< Previous133MatematikaRotasi titik pada gambar 10.19 di atas disajikan pada tabel berikut.Tabel 10.8 Koordinat titik dan bayangan titik oleh rotasi sejauh 1800 dan pusat O(0, 0)Rotasi sejauh 1800 dengan Pusat Rotasi O(0, 0)Titik ObjekTitik BayanganPolaA(2, 0)A’(-2, 0)−−=−02100102B(3, 1)B’(-3, -1)−−=−−13100113C(4, 2)C’(-4, -2)−−=−−24100124Dengan demikian, rotasi 1800 dengan pusat O(0,0) diwakili dengan matriks RoO[,(,)]180001001=−−Tugas KelompokTunjukkan matriks yang mewakili rotasi titik sebesar -900 dengan pusat O(0, 0)Dengan demikian, matriks rotasi dapat disajikan pada tabel berikut:Matriks rotasi dengan sudut 1. 270o 0110−− 4. –90o 0110−2. 180o −−1001 5. –180o −−10013. 90o 0110− 6. –270o 0110−134Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKRotasi pada Pusat P(a,b)Mari kita amati beberapa contoh rotasi titik dengan pusat P(a, b) sebagai berikut.Contoh 10.9Rotasi titik sebesar 900 dengan pusat P(a, b)Tunjukkanlah rotasi titik A(-5, 4) sebesar 900 dengan pusat P(1, 2) pada sistem koordinat.Gambar 10.20 Rotasi 900 titik A(-5,4) pada sistem koordinat Kartesius dengan pusat P(1, 2)Langkah-langkah rotasi sebagai berikut.Langkah 1. Translasikan koordinat objek dengan (-a, -b) sehingga pusat rotasi berubah menjadi O(0, 0) Titik A(-5, 4) ditranslasi dengan T(-1, -2) diperoleh A'(-6, -2)Langkah 2. Rotasikan objek yang telah ditranslasikan sebesar sudut rotasi. Titik A'(-6, -2) dirotasikan sebesar 900 dan pusat O(0, 0) diperoleh A"(-2, -6)Langkah 3. Translasikan kembali koordinat hasil langkah 2 dengan pusat rotasi P(a, b). Titik A"(-2, -6) ditranslasikan kembali dengan (1, 2) diperoleh A"'(-1,-4) Jadi, banyangan rotasi titik A(-5, 4) dengan rotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi P(1, 2) adalah A"'(-1, -4) 135MatematikaContoh 10.10Perhatikan bidang ABCD adalah A(0, 0), B(4, 0), C(4,3) dan D(0, 3) dirotasikan sebesar -900 dengan pusat rotasi P(7, 3).Perhatikan gambar!Gambar 10.21 Rotasi sebuah bidang ABCD dengan pusat P(7,3)Tabel 10.9 Koordinat titik dan bayangan titik oleh rotasi sejauh -900 dan pusat P(7, 3)Rotasi sejauh -900 dengan Pusat Rotasi P(7, 3)Titik ObjekTranlasi T(-7, -3)Rotasi -900 Pusat O(0, 0)Translasi P(7, 3) = Titik BayanganA(0, 0)A1 (-7, -3)A2 (-3, 7)(-3,7) + (7,3) = A’(4, 10)B(4, 0)B1 (-3, -3)B2 (-3, 3)(-3, 3) + (7,3) = B’(4,6)C(4, 3)C1 (-3, 0)C2 (0, 3)(0, 3) + (7,3) = C’(7, 6)D(0, 3)D1(-7, 0)D2 (0, 7)(0, 7) + (7, 3) = D’(7,10)Rotasi dengan matriks rotasi MR dan pusat P(p,q)Jika titik A(a,b) dirotasi dengan matriks rotasi MR dan pusat P(p,q) adalah A′(b,a). Dituliskan, abMRapbqpq''=−−+136Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 10.11Sebuah garis 2x – 3y – 4 = 0 dirotasikan sebesar 1800 dengan titik pusat rotasi P(1, -1). Tentukanlah persamaan garis setelah dirotasikan.Alternatif Penyelesaian.Dengan menggunakan konsep yang telah ditemukan. Misalkan titik A(x, y) adalah sembarang titik yang dilalaui oleh garis tersebut, sehingga:)','('),(]0180),1,1([yxAyxAPR→−Langkah 1. Translasi dengan T(-1,1)+−=−+1111yxyxLangkah 2. Rotasi dengan sudut 1800 dan pusat O(0,0)−−+−=+−−−11111001yxyxLangkah 3. Translasi dengan P(1,-1)−−+−=−+−−+−221111yxyxJadi, −−+−=22''yxyx atau x = -x'+2 dan y = -y'-2 sehingga persamaan garis setelah dirotasikan adalah:04)2(3)2(2=−−−−+−yx046342=−+++−yx0632=++−yx137Matematika4. Memahami dan Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian)4.1 Menemukan Sifat-Sifat DilatasiKamu pernah mengamati sebuah balon yang dihembus atau diisi dengan udara, bukan? Makin banyak udara yang dipompa ke balon balon makin membesar. Pembesaran tersebut merupakan dilatasi sebuah benda. Perhatikan dilatasi beberapa objek pada gambar berikut.Gambar 10.22 Dilatasi titik, bidang dan kurva pada koordinat kartesius.Berdasarkan gambar di atas, bentuk suatu objek bila dilatasi tidak akan berubah, bukan? Tetapi bagaimana dengan ukurannya? Ukuran objek yang didilatasi akan berubah. Perhatikan sifat-sifat dilatasi berikut.Perhatikan sifat-sifat dilatasi berikut. Sifat 10.7Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.Sifat 10.8Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.138Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK138Kelas XI SMA/MASifat 10.9Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.Sifat 10.10Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika –1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.Sifat 10.11Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k < – 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. 4.2 Menemukan Konsep DilatasiMasalah-10.4Pernahkah kamu melihat gelombang di permukaan air yang tenang. Coba kamu isi air pada ember dengan permukaan berbentuk lingkaran kemudian biarkan sejenak agar permukaan air tidak beriak atau tenang. Kemudian, coba kamu jatuhkan setetes air ke permukaan air yang tenang tersebut. Pengamatan apa yang kamu peroleh? Tentu kamu melihat ada gelombang di permukaan air. Misalkan gelombang air tersebut kita ilustrasikan sebagai berikut.(a)(b)(c)Gambar 10.23 Bentuk gelombang pada permukaan air139MatematikaGambar 10.23 a terjadi jika kamu jatuhkan setetes air di tengah permukaan air tersebut. Coba kamu lakukan sebuah percobaan tersebut di sekolah atau di rumah. Gambar 10.23 b terjadi jika kamu menjatuhkan air di permukaan di luar titik pusatnya. Jika demikian, dapatkah kamu berikan komentar, di manakah dijatuhkan setetes air pada permukaan air agar terbentuk pola gelombang air pada gambar 10.23 c? Kamu dapat melakukan pengamatan pada beberapa percobaan sederhana di rumahmu. Mari kita lakukan kembali pengamatan pada gambar 10.23 a, 10.23 b, 10.23 c di atas. Berdasarkan gambar tersebut, gelombang diperbesar atau diperkecil bergantung kepada sebuah faktor pengali. Perhatikan kembali sifat-sifat dilatasi. Perhatikan kembali gambar tersebut, bentuk dilatasi gelombang tersebut juga bergantung pada pusat dilatasi. Dengan demikian, kita akan mempelajari kasus ini kembali untuk membangun konsep dilatasi. Ingat kembali materi dilatasi pada pokok bahasan transformasi di saat kamu di kelas VII. Mari kita angkat kembali permasalahan dilatasi bangun tersebut. Amatilah perkalian bangun pada koordinat kartesius berikut.Contoh 10.12Sketsalah dilatasi titik berikut:Titik A(1, 3) dengan skala 2 dan pusat O(0, 0)Titik B(3, 2) dengan skala 3 dan pusat O(0, 0)Alternatif PenyelesaianLangkah 1 : Letakkanlah titik A atau titik B pada bidang koordinat KartesiusLangkah 2 : Tariklah sebuah garis lurus yang menghubungkan titik A atau titik B ke titik pusat dilatasi.Langkah 3 : Tentukanlah titik A' atau B' yang jaraknya 2 kali dari titik A atau titik B dengan pusat dilatasi.Langkah 4 : Titik tersebut adalah dilatasi titik A dengan faktor skala 2 dan pusat dilatasi.140Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 10.24 Dilatasi dua buah titik dengan pusat O(0, 0)Dengan demikian bayangan titik A atau B oleh didilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat O(0, 0) adalah A'(2, 6) atau B’(6, 4).Contoh 10.13Sketsalah dilatasi titik A(2, 5) dengan pusat P(-1, 2) dan skala 2Perhatikan sketsa dilatasi titik di atas.Gambar 10.25 Dilatasi titik A(2, 5) dengan pusat P(-1, 2)Agar proses dilatasi titik dengan pusat P(p, q) dan skala k dapat dengan mudah diproses maka perlu dialihkan ke dilatasi dengan pusat O(0, 0), yaitu dengan 141Matematikamelakukan translasi T(-p, -q), hasil dilatasi akan ditranslasikan kembali dengan translasi P(p, q). Dengan demikian, proses dilatasi adalah:Langkah 1. Translasikan pusat P(p, q) dan objek A(a, b) dengan translasi T(-p, -q). Diperoleh: abapbq''=−−Langkah 2. Dilatasikan A'(a – p, b – q) dengan skala k dan pusat O(0, 0) Diperoleh: −−=qbpakba''''Langkah 3. Translasikan A" dengan P(p, q) Diperoleh: +−−=qpqbpakba''''''Contoh 10.14Sebuah segitiga ABC, dengan A(1, 2), B(2, 1) dan C(4, 1) didilatasi dengan faktor skala k = 2, k = -1, dan k = -3 serta pusat O(0, 0) sehingga diperoleh berturut-turut segitiga A'B'C', A"B"C", dan A"'B"'C"'Alternatif PenyelesaianGambar 10.26 Dilatasi bidang pada pusat O(0, 0) dan faktor berbeda142Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPerhatikan tabel berikut.Tabel 10.10 Dilatasi bidang ABC pada pusat O(0,0) dan faktor berbedaTitik Obyek21A12B14CFaktor skalaPusat00O00O00OTitik Bayangan 1=21242'A=12224'B=14228'Ck = 2Titik Bayangan 2−=−−21121''A−=−−12112''B−=−−14114''Ck = -1Titik Bayangan 3−=−−21363'''A−=−−12336'''BC'''−−=−123341k = -3Contoh 10.15Sebuah segitiga ABC, dengan A(1, 2), B(2, 1) dan C(4, 1) didilatasi dengan faktor skala k = a, k = b, dan k = c serta pusat C(4, 1) sehingga diperoleh berturut-turut segitiga A'B'C', A"B"C", dan A"'B"'C"'Gambar 10.27 Dilatasi sebuah bidang dengan pusat pada salah satu titik pojoknyaNext >