< Previous123MatematikaContoh 10.3Tentukan bayangan titik A(1, -2) dan B(-3, 5) setelah dicerminkan terhadap sumbu x. Alternatif Penyelesaian.Permasalahan di atas dapat kita notasikan dengan:AAxyCsumbux121001−→− '''xy''=−−=10011212Jadi bayangan titik A(1, -2) setelah dicerminkan terhadap sumbu x adalah A’(1, 2).BBxyCsumbux−→−351001 '''xy''=−−=−−10013535Jadi bayangan titik A(-3, 5) setelah dicerminkan terhadap sumbu x adalah A’(-3, -5).Contoh 10.4Sebuah titik P(10, 5) dicerminkan terhadap sumbu y kemudian dilanjutkan dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan bayangan titik tersebut. Alternatif Penyelesaian-1PPxyCCsumbuyyx10510010110−→−= '''→Pxy''''''124Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPermasalahan ini dapat diselesaikan secara bertahap, sebagai berikut:Tahap 1. PPxyCsumbuy1051001−→− ''' xy''=−−=−−1001105105Jadi, bayangan titik P(10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y adalah P’(-10, -5). Bayangan ini akan dilanjutkan dicerminkan terhadap garis y = x pada tahap 2, sebagai berikut:Tahap 2. PxyPxyCyx'''''''''→=0110xy''''=−−=−−0110105510Jadi, bayangan titik P'(-10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y = x adalah P"(-5, -10).Dengan demikian, bayangan titik P(10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y, dilanjutkan terhadap garis y = x adalah P"(-5, -10).Alternatif Penyelesaian-2Permasalahan di atas, dapat juga diselesaikan secara langsung sebagai berikut: PPxyCCsumbuyyx10510010110−→−= '''→Pxy''''''xy''''=−−=−01101001105011010−−=−−5510Dengan demikian, bayangan titik P(10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y, dilanjutkan terhadap garis y = x adalah P’’(-5, -10).125MatematikaContoh 10.5Sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 2x + 2y – 3 = 0 dicermin-kan terhadap garis y = –x. Tentukan persamaan bayangan lingkaran yang terjadi.Alternatif Penyelesaian-1Misalkan titik P(x, y) dilalui oleh lingkaran tersebut atau terletak pada kurva lingkaran sehingga permasalahan di atas dapat dinotasikan sebagai berikut: PxyPxyCyx→=−−− 0110''' xyxyyx''=−−=−−0110Diperoleh x' = –y atau y = –x' serta y' = –x atau x = –y' sehingga dengan mensubstitusikan ke persamaan lingkaran maka diperoleh bayangan lingkaran dengan persamaan: ()()()()−+−−−+−−=yxyx222230⇔yxyx222230++−−=.Dengan demikian, bayangan lingkaran: x2 + y2 – 2x + 2y – 3 = 0 setelah dicerminkan terhadap garis y = –x adalah y2 + x2 + 2y – 2x – 3 = 0.Uji Kompetensi 10.11. Tunjukkanlah secara gambar pergeseran dari beberapa titik berikut! Asumsikan arah ke kanan adalah arah sumbu x positif dan arah ke atas adalah ke arah sumbu y positif.a. Titik A(2, –3) bila digeser 2 satuan ke kanan dan 3 satuan ke bawah.b. Titik A(–3, 4) bila digeser 4 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas.c. Titik A(1, 2) bila digeser 2 satuan ke kiri dan 3 satuan ke atas dilanjutkan dengan pergeseran 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas.d. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(–3, 3) dan R(8, 0) bila digeser 3 satuan ke kiri dan 6 satuan ke bawah. Tentukanlah luas segitiga dan bayangannya.126Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK2. Tentukanlah persamaan kurva oleh translasi T berikut, kemudian tunjukkanlah sketsa pergeseran kurva tersebut. Asumsikan arah ke kanan adalah arah sumbu x positif dan arah ke atas adalah ke arah sumbu y positif.a. Garis lurus 2x – 3y + 4 = 0 digeser 2 satuan ke kiri dan 3 satuan ke bawah.b. Parabola y = x2 – 2x – 8 ditranslasikan oleh T(–3, 9).c. Lingkaran x2 + y2 – 2x – 2y – 23 = 0 ditranslasikan dengan P(a, b) di mana P(a, b) adalah koordinat lingkaran tersebut.3. Titik A(-2, 1) ditranslasikan berturut-turut dengan translasi +−=212nnTn untuk n ∈ N. Tentukan posisi titik pada translasi ke-2013.4. Tunjukkanlah secara gambar pencerminan dari beberapa titik berikut! a. Titik A(2, –3)bila dicerminkan terhadap sumbu x.b. Titik A(–3, 4) bila dicerminkan terhadap garis x = 5.c. Titik A(1, 2) bila bila dicerminkan dengan garis y = x dilanjutkan terhadap garis y = –2.d. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(–3, 3) dan R(8, 0) bila dicerminkan dengan sumbu x. Tentukanlah luas segitiga dan bayangannya.5. Tentukanlah persamaan kurva oleh pencerminan C berikut, kemudian tunjukkanlah sketsa pencerminan kurva tersebut. a. Garis lurus 2x – 3y + 4 = 0 dicerminkan terhadap sumbu x.b. Garis lurus x + 2y + 3 = 0 dicerminkan terhadap garis y = –x.c. Parabola y = –x2 – 2x – 8 dicerminkan terhadap garis x = 1.d. Parabola y = x2 + x – 6 dicerminkan terhadap garis y = 1.e. Lingkaran x2 + y2 – 2x – 2y – 23 = 0 dicerminkan terhadap 4 cermin yaitu dengan garis y = –4, dengan garis y = 6, dengan garis y = –1, dan terhadap garis x = 6.6. Tunjukkan dan berilah tanda “v” pada tabel di bawah ini, pencerminan yang mungkin ada pada setiap kurva berikut.No.Pers. KurvaPencerminan terhadapTitik O(0, 0)Sumbu xSumbu yy = xy = -x1Lingkaran x2 + y2 = r2, r > 0127MatematikaNo.Pers. KurvaPencerminan terhadapTitik O(0, 0)Sumbu xSumbu yy = xy = -x2Parabola y = x23Parabola x = y24Kurva y = x35Kurva y = |x|6Kurva y = cos x7Kurva y = sin2013x3. Memahami dan Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran)3.1 Menemukan Sifat-Sifat RotasiCoba kamu perhatikan benda-benda yang berputar di sekelilingmu. Contohnya, jarum jam dinding, kincir angin, dan lain-lain. Menurutmu apakah bentuk dan ukuran benda tersebut berubah oleh perputaran tersebut? Tentu tidak, bukan. Bagaimana dengan objek yang diputar pada sistem koordinat, apakah bentuk dan ukurannya berubah juga? Perhatikan gambar berikut!Gambar 10.14 Rotasi titik, bidang dan kurva pada sistem koordinat KartesiusCoba kamu amati perputaran objek (titik, bidang dan kurva) pada sistem koordinat di atas. Titik, bidang dan kurva bila diputar tidak berubah bentuk dan ukuran tetapi mengalami perubahan posisi atau letak. Jadi, bentuk dan ukuran objek tidak berubah karena rotasi tersebut tetapi posisinya berubah. Perhatikan sifat-sifat rotasi berikut.128Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSifat 10.5Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.Sifat 10.6Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi.Tugas kelompok.Putarlah kurva berikut sebesar 2700 searah putaran jarum jam dengan pusat O (0,0). Tunjukkanlah bahwa rotasi kurva tersebut memenuhi sifat-sifat rotasi. Gambar 10.15 Kurva yang akan dirotasikan sebesar 270o dengan pusat O(0,0)3.2 Menemukan Konsep RotasiPercobaan 10.1Bahan.Selembar kertas kartonSelembar bidang berbentuk persegi panjang (beri nama bidang ABCD)Sebuah pensil (atau alat tulis lainnya)Sebuah paku payungSebuah lidiLem secukupnya129MatematikaPercobaan 1.Letakkanlah bidang ABCD di atas kertas karton. Lukislah garis di atas kertas karton tersebut mengikuti keliling bidang ABCD dan berilah nama di kertas karton tersebut mengikuti nama bidang ABCD tersebut. Tusuklah dengan paku payung di pusat bidang ABCD menembus bidang di bawahnya. Putarlah bidang ABCD sesuai keinginanmu.Percobaan 2.Tusuklah dengan paku payung di salah satu titik sudut bidang ABCD menembus bidang di bawahnya. Putarlah bidang ABCD sesuai keinginanmu.Percobaan 3.Rekatlah salah satu ujung sebuah lidi pada bidang ABCD, kemudian peganglah lidi di ujung yang lain. Putarlah lidi tersebut sesuai keinginanmu.Dari percobaan 1, 2, dan 3, kesimpulan apa yang dapat kamu berikan. Mari kaji lebih lanjut percobaan ini. Misalkan percobaan 1, 2, dan 3 ditunjukkan dengan gambar dibawah ini. Perhatikan beberapa gambar berikut. a b c Gambar 10.16 Sebidang kertas dirotasi dengan pusat rotasi yang berbedaBerdasarkan gambar di atas, letak sebuah titik atau bidang setelah rotasi dipengaruhi oleh titik pusat rotasinya. Dengan demikian, mari kita temukan konsep rotasi sebuah titik dengan menampilkan percobaan tersebut ke dalam koordinat kartesius. Kamu diharapkan aktif dalam mengamati rotasi titik di pokok bahasan ini.Rotasi pada Pusat O(0, 0)Mari kita amati beberapa contoh rotasi titik dengan pusat O(0, 0) sebagai berikut.130Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 10.6Rotasi titik sebesar 900 dengan pusat O(0, 0)Gambar 10.17 Rotasi 900 beberapa titik pada bidang koordinat Kartesius dengan pusat O(0,0)Rotasi titik pada gambar di atas disajikan pada tabel berikut.Tabel 10.6 Koordinat titik dan bayangannya oleh rotasi sejauh 900 dengan pusat O(0, 0)Rotasi sejauh 900 dengan Pusat Rotasi O(0, 0)Titik ObjekTitik BayanganPolaA(3, 0)A’(0, 3)−=03011030B(4, 1)B’(-1, 4)−=−14011041C(5, 2)C’(-2, 5)−=−25011052131MatematikaDengan demikian, rotasi 900 dengan pusat O(0, 0) diwakili dengan matriks RoO[,(,)]0000110=−Contoh 10.7Bidang ABCD dengan A(0, 0), B(4, 0), C(4, 3) dan D(0, 3) dirotasikan sebesar 900 dengan pusat A(0, 0). Tunjukkan dan tentukan koordinat objek setelah dirotasikan.Alternatif PenyelesaianPerhatikan gambar berikut.Gambar 10.18 Rotasi sebuah bidang ABCD dengan pusat O(0, 0)Hasil rotasi setiap titik A, B, C, dan D menghasilkan bayangan titik A', B', C', dan D' yang dapat kita ketahui koordinatnya seperti pada tabel berikut.132Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKTabel 10.7 Koordinat titik dan bayangan bidang ABCD oleh rotasi sejauh 900 dengan pusat O(0, 0)Rotasi sejauh 900 dengan Pusat Rotasi A(0, 0)Titik ObjekTitik BayanganA(0, 0)A’(0, 0)B(4, 0)B’(0, 4)C(4, 3)C’(-3, 4)D(0, 3)D’(-3, 0)Secara umum, kamu pasti sudah dapat melihat pola atau hubungan antara koordinat objek dengan koordinat bayangan, bukan? Jika sebuah titik A(a, b) dirotasikan dengan sudut 900 searah jarum jam dan pusat rotasi O(0, 0) maka koordinat bayangan adalah A'(-b, a). Ingat koordinat A’(-b, a) dapat dituliskan dengan −=−baab0110. Contoh 10.8Rotasi titik sebesar 1800 dengan pusat O(0, 0)Gambar 10.19 Rotasi 1800 titik pada koordinat kartesius dengan pusat O(0, 0)Next >