kartesius. Menemukan kembali konsep transformasi translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian) dengan pendekatan koordinat. 1. Memahami dan Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran)Untuk mengingat kembali sifat-sifat translasi, kita akan mencoba mengamati dan mempelajari serta mengambil kesimpulan terhadap pergeseran beberapa benda. 1.1 Menemukan Sifat-Sifat TranslasiMasalah-10.1Coba kamu perhatikan dan amati bentuk dan ukuran setiap benda yang bergerak (bergeser) atau berpindah tempat yang ada di sekitarmu. Sebagai contoh, kendaraan yang bergerak di jalan raya, orang yang sedang berjalan ataupun berlari, bola yang memantul ataupun menggelinding, dan lain-lain. Menurutmu, apakah bentuk objek tersebut berubah? atau apakah ukuran objek tersebut berubah oleh karena perpindahan tersebut? Tentu tidak, bukan? Jika demikian, pada sistem koordinat Kartesius, apakah kurva berubah bentuk dan ukuran bila digeser? Perhatikan pergeseran objek (titik, bidang dan kurva) pada sistem koordinat kartesius berikut.Gambar 10.1 Pergeseran titik, bidang dan kurva pada bidang koordinat KartesiusC. MATERI PEMBELAJARAN108Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSecara analitik, titik, bidang dan kurva (garis) pada gambar di atas tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran oleh pergeseran, bukan? Tetapi letak mereka pasti berubah; artinya, koordinat benda setelah mengalami pergeseran akan berubah dari koordinat semula. Dengan demikan, kita akan mempelajari lebih lanjut tentang koordinat pergeseran suatu titik pada sistem koordinat. Berikut adalah sifat-sifat pergeseran atau translasi.Sifat 10.1Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.Sifat 10.2Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi.1.2 Menganalisis Konsep TranslasiMasalah-10.2Empat orang anak dan seorang guru olahraga sedang berlatih mengover bola voli di lapangan olahraga. Mereka membuat formasi sebagai berikut: Keempat anak berdiri di empat penjuru (utara, selatan, timur, dan barat) sedangkan guru mereka berdiri sebagai pusat penjuru. Tiap-tiap anak berjarak 4 meter ke guru olah raga mereka. Aturan latihan sebagai berikut:1. Guru mengirim bola ke anak yang di utara dan anak tersebut akan mengirimnya kembali ke gurunya, kemudian2. Guru langsung mengirim bola ke anak yang di timur dan anak tersebut akan mengirim kembali ke gurunya, 3. Demikian seterusnya, bola selalu dikirim ke gurunya, dan guru mengirim bola secara siklis dari utara ke timur, ke selatan, ke barat dan kembali ke utara. Permasalahan:1. Dapatkah kamu gambarkan formasi cara berdiri keempat anak dan guru mereka sesuai permasalahan di atas?2. Seandainya mereka dianggap sebagai titik, dapatkah kamu kembali menggambarkan formasi mereka dalam sistem koordinat Kartesius? Anggap guru olah raga tersebut adalah titik pusat O(0, 0). 109Matematika3. Seandainya posisi guru dianggap sebagai titik P(1, 3), dapatkah kamu menggambar kembali formasi mereka di koordinat Kartesius?4. Jika guru olah raga mengintruksikan kepada siswa untuk bebas mengover bola ke teman-temannya maka dapatkah kamu temukan pola pergeseran bola voli tersebut? Coba kamu amati, teliti dengan baik hubungan koordinat Kartesius pada setiap titik. Dapatkah kamu temukan konsep pergeseran?Alternatif Penyelesaian. 1. Gambar formasi cara berdiri keempat anak dan guru mereka pada latihan mengirim bola boli sesuai permasalahan di atas adalah sebagai berikut:Gambar 10.2: Formasi guru dan siswa dalam latihan bola voli2. Formasi mereka dalam sistem koordinat Kartesius. Anggap guru olah raga tersebut adalah titik pusat O(0, 0).Gambar 10.3 Formasi 4 orang siswa dan 1 orang guru pada koordinat kartesius110Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK3. Coba kamu gambarkan formasi mereka dalam bidang koordinat kartesius dengan posisi guru olah raga tersebut adalah titik pusat P(1, 3).Langkah 1. Letakkanlah titik P(1, 3) di koordinat kartesius.Langkah 2. Buatlah garis berarah di empat penjuru (utara, timur, selatan, dan barat) dengan titik P adalah titik pusatnya.Langkah 3. Bergeraklah 4 satuan ke masing-masing penjuru dan letakkanlah sebuah titik serta berilah nama titik A, B, C atau D.Langkah 4. Tentukanlah koordinat titik A, B, C dan D tersebut.4. Perhatikan tabel berikut.Tabel 10.1 Posisi keempat siswa dalam bidang koordinat Kartesius dan hubungannya. Dari/keSiswa 1 A(0, 4)Siswa 2 B(4, 0)Siswa 3 C(0, -4)Siswa 4 D(-4, 0)Siswa 1 A(0,4)040400=+400444=+−040408−=+−. . .Siswa 2 B(4,0). . .404000=+. . .. . .Siswa 3 C(0,-4). . .400444=−+−040400−=−+. . .Siswa 4 D(-4,0). . .. . .. . .−=−+404000 Coba kamu isi sel yang masih kosong pada tabel di atas. Secara umum dapat kita lihat bahwa: jika titik A(x, y) ditranslasi oleh T(a, b), koordinat hasil translasinya adalah A'(x + a, y + b). Perhatikan definisi berikut. Definisi 10.1Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real, Translasi titik A(x, y) dengan T(a, b) menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A'(x + a, y + b), secara notasi ditulis:AxyAxaybTab→++'Mari kita pelajari beberapa soal berikut yang diselesaikan dengan definisi di atas.111MatematikaContoh 10.1Sebuah titik A(10, -8) ditranlasikan berturut-turut dengan T1(–1, 2) dilanjutkan T2(1,–12) kemudian dilanjutkan lagi dengan T3(–5, –6) dan tentukan koordinat titik banyangan A tersebut setelah ditranslasikan.Alternatif Penyelesaian-1Permasalahan di atas dapat kita notasikan dengan:AAxyATT1081212112−→→−−'''''xxyAxyT""'''''''''→−−356Dengan demikian, proses translasi dapat dilakukan secara bertahap (3 tahap)Tahap 1. AAxyT108112−→−'''xy''=−+−=−+−=−121081102896Jadi, koordinat bayangan pada tahap 1 adalah A'(9,–6). Tahap 2.AxyAxyT'''''""→−2112xy''''=−+−=+−−=−11296191261018Jadi, koordinat bayangan pada tahap 2 adalah A''(10, –18). Tahap 3. AxyAxyT''""'''''''''→−−356112Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK xy''''''=−−+−=−+−−=−5610185106185244Jadi, koordinat bayangan pada tahap 3 adalah A'''(5, –24). Dengan demikian, bayangan titik A(10, −8) setelah ditranlasikan berturut-turut dengan T1(–1, 2), T2(1, –12), dilanjutkan dengan T3(–5, –6) adalah A'''(5, –24).Alternatif Penyelesaian-2Permasalahan translasi di atas, dapat juga kita proses secara langsung atau tidak bertahap sebagai berikut:AAxyATT1081212112−→→−−'''''xxyAxyT""'''''''''→−−356xy''''''=−−+−+−+−=5611212108−+−+−−+−=−5111061228524 Dengan demikian, bayangan titik A(10, −8) setelah ditranlasikan berturut-turut dengan T1(–1, 2), T2(1, –12) dilanjutkan dengan T2(–5, –6) adalah A'''(5, –24).Alternatif Penyelesaian-3Permasalahan di atas, dapat kita selesaikan secara geometri atau dengan menggambar pada bidang koordinat Kartesius.Gambar 10.4 Pergeseran bertahap sebuah titikNext >