< Previous143MatematikaPerhatikan tabel berikut.Tabel 10.11 Dilatasi bidang ABC pada pusat P(4, 1) dan faktor berbedaTitik Obyek21A12B14CFaktor skalaPusat14C14C14CTitik Bayangan 1=21242',A=12224',B=14228'Ck = 2Titik Bayangan 2−=−−21121''A−=−−12112''B−=−−14114''Ck = -1Titik Bayangan 3−=−−21363'''A−=−−12336'''B−=−−143312'''Ck = -31. Dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala k [])','('),(,baAbaAkOD→ =′′bakba2. Dilatasi dengan pusat P(p, q) dan faktor skala k []),('),(),,(baAbaAkqpPD′′→ +−−=′′qpqbpakbaContoh 10.16Sebuah garis g: 0632=−−yx didilatasikan dengan faktor k = 3 dan pusat dilatasi pada titik )2,1(−P. Tentukanlah bayangannya.144Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian.Misalkan titik ),(yxA adalah sembarang titik pada garis yang akan didilatasikan, sehingga:)','('),(]3),2,1([yxAyxAPD→−+−=−++−=432321213''yxyxyxsehingga 23'−=xx atau 32'+=xx dan 43'+=yy atau 34'−=yysehingga bayangan garis 0632=−−yxadalah 06)34(3)32(2=−−−+yx atau 0232=−−yx.Uji Kompetensi 10.21. Tunjukkanlah secara gambar perputaran dari beberapa titik berikut! a. Titik A(2, –3) dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi O(0, 0).b. Titik A(2, –3) dirotasi sebesar – 900 dengan pusat rotasi O(0, 0).c. Titik A(–3, 4) dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi P(-1, 1).d. Titik A(–3, 4) dirotasi sebesar – 1800 dengan pusat rotasi P(-1, 1).e. Titik A(1, 2) bila dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi O(0, 0) kemudian dilanjutkan dengan rotasi sebesar –2700dengan pusat rotasi O(0, 0).f. TitikA(–1, 3) bila dirotasi sebesar – 900 dengan pusat rotasi P(1, 2) kemudian dilanjutkan dengan rotasi sebesar 1800 dengan pusat rotasi Q(-1, 1).g. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(–3, 3) dan R(8, 0) bila dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi salah satu titik pojoknya. 145Matematika2. Tentukanlah persamaan kurva oleh rotasi R berikut! a. Garis lurus 0432=+−yx dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi O(0, 0).b. Garis lurus 0432=+−yx dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi P(1, -1).c. Parabola 0432=+−−xxy dirotasi sebesar 1800 dengan pusat rotasi O(0, 0).d. Parabola 0432=+−−xxy dirotasi sebesar 2700 dengan pusat rotasi pada titik puncaknya.e. Lingkaran 2224200xyxx+−−−= dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi pada titik O(0, 0).f. Lingkaran 2224200xyxx+−−−= dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi pada titik P(6, 3).g. Lingkaran 2224200xyxx+−−−= dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi pada titik P(8, 1).3. Tunjukkanlah secara gambar dilatasi dari beberapa titik berikut! a. Titik A(2, –3) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat P(0, 0).b. Titik A(–3, 4) bila didilatasikan dengan skala -2 dan pusat P(0, 0).c. Titik A(1, 2) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat P(0, 0) dilanjutkan dengan dilatasi dengan skala -3 dan pusat P(0, 0).d. Titik A(–3, 4) bila didilatasikan dengan skala -2 dan pusat P(1, -1).e. Titik A(2, –3) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat P(-2, 0).f. Titik A(2, –3) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat P(-1, 1) dilanjutkan dengan dilatasi dengan skala -1 dan pusat P(2, -1).g. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(–3, 3) dan R(8, 0) bila didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat P(0, 0).h. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(–3, 3) dan R(8, 0) bila didilatasikan dengan faktor skala -3 dengan pusat P(1, 1).146Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK4. Tentukanlah persamaan kurva oleh Dilatasi D berikut! a. Parabola y – x2 – x3 + 4 = 0 didilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat rotasi O(0, 0).b. Parabola y – x2 – x3 + 4 = 0 didilatasi dengan faktor skala -2 dengan pusat rotasi pada titik puncaknya.c. Lingkaran x2 + y2 – 2x – 4x – 20 = 0 didilatasi dengan faktor skala 1/2 dengan pusat rotasi pada titik O(0, 0).d. Lingkaran x2 + y2 – 2x – 4x – 20 = 0 didilatasi dengan faktor skala -1 dengan pusat rotasi pada titik P(1,-5).e. Lingkaran x2 + y2 – 2x – 4x – 20 = 0 didilatasi dengan faktor skala -1 dan pusat P(0,0) dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala -1 dengan pusat rotasi pada titik P(1,5).D. PENUTUPBerdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep transoformasi di atas, beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut.1. Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada sebuah bidang berdasarkan jarak dan arah tertentu. Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real, translasi titik A (x, y) dengan T (a, b) adalah menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sedemikian hingga diperoleh A′(x + a, y + b), secara notasi dilambangkan dengan: ++→byaxAyxAbaT'2. Refleksi atau pencerminan adalah satu jenis transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan mengggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang dipindahkan. a. Pencerminan titik A(a, b) terhadap titik asal (0, 0) −−→baAbaAOC')0,0( dengan −−=−baba1001b. Pencerminan titik A (a, b) terhadap sumbu x = h didefinisikan dengan: ),2('),(bahAbaAhxC−→=, sedangkan pencerminan titik A (a, b) terhadap sumbu y = k didefinisikan dengan: )2,('),(bkaAbaAkyC−→=147Matematikac. −=−−→bababaAbaAxsumbuC1001dengan' d. Pencerminan titik A (a, b) terhadap sumbu xe. Pencerminan A(a, b) terhadap garis y = x dengan =baab01103. Rotasi atau perputaran adalah transformasi yang memindahkan suatu titik ke titik lain dengan perputaran terhadap titik pusat tertentu. Rotasi terhadap titik O(0, 0) sebesar 900 dirumuskan dengan: 0[(0,0),90](,)'(,)ORAabAba→−.4. Dilatasi atau perubahan skala adalah suatu transformasi yang memperbesar atau memperkecil bangun tetapi tidak mengubah bentuk. Dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala k dirumuskan dengan [],(,)'(,),OkDAabAkakb→: sedangkan dilatasi dengan pusat P(p, q) dan faktor skala k dirumuskan dengan: [](,),(,)'[(),()]PpqkDAabApkapqkbq→+−+−.148Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKCatatan:.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Kompetensi DasarPengalaman BelajarKompetensi DasarPengalaman BelajarA. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJARSetelah mengikuti pembelajaran turunan siswa mampu:1. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.2. Mendeskripsikan konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks lain dan menerapkannya.3. Menurunkan aturan dan sifat turunan fungsi aljabar dari aturan dan sifat limit fungsi.4. Mendeskripsikan konsep turunan dan menggunakannya untuk menganalisis grafik fungsi dan menguji sifat-sifat yang dimiliki untuk mengetahui fungsi naik dan fungsi turun.5. Menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi untuk menentukan gradien garis singgung kurva, garis tangen, dan garis normal.6. Mendeskripsikan konsep dan sifat turunan fungsi terkait dan menerapkannya untuk menentukan titik stasioner (titik maksimum, titik minimum dan titik belok).Melalui pembelajaran materi turunan, siswa memperoleh pengalaman belajar:• Terlatih berpikir kritis, kreatif dalam menganalisis permasalahan.• Bekerjasama dalam tim dalam menemukan solusi permaslahan melalui pengamatan, diskusi, dan menghargai pendapat dalam saling memberikan argumen.• Terlatih melakukan penelitian dasar terhadap penemuan konsep.• Mengkomunikasikan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait turunan.• Merancang model matematika dari sebuah permasalahan otentik yang berkaitan dengan turunan.TURUNANBab11Kompetensi DasarPengalaman BelajarKompetensi DasarPengalaman BelajarSetelah mengikuti pembelajaran turunan siswa mampu:7. Menganalisis bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dalam memecahkan masalah maksimum dan minimum.8. Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang turunan fungsi aljabar.9. Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang fungsi naik dan fungsi turun.10 Merancang dan mengajukan masalah nyata serta menggunakan konsep dan sifat turunan fungsi terkait dalam titik stasioner (titik maksimum, titik minimum dan titik belok).11.Menyajikan data dari situasi nyata, memilih variabel dan mengkomunikasikannya dalam bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dalam memecahkan masalah maksimum dan minimum.Melalui pembelajaran materi turunan, siswa memperoleh pengalaman belajar:• Menyelesaikan model matematika untukmenganalisis dan mendapatkan solusi permasalahan yang diberikan.• Menuliskan dengan kata-katanya sendiri konsep turunan berdasarkan ciri-ciri yang dituliskan sebelumnya.• Membuktikan sifat-sifat dan aturan matematika yang berkaitan dengan turunan berdasarkan konsep yang sudah dimiliki.• Menerapkan berbagai sifat turunan dalam pemecahan masalah.151MatematikaB. PETA KONSEPFungsiLimit FungsiGrafik FungsiTurunan FungsiFungsi TurunTitik StasionerTitik BelokTitik Balik MaksimumTitik Balik MinimumFungsi NaikMASALAHOTENTIKMATERIPRASYARATf '(x) = 0f '(x) < 0f "(x) < 0f '(x) > 0f "(x) > 0f "(x) = 0152Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK1. Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi Turunan merupakan salah satu dasar atau fundasi dalam analisis sehingga penguasaan kamu terhadap berbagai konsep dan prinsip turunan fungsi membantu kamu memecahkan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Suatu fungsi dapat dianalisis berdasarkan ide naik/turun, keoptimalan dan titik beloknya dengan menggunakan konsep turunan. Pada bagian berikut, kita akan mencoba mengamati berbagai permasalahan nyata dan mempelajari beberapa kasus dan contoh untuk menemukan konsep turunan. Kita memulainya dengan menemukan konsep persamaan garis tangen/singgung.1.1 Menemukan Konsep Garis Sekan dan Garis Tangen Coba kamu amati dan cermati berbagai masalah nyata yang diajukan, bermanfaat sebagai sumber abstraksi kita dalam menemukan konsep dan hubungan antara garis sekan atau tali busur dan garis singgung.Masalah-11.1Seorang pemain ski meluncur kencang di permukaan es yang bergelombang. Dia meluncur turun kemudian naik mengikuti lekukan permukaan es sehingga di suatu saat, dia melayang ke udara dan turun kembali ke permukaan. Perhatikan gambar di bawah ini.Gambar 11.1 Bermain skiPermasalahanSecara analitik, misalkan bahwa bukit es disketsa pada bidang (dimensi dua) dengan sudut pandang tegak lurus ke depan sehingga terdapat garis dan papan ski adalah sebuah garis lurus. Dapatkah kamu tunjukkan hubungan kedua garis tersebut? B. PETA KONSEPNext >