< Previous113MatematikaContoh 10.2Sebuah garis g dengan persamaan y = mx, ditranslasikan dengan T(x1, y1) sehingga terbentuk garis g’. Jika garis g’ melalui titik A(x2, y2) maka tentukanlah nilai m. Alternatif Penyelesaian AxyAxyTxy→11'''xyxyxyxxyy''=+=++1111Diperoleh x' = x1 + x atau x = x' – x1 serta y = y' − y1 atau y' = y1 − y sehingga dengan mensubstitusi ke persamaan garis g diperoleh garis g’ dengan persamaan:y = mx ⇒ y' – y1 = m(x – x1)Karena garis g’ melalui titik A(x2, y2) maka y2 – y1 = m(x2 – x1) sehinggamyyxx=−−21212. Memahami dan Menemukan Konsep Refleksi (Pencerminan)2.1 Menemukan Sifat-Sifat Refleksi Pada saat kamu berdiri di depan cermin (cermin datar), kemudian kamu berjalan mendekati cermin dan mundur menjauhi cermin, bagaimana dengan gerakan bayanganmu? Tentu saja bayanganmu mengikuti gerakanmu bukan? Bagaimana dengan jarak dirimu dan bayanganmu dengan cermin? Jarak dirimu dengan cermin sama dengan jarak bayanganmu dengan cermin. Mari kita lihat dan amati bentuk, ukuran dan posisi suatu objek bila dicerminkan pada sistem koordinat. Perhatikan gambar berikut.114Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 10.5 Pencerminan titik, bidang dan kurva pada sistem koordinat Kartesius.3Pada sistem koordinat kartesius di atas, objek (titik, bidang, kurva lingkaran) mempunyai bayangan dengan bentuk dan ukuran yang sama tetapi letak berubah bila dicerminkan (dengan garis). Perhatikan sifat- sifat pencerminan berikut.Sifat 10.3Bangun (objek) yang dicerminkan (refleksi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.Sifat 10.4Jarak bangun (objek) dari cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.Kerja kelompok. Perhatikan gambar berikut. Jika garis 1 dan garis 2 adalah cermin maka berdasarkan sifat pencerminan, gambarkanlah bayangan kurva 1 dan kurva 2!115Matematika Garis 1 Garis 2 kurva Gambar 10.6 Pencerminan kurva oleh cermin garis 1 dan garis 22.2 Menganalisis Konsep RefleksiBerdasarkan sifat pencerminan (pada cermin datar), jarak objek dengan cermin sama dengan jarak bayangan objek tersebut ke cermin. Secara analitik, konsep dapat kita temukan dengan melakukan beberapa percobaan. Objek yang digunakan adalah titik pada koordinat kartesius dan garis sebagai cermin. Dengan demikian, kamu diminta mengamati perubahan koordinat titik menjadi bayangan titik oleh cermin. Tentu garis sebagai cermin yang kita kaji adalah garis lurus. Ingatlah kembali (atau pelajari kembali) buku Matematika di kelas VII pada pokok bahasan Transformasi.Menemukan konsep pencerminan terhadap titik asal O(0,0)Coba amati gambar berikut!yxGambar 10.7 Pencerminan terhadap titik asal koordinat116Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSetiap pasangan titik dan banyangan pada gambar mendefinisikan garis melalui titik asal O(0,0). Jarak setiap titik ke titik asal sama dengan jarak banyangan titik tersebut ke titik asal. Sebagai contoh, titik A berpasangan dengan titik B dan jarak A ke O sama dengan jarak B ke O. Dengan demikian, titik O adalah sebuah cermin. Tabel 10.2 Koordinat titik objek dan bayangannya oleh pencerminan terhadap titik OKoordinat objekKoordinat bayanganA (3, 3)B (-3, -3)C (-3, 3)D (3, -3)E (-3, 3)F (-1, -4)G (-2, 5)H (2, -5)I (-6, 1)J (6, -1)Berdasarkan pengamatanmu terhadap koordinat objek dengan koordinat bayangan dari setiap titik pada tabel di atas, dapatkah kamu ambil pola hubungan setiap pasangan titik tersebut? Jika koordinat objek adalah titik A(a, b) maka koordinat bayangan adalah A’(-a, -b). Ingat konsep matriks! Koordinat A(a, b) dapat dituliskan dengan abab=1001Perhatikan definisi berikut.Definisi 10.2Pencerminan terhadap titik asal (0,0)Jika titik P(a, b) dicerminkan terhadap/ke titik asal (0, 0) maka bayangannya adalah P’(-a, -b). Dituliskan, AabAabCO→−−(,)'00dengan −=−−abab1001117MatematikaDengan demikian pencerminan terhadap titik O ditunjukkan dengan matriksCO(,)001001=−−.Menemukan konsep pencerminan terhadap sumbu x (atau y = 0)Perhatikan pencerminan beberapa titik berikut terhadap sumbu x!yxGambar 10.8 Pencerminan titik terhadap sumbu xMari kita sajikan setiap pasangan titik pada tabel berikut.Tabel 10.3 Koordinat titik dan bayangannya oleh pencerminan terhadap sumbu xObjekA(1, 1)C(3, 2)E(6, 4)G(-2,3)I(-5, 2)K(-7, 1)BayanganB(1, -1)D(3, -2)F(6, -4)H(-2,-3)J(-5, -2)L(-7, -1)Secara umum, pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu x (garis dengan persamaan y = 0) akan menghasilkan koordinat bayangan A'(a', b'). Perhatikan gambar berikut.118Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 10.9 Pencerminan terhadap sumbu xJika kamu amati gambar di atas, dengan menentukan koordinat bayangan dari setiap objek yang dicerminkan terhadap sumbu x maka nilai absis tetap tetapi nilai ordinat berubah yaitu: jika koordinat objek adalah A(a, b) maka koordinat bayangan adalah A’(a, ˗b). Ingat konsep matriks bahwa koordinat A(a, -b) dapat dituliskan dengan . abab−=−1001Perubahan koordinat bayangan tersebut dapat diformulasikan pada konsep sebagai berikut: Pencerminan terhadap sumbu x (garis y = 0)Jika titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu x (garis y = 0) maka bayangannya adalah A’(a,-b). Dituliskan, AabAabCsumbux→− ' dengan abab−=−1001 Dengan demikian pencerminan terhadap sumbu x ditunjukkan dengan matriks .Csumbux =−1001119MatematikaMenemukan konsep pencerminan terhadap garis y = hMisalkan titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu x atau garis dengan persamaan y = h akan menghasilkan koordinat bayangan A'(a', b'). Perhatikan gambar berikut!Gambar 10.10 Pencerminan terhadap garis y = hKerja KelompokPerhatikan gambar di atas! Berikan komentar anda, mengapa koordinat bayangan A'(a, 2h – b) jika objek A(a, b) dicerminkan ter-hadap garis y = k. Untuk menjawabnya, kamu harus menggunakan sifat pencerminan, yaitu AC sama dengan A’C.Menemukan konsep pencerminan terhadap sumbu y (atau x = 0)Perhatikan pencerminan titik terhadap sumbu y atau garis x = 0 berikut.Gambar 10.11 Pencerminan titik terhadap sumbu y120Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPerhatikan tabel berikutTabel 10.4 Koordinat titik dan bayangannya oleh pencerminan terhadap sumbu yObjekA(-1, 1)C(-3, -2)E(-2, 3)G(-4, 4)I(-5, -3)K(-8, -4)BayanganB(1, 1)D(3, -2)F(2, 3)H(4, 4)J(5, -3)L(8, -4)Misalkan titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu y atau garis dengan persamaan x = 0 akan menghasilkan koordinat bayangan A'(a', b').Pencerminan terhadap sumbu y (garis x = 0)Jika titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbuy (garis x = 0) maka bayangannya adalah A’(-a, b). Dituliskan, AabAabCsumbuy→−− 1001' dengan −=−abab1001`Tugas KelompokCoba kamu temukan konsep pencerminan dengan garis x = k Menemukan konsep pencerminan terhadap garis y = kMasalah-10.3Kamu pernah berbelanja sepatu di sebuah toko, bukan? Jika kita memilih sepatu dan mencobanya, maka toko tersebut menyediakan sebuah cermin yang membuat kita bisa melihat sepatu yang sedang kita pakai, bukan. Cermin tersebut adalah cermin datar namun diletakkan miring terhadap objek yang dicerminkan. Seandainya, permasalahan ini, kita bawakan ke pendekatan koordinat dengan memisalkan kembali bahwa objek yang dicerminkan adalah sebuah titik pada koordinat kartesius dengan cermin tersebut adalah sebuah garis, maka dapatkah kamu temukan hubungan koordinat objek dengan koordinat bayangannya? Ingat, kamu harus memegang sifat pencerminan bahwa jarak objek ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin. Mari kita kaji konsep pencerminan pada garis y = x dan y = –x.Coba kamu amati pencerminan titik A(1, 2), B(2, -3), C(-2, 3), D(-4, -2), dan E(1, -4) terhadap garis y = x berikut. 121MatematikaGambar 10.12 Pencerminan beberapa titik terhadap garis y = xPerhatikan tabel berikut.Tabel 10.5 Koordinat titik dan bayangannya oleh pencerminan terhadap garis y = xKoordinat objekKoordinat bayanganA (1, 2)A (2, 1)B (2, -3)B (-3, 2)C (-2, 3)C (3, -2)D (-4, -2)D (-2, -4)E (1, -4)E (-4, 1)Secara umum, jika titik A(a, b) dicerminkan dengan garis maka koordinat bayangannya adalah A’(b, a). Perhatikan gambar berikut.Gambar 10.13 Pencerminan terhadap garis y = x122Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDapatkah kamu melihat hubungan koordinat objek dengan koordinat bayangannya. Perhatikanlah, jika titik A(a, b) dicerminkan dengan garis maka koordinat bayangannya adalah A’(b, a). Ingat pada matriks bahwa koordinat A(b, a) dapat dituliskan dengan baab=0110 . Perhatikan konsep berikut.Pencerminan terhadap garis y = xJika titik A(a, b) dicerminkan terhadap garis y = x) maka bayangannya adalah A’(b, a). Dituliskan,AabAbaCyx→=' dengan baab=0110Dengan demikian pencerminan terhadap garis y = x ditunjukkan dengan matriks Cxy==0110.Tugas KelompokCoba kamu tunjukkan bahwa pencerminan terhadap garis y = – x diwakili dengan matriks Cxy=−=−−0110.Dengan demikian, matriks pencerminan dapat disajikan seperti berikut ini.Matriks pencerminan terhadap 1. Titik O(0,0) −−1001 4. Garis y = x 01102. Sumbu x 1001− 5. Garis y = –x 0110−−3. Sumbu y −1001Next >